Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики.djvu), страница 84

<р„(х). з=! Пол ортогональностью понимается равенство нулю скалярного произведе- ния невязки и базисных функции: Ч'(х: и,, а ) <р, (х) с(х =О. Это требование приводит к линейной системе' алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов а, приближенного решения у„; а((1зР(, Р1) +... + а„(йР„, ~Р() = (г" — 1зРо, <Р1), а1()хр1 срг) + .. + а„(2зр»* ч>з) = ((' — эзро срз), а((ьрн ~р„) +... + а„(йр„, гр„) = ((' — эзро, ср„). Часть д Математика 474 Решение этой системы всегда сушествует и единственно в силу линейной независимости базисных функций. Разработаем процедуру построения приближенного решения краевой залачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, в которой в качестве параметров будем передавать дифференциальный оператор уравнения 2„правую часть, процедуру вычисления базисных функций и количество л удерживаемых в приближенном решении базисных функций.

Ее текст представлен в примере 11.5. > Са1етк1п:=ртос(Ш:ртосес(пте, Г::а1деЬтагс,рпа::ртосес)осе,х::пате, а::плет1с,Ь::влет1с,п::плет1с) 1оса) у,1,еЧ,А> у: =рп1 (О, х) +ял (А(1) *ри1 (1, х), 1=1 .. и) т Гоп 1 Со и оо ес() ) 1: =япп (А ( )с) *1пс (). (рп1 ( Х, х), х ) *рь 1 ( 1, х), х=а .. Ы, х=1 ..

и) = 1пс ( (à — 1, (рьь (О, х), х) ) *рая (1, х), х=а .. Ь); епт) оо) ея:=яо1уе((яеЧ(еЧ))1,1=1..п)),(яеЧ(А(~),1=-1..п))); аяя1дп(еч); яппр111у(еуа1(у))> епя) ртос: В ПрОцЕдуру Оа1етк1п() дИффЕрЕНцИаЛЬНЫй ОПЕратср 1. ураВНЕНИя ПЕрЕдаЕтся в виде процедуры с двумя параметрами, первый из которых представляет собой алгебраическое выражение, а второй задает имя независимой переменной, по которой происходит дифференцирование. Правая часть дифференциального уравнения передается в виде алгебраического выражения г.

ПараМЕтр-ПрсцЕдура рьь() ВЫЧИСЛяЕт Л-Ю баЗОВуЮ фуНКцИЮ ук, И ЕЕ Параметры должны представлять номер базовой функции и имя независимой переменной, используемой в формировании выражения базовой функции. ПараМЕтр х ПрОцЕдурЫ Оа1етк1п() ОПрЕдЕЛяЕт ИМя НЕЗаВИСИМОй ПЕрЕМЕННОИ. Оставшиеся три ее параметра задают координаты граничных точек и удерживаемое число членов и в приближенном решении. Задача 11.2 Решить методом Галеркина краевую задачу 2,и=-й+и =-х, 0<х<1, и(0)=0, и(1)=0.

Решение. Прежде всего выбираем базисные функции (рв(х) = О, (р)(х) = х'(1-х), т'=1, 2, . 4то Глава 7 Г. Численно-аналитические методы Функция заа(х) удовлетворяет граничным условиям краевой задачи, а функции зрг(х), з =1..л — однородным граничным условиям. Теперь необходимо создать процедуры для вычисления дифференциального оператора уравнения и базовых функций, а также задать выражение для правой части уравнения: > 1,1:=ртос(у,х) б1ГГ(у,х02)+уз еп4[ ртос!" > Г:=-хг" > рП1:=ртос(п,х) тд п=О т)зеп 0 е1зе х"п*(1-х) еп4( 1тз еаза ртос: Итак, все необходимые процедуры созданы, и можно переходить к построению приближенного решения: > тез1: 4 За1етх1п (Ы, Г, рП1, х, О, 1, 1) з 5 тзз!;.= — — х (-1 + х ) 18 > тез2г=аа1ет)сзп(11, Г,рП1, х, 0,1,2) з г 7 з те52:= — х — хг — — хз 369 369 41 Здесь мы построили два приближенных решения, в которых удержано, соответственно, один и два члена решения. Посмотрим, как они согласуются с точным решением краевой задачи, а мы специально выбрали такую задачу, лля которой возможно построение точного решения: > ехастг=с!зо1уе((4(1гг(у(х), хз2)+у(х) =-х, у(0) О, у(1) =0), у(х) ) з ззп(х) ахает:= у(х) = -х + Ип(1) > р1от ( [тез1, тез2, тьз (ехаст) ], к=О ..

1, со1от=Ь1ас)г,тьгскпезз=2,11пезту1е=[4,7,1!)з 0.07 а.аз а.аз а.оз а.оз а.оз а.о! оа ох „о.о о.а ! Видно, что уже приближенное решение, в котором удержаны две базовые функции (л=2), на графике сливается с точным решением, и только первое Часть д Математика 476 приближение, график которого представлен пунктирной линией, сушест- венно отличается от точного.

