Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (1185909), страница 87
Текст из файла (страница 87)
10, са1ат=ь1асх, аь1схае55=2, 61.5' е=-"р=) 1" ) 1 р=14 0.5 > р".=161р1а1(хье(ва1),1=0.,10,со1ат=ь1асх,'аьгс)с7е56=2,57.11е="р=.16")7 р=!6 > Р: =17:Р1ат (хье (еа1), 1=0 .. 10, са1ах=Ь1аск, -Ь1скаее6=2, 1111е="Р=17" ) 7 р 17 На рисунках можно наблюдать характер изменения колебательного движения тела при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте системы.
Можно создать анимационную картинку, на которой удобнее наблюдать изменение и характера колебательного движения, и увеличения амплитуды колебаний: Часть /И. Механика > р1опа [агшпапе) ~сна (ао1~,С=0..10,р=14 ..17, Ехаппеа=80,пшпро1ппа=ЗОО,со1ог=Ъ1асх,сп1схпеаа=2~ Чтобы команда создания анимации работала, нужно снова выполнить все команды Мар!е, с помощью которых мы строили решение задачи, но из блока команд присваивания необходимых числовых значений параметрам задачи следует удалить команду р: =10. гллвл 13 Метод начальных параметров в расчете балок Метод начальных параметров расчета нагруженных балок основан на одном из старейших методов решения задачи Коши для дифференциального уравнения — разложении решения в ряд Тейлора в окрестности точки начального условия.
Конечно, при ручном счете или при его реализации в традиционных системах программирования возникают значительные трудности при удержании достаточно большою числа членов ряда в решении или разложении переменных коэффициентов в ряды Тейлора, но реализация подобного подхода в системах аналитических вычислений достаточна проста и не требует больших усилий при программировании разложения в ряды любых функций. Реализация метода начальных параметров в Мар!е, с точки зрения автора, показывает всю мощь и силу систем аналитических вычислений в построении эффективных аналитических алгоритмов решения задач, математическая модель которых описывается системой дифференциальных уравнений.
Рассмотрим балку переменного сечения, лежашую на упругом основании переменной жесткости (рис. 13.1). Ее изгиб под воздействием внешних сил описывается обыкновенным дифференциальным уравнением четвертого порядка с переменными коэффициентами: (Е К(х) ии(х)) "— Ттт"(х) е к(х) тт(х) = й(х) . В этом уравнении произведение ЕК(х) — жесткость балки, где Е модуль упругости, а К(х) момент инерции поперечного сечения балки относительно оси„проходящей через его центр тяжести, (г(х) — коэффициент постели упругого основания, ц(х) — распределенная по всей длине балки нагрузка, Т— величина осевого усилия, а и(х) — прогиб балки по оси б Замечание Обычно момент инерции поперечного сечения балки относительно оси, проходящей через его центр тяжести, в строительной, механике обозначается !(х), но Часть!II. Механика в силу того, что в Мар!е константа ! представляет мнимую единицу, то, чтобы избежать путаницы лри дальнейшем программировании решения, мы не стали использовать это обозначение в уравнениях, а заменили его на К(х).
Рис. 13.1. Балка переменного сечения на сплошном упругом основании, загруженная поперечной нагрузкой и осевыми усилиями Дифференциальное уравнение четвертого порядка можно переписать в виде системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка и'(х) = 0(х) М(.т) Е К(х.) М(х) =)ч(х) )ч'(х) = Ч(х) е . — )г(х) и(х), ТМ(х) Е К(х) которую для удобства дальнейшего использования представим в матричной форме % '(х) = А(х) УУ(х) ч- В(х), где %(х) и В(х) представляют векторы-столбцы размерности (4х1), а А(х)— квадратную матрицу размерности (4х4): 0 ! 0 0 %(х) = А(х) = Все неизвестные функции системы дифференциальных уравнений, представляющие компоненты вектора%(х), имеют механический смысл: ту(х)— прогиб балки, О(х) — угол поворота поперечного сечения, М(х) — изгибаюший момент в сечении и Х(х) — перерезываюшая сила.
Для корректной постановки задачи изгиба балки следует также задать краевые условия на концах балки х=О и х 1, где 1 — длина балки. Однако мы не в(х ) О(х) М(х) Х(х ) 1 О 0 0 0 0 1 7' -)г(х) 0 0 0 0 В(х) = 0 Ч(х) )лева 13. а4етод начальных параметров в расчете балок будем здесь выписывать их для общего случая закрепления концов, а при решении конкретных задач изгиба балок укажем условия, накладываемые на неизвестные функции в зависимости от закрепления их концов. Теперь перейдем к описанию непосредственно самого метода начальных параметров, который мы предполагаем реализовать в Мар!е.' Вся балка по ДЛИНЕ раЗбИВаЕтСя На и уЧаСтКОВ тОЧКаМИ Ха < Х! « ...
Х, ! < Хл, ПРИЧЕМ хо=0, х„=1. Если все Лк = хке! — хы )с=б,.л — 1 достаточно малы по сравнению с длиной балки 1, то можно пренебречь изменениями матриц А(х) и В(х) на этих интервалах и положить А(х) = А(хь) = Ав, В(х) = В(хв) = Вм когда хк я х < хее! Тогда на интеРвале хк «х < хке! поведение механической системы может быть описано системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами %'(х) = А4%(х) + Вь Решение этой системы представляем в виде ряда Тейлора в окрестности точки х=хк и сохраняя в нем некоторое конечное число членов ряда, можно выразить значение вектора %(х) в точке х=хв+! по следуюшей формуле: 1 2 „1 Э „, 1 1 Производные вектора решения %(х) в точке х=хк вычисляются последовательным дифференцированием системы с постоянными коэффициентами, описывающей поведение балки на рассматриваемом интервале изменения независимой переменной х; %;=А,%,+ В,, %к" = Аь (Ак%ь + Вв), %к"' = Аьз(Ак%ь+ Вк), %к-- = А,з (А„%, + Вв), Подставив вычисленные значения производных в точке х = хк в формулу лля %тсь1, получим выражение вектора неизвестных функций системы %(х) в точке х=хк+! через его значения в точке х=хк %ьь! = Ак'%а+ Вь', где введены следующие обозначения 1 х 1 е 1 4 А„~-Е+ а А, .1 д Ах2+ к Ахз+ д А4 е 6 24 Описание метола начальных параметров ааимствовано иа книги В.
А. Постнова [71. 17з Часть!И. Механика ! 2 1 3 2 1 4 Вх'= (отЕ+ 2а„Ак+ бот Ах + 24 о, Ах ) Вь Через Е обозначена единичная матрица размерности (4х4). Используя полученную зависимость вектора решения %(х) на правом конце !г-го интервала через его значение на левом конце, можно выразить значение вектора решения в точке х=ххь! через его значение в начальной точке х=хо, т. е. на левом конце: %4 = Аь+%о+ Вх, Аьь = Аь' Аь !+, Ао~ = Ао', Вь+ = Аь Вь-! + Вь Во+ = Во ° )! = !..п. При 1=п это уравнение называется уравнением переноса граничных условий с начала на конец интервала изменