Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики.djvu), страница 86

Например, рассчитаем характеристики движения точки, законы изменения координат которой имеют следуюший вид: > х1=ссв(С/3) х:= Осв( — Г~ > уг=з/2*вол(С/2)/27 у:= — 5(п( — г) 5) о) 11) 240) 4.1. 144) Взе-1,3ВО -О4 -ов -о.в -1 Из приведенных трех кадров анимации видно, что сначала точка движется замедленно (к, < О), а затем ускоренно ()в, > О). Момент времени, после ко- торого точка начинает ускоряться, можно приближенно определить, про- смотрев анимацию по кадрам, что дает значение /=2.62 с. С помощью процедуры ою17е() можно решать практически любую задачу на изучение движения точки по ее уравнениям движения. Правда, процедура может не работать для тех движений, в которых вектор скорости или ускорения принимает нулевое значение.

В этом случае не будет запущена процедура построения стрелки аггея(). В связи с ограниченным объемом книги в нее не удалось включить исправленный вариант процедуры. Читателю предоставляется самому откорректировать процедуру кклге ( ) .

Разработанную процедуру студент может использовать для проверки своих вычислений, а преподаватель — для разработки лабораторных работ. Для задач динамики Мар!е легко позволяет визуализировать поведение сис- темы, Рассмотрим его применение к построению и решению динамических уравнений движения материальной точки. > поте(х,у,с,3.5,0.2, — 0.25,— 0.5, — 0.75,— 1,0.

02,0. 02); ВВВ -1) е(47)-"(.455 .1.16Ч евеаа) = (6164.1, 172) ге= 575 Часть рд Механика Задача 12.2 Два груза Р и Е массами «(д = 2 кг и тд = !О кг лежат на гладкой плоскости, наклоненной под углом а=30' к горизонту„опираясь на пружину, коэффициент жесткости которой с = 600 Н/м. В некоторый момент времени груз Е убирают; одновременно ((=0) нижний конец пружины В начинает совершать вдоль наклонной плоскости движение по закону с = 0.2 яп(10() м. Здесь т, перемещение относительно начального положения точки прикрепления пружины В, Найти уравнение движения груза П Решение. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза Р, соответствующим статической деформации пружины. при условии, что точка В занимает свое среднее положение (с=О). Направим ось х вверх вдоль наклонной плоскости (рис. 12.1).

Рис. 12.1. Оси координат и силы, действующие на тело 0 Движение груза Р определяется по следующему дифференциальному уравнению: тдх=~ Х, где ~Ч Х, — сумма проекций на ось х сил, действующих на груз Р. В соответствии с рис. 12.1 такими силами являются: С)) — вес тела, (у' — нормальная реакция наклонной плоскости, равная б)) з!п(а), и Р— сила упругости пружины, которая вычисляется по формуле: Р = — с (х — 1~(э — ~), где !,пз — статическая деформация пружины под действием груза Р, ~— перемещение точки прикрепления нижнего конца пружины, происходящее по закону т, = а' яп(рг) (а' = 0.2 м, р = 10 с )), Определим на рабочем листе Мар!е дифференциальное уравнение движения тела Р: > хевсахс: > ое:твом*о(ЬЫ(х(с),са2) -6[в]*его(атр)та]-Р) Глава !2.

Задачи теоретической механики Гд! а(е:= тР ~ — х(!) (= -!г яп(а) — Р ~дг! о > Рг=с*(х(С) Г[ято] х1) Р:= с (х(!)- Гкс — а) яп(р !)) > х1г=б*51п(р*с)' Г;= г[ 5!п(р !) > ое! [ д! тР 2 х(!) = !> ягп(а) с (х(!) — 1 г[ 5$п(р !)) Замечание псе обозначения совпадают с введенными нами при выводе дифференциального уравнения, за исключением масс теп Р и Е, которые, соответственно, обозначены через яо и к!к. Статическая деформация пружины 1гг!) находится из уравнения покоя груза Р на наклонной плоскости: > я с 1: =-6 [О] 'яап (а1р)!а ) аРО=О ! яг!:= — б яп(а) е РО=О о > РОг=с*Г[ягс] РО:= сХю > Г [ятс] ! =яо1уе (яг1, Г [яхс] ); 6 яп(а) А„,:= Теперь дифференциальное уравнение движения тела Р будет выглядеть следующим образом: > г[ег=ехрапг((я1гар11Гу(г[е)) Г д! г(е:= тР ~ — х( !) = -с х( !) -~ с г[ яп(р !) [ дгт В начальный момент времени положение тела Р относительно выбранной системы отсчета равняется хо = — ггв, причем дв = (йд яп(а)) гг с — статическая деформация пружины под действием груза Е, а скорость х = О.

Решим дифференциальное уравнение с учетом начальных условий: > яо1: г]яо1че((с(е,х(0) =-т [ята], 0(х) (0) =0), х(С) ) ! !/с тР 11 с а! 5!п(,о !) яо!:= х(!) =— -Ум..,~ 2 ч'с тР (с — р! тР ) "е (, тР,! с — р! тР Часть ))1 Механика Теперь остается присвоить значения всем величинам и построить график движения тела Р: > а1рЬаг=аг/6; с(:=0.22 р:=10; 9:=9.81> о:=600; пО:=22 6(0]:=250*чгпЕ:=102 0(Е):=тяЕ*92 й(51Е)т=п(Е)*51ь(51рпа)/сг 1 а;= — и 6 4(:=- .2 р:= (0 я:= 9,8) с:= 600 тР:= 2 Ор ..= 19.62 тЕ:= 10 ст := 98.10 /,а .'= .08(75000000 > ееа16 (яо1) г х()) = —.(73 сйп() 73 /) —.0818 соя(!73 т) 5.300 я)п(10. () > р1ог (тпя (яо1), Ь=-0 .. 5, оо1ох=Ь1аок, ЬЬЕокпеяя=2); а4 02 -о.г -Оа Итак, решение получено.

Теперь можно воспользоваться графическими возможностями Мар!е и создать анимационную картинку движения тела Р по наклонной плоскости. Для этого сначала создадим на рабочем листе две процедуры. Первая (пример 12.2) будет отображать тело Р на наклонной плоскости в зависимости от значения координаты х его центра тяжести, а с помошью второй процедуры (пример 12.3) можно будет нарисовать пружину по координатам ее концов. > Ьос)у:=рхос(к,а1рпа) 'р1оппоо15/хопаСе'( 491 Глава 12 Задачи теоретической механики р1оссоо1я/гессапо1е' ([х-О. 25, 1), [х+О.

25, 0), со1ог59гау), а1рпа, [О, 0])) епб ргос: > ясг|п:=ргос(х,х1,а1рьа) 1оса1 ягг, бе1г,ро|пгя) бе1Г:=аЬя(х-х1)/13; ро|пся:=р1ос([[х,О),(х,1),[х,0.5], яец((х+бе1Г/2+бе1Г*г,0.5+(-1)"|*0.2),г=0..12), [хебе1Г*13,0.5)] ° со1ог=Ыаск,сщскпеяя=2,яса11пс=сопясга|пег(); рогпся:=.'р1оссоо1я/госасе (рогпся, а1рпа, [О, 0]); епб ргос: Обе процедуры возвращают графические Р].ОТ-структуры. И тело, и пружина сначала рисуются на горизонтальной плоскости, а затем полученные графические образы командой гогаге() пакета р|ос оо|я ПОВОРачиваются вокруг начала координат на угол а|рьа, чтобы представить их расположенными на наклонной плоскости.

Процедура рб|т(), представленная в примерЕ 12.4, использует их для построения анимационной картинки движения тела и пружины по наклонной плоскости. > рс]|1: =ргос (ец, ец1, а1рпа, Т) (] ец — уравнение движения центра тяжести тела (] еч1 — уравнение движения левого конца пружины () а1рпа — угол наклонной плоскости (] Т вЂ” интервал в секундах отображения движения тела 1оса1 11, гес, |, бс, сас)г,ря,рЬ,ТТ) () количество кадров в анимации сабг:=Т*10) () отображение наклонной плоскости 11:=р1ос((О,Гап(а1рьа)*х),х=0..6, Гьгсйпеяя=з,со1ог=Ыаск,ахея=НОКЕ)) (] перпендикуляр, проходящий через точку начального (] положения левого конца пружины ря:= р1оссоа1я/госаге'( р1ог ([[1, 0], [1, 1) ),со1ог=Ь|ас)с),а1рьа, [О, О) ) [) перпендикуляр, проходящий через точку начала координат рЬ:='р1оссоо1в/госасе ( р1ос([[3,0],[3,3]],со1ог=Ь1асх),а1рьа,[0,0]) Часть Ш, Механика 49х () интервал магогу кадрами бтс=т/сас)т) () создание кадров анимации Тот 1 Гсогп 0 Со сабт бо () отображение момента времени, которому соответствует кадр ТТ:='р1отя/Сехпр1от ( (5, 5, сап ("с = сопчесс (еча15 (бс" 1, 4), яс с1пч) ) ) ) ) () отображение тела на наклонной плоскости пес:=Ьобу(этеча1(ея,т=-бе*1),а1рпа)) () непосредственное формирование кадра Ч))1:=.'р1огя/бгяр1ау'((11,тес,ря,рЬ,ТТ, яс с1п (еча1(1+еЧ1, С бс"1), еча1(э-~еЧ-0.25,С=1*бп), а1рпа)), яса11пд=сопястагпеб); епб бо; () отображение полученной анимации 'р1отя/бгяр1ау'((яес((с)))ь,а=о..сабс)), 1ПяЕЧцЕПСЕг ЕпцЕ,яоа11ПЧ=СОПятпа1ПЕб)г епб рсос: Воспользуемся разработанными процедурами и построим анимационную картинку движения тела В в соответствии с полученным рец)снием его уравнения движения: > рб11 (тля (яо1), хг, а1рпа, 5) ( с ж Здесь, как всегда при представлении анимации, мы показали ее три кадра.

Так как колебательное движение тела, судя по построенному ранее графику изменения его положения на наклонной плоскости, происходит с большой частотой, то для получения реалистического движения тела следует увеличить в процедуре рб15 () значение переменной сабт таким образом, чтобы на одну секунду движения приходилось не менее 50 кадров. В этом случае аппроксимация движения в построенной анимации будет более реалистичной и соответствующей действительному характеру колебания тела. Полученное решение можно использовать для анализа поведения колебаний тела в зависимости от исходных параметров системы: жесткости пружины, массы тела Е или частоты вынужденных колебаний левого конца пружины.

Глава 72 Задачи теоретической механики При приближении частоты выну)кденных колебаний к собственной частоте колебаний системы, ее поведение будет приближаться к резонансному, которое характеризуется неограниченным возрастанием амплитуды колебаний тела Р. Построим графики движения тела Р при частоте вынуждающей силы )р, равной 14, !б и 17 с '. Для этого достаточно изменить на рабочем лис- тЕ ЗНаЧЕНИЕ ПЕрЕМЕННОй р, таК КаК РЕШЕНИЕ еа1 ПОЛУЧЕНО дЛя ПРОИЗВОЛЬНЫХ значений параметров системы; > р1.=16: р1аа (хье (еа1), =0 ..