Конечно, второе приближение все-таки отличается от точного. Чтобы уви- деть это, мы представили в табл. 11.1 числовые значения точного решения и трех первых приближений к нему в десяти точках промежутка (О, 1]. Таблица 11 1. Сравнение приближенньх и точного решений Первое Второе Третье Точное приближение приближение приближение решение .0 1.0 Из табл. 11.1 видно, что у первого приближения погрешность порядка 0,01, у второго — порядка 0,001, а третье уже имеет точность порядка 0,0001. Если необходимо решить другую краевую задачу, то для этого необходимо изменить функцию 490(х) таким образом, чтобы она удовлетворяла новым граничным условиям. Например, если граничные условия исходной задачи заменить на следуюшие и (0) = 1, и (1) = О, то можно выбрать функцию уе(х) = (1 — х). После этого следует изменить процедуру риг ! ) и построить приближенные решения: > рь1:=ртсс)п,х) х"п*)1-х)' епо ртос: > сее1: ~а1еск1п !Ы, Г,р)71,х, О, 1, 1); 4 5 тек):= 1 — -х — — х4 9 9 .1 .250000000е-1 .2 .444444444е-1 .3 .583333333е-1 .4 .бббббббббе-1 .5 .694444444е-1 .б .бббббббббе-1 .7 .583333333е-1 .8 .444444444е-1 .9 .250000000е-1 .188536585е-1 .362493225е-1 .51162601бе-1 .62569105бе-1 .694444444е-1 .707642277е-1 .655040651е-1 .526395665е-1 .311463415е-1 .186252304е-1 .361054354е-1 .

512195 693е-1 .628027734е-1 .697463768е-1 .709978954е-1 .655610327е-1 .524956794е-1 .309179134е-1 .186415438е-1 .360976604е-1 .511947674е-) .627828522е-1 .697469638е-1 .710183520е-1 .655851467е-1 .525024677е-1 .3090)8658е-1 Глава т й Численно-аналитические методы 477 > тез21=0а1етиьп(Ь1, т,рьт,х, О, 1„2) 1 4 5 1'652:= 1 — - х — — х 9 9 > ехастс=с)зо1те ( (с)втт (у(х), х62) +у(х) =-х, у(0) =т, у(т) =0), у(х) ) ( — 1 + Соз( ! ) ) 5!П(Х) ехас(:= у(х) = -х+ соз(х)— 5(П(! ) > р!от((техт,тез2,тьз(ехаст)),х=0..1, сотот=Ыас)с, СЫсхпезз=2, тгпезту1е=[4, З, 1)) 1 06 0.6 0.4 0.2 О 02 04 х 0.6 Оа 1 Для этой задачи график уже первого приближения полностью совпадает с графиком точного решения.

Задача 11.3 Решить методом Галеркина краевую задачу Еи - =и" + (1 + х2) и' = — 1, — 1 < х < 1, и ( — 1) = О, и(1) = О. Решение. Задаемся базисными функциями (ро(х) = О, ср((х) =х21 2 (1 — х2) 1=1 2 Создаем необходимые процедуры вычисления оператора и правой части дифференциального уравнения, а также базисных функций: > Ы:=ртос(у,х) сиГГ (у, ха 2) + (14х "2) *ус епо ртос: > Гс -11 > рьз.:=ртос (п,х) ЬГ и 0 тьеп 0 е1зе х*(2*п-2) *(т-х" 2); епс( тт1 епе ртосс > тез11 Оа1етхтп (Ьт, Г, РЫ, х, -1, 1, 1) ) 35 35 2 те51:= — — — х 38 38 > тез2:=Оа1етктп(Ь1, т,рьт, х, -т, 1, 2) 1 3909 1050 1 231 4 те52:= — — — хт+ — х4 4252 1003 4252 Часть И.

Математика 47В > гевз:=Оа1егкгп(?.1,г,рЬ1,х,-1,1,312 5148231 62073 2 26169 4 81939 5523436 64226 5523436 2761718 К сожалению, точного решения для поставленной краевой залачи Мар1е найти не смог. Поэтому, чтобы оценить погрешность полученных приближенных решений, мы построим графики их невязок: > р1ос ( [Ы (гев1, х[-г, 11 (гев2, х(-Г, 11 (гевЗ, х[-61, х=О .. 1, со1ог=Ь1аск, ГЬ1сьпев в=3, 11певпу1е= [», 7, 111,. -0.4 -о.в Невязка первого приближения отображается штрихпунктирной кривой, второго приближения — точечной кривой, а третьего приближения сплошной кривой, практически совпадающей с осью абсцисс . Чтобы оценить точность третьего приближения, отобразим отдельно график ее невязки: > р1оп([Ь1(гевз,х(-Г(,х=0..1,со1ог=Ь1асХ,ГЬгсьпевв=2,'(певгУ1е=11 0.014 0.012 О.О1 о.оов о.сов о.оо» О.ОО2 а .0.002 Видно, что максимальное отклонение невязки третьего приближения от нуля составляет 0,014.

Решение этой задачи показывает эффективность построения приближенных решений краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений методом Галеркина. Однако следует сказать об основной трудности применения этого метода, заключающейся в выборе линейно независимой системы базисных функций, удовлетворяющей однородным краевым условиям. Часть 111 Мехаыика Глава 12. Задачи теоретической механики Глава 13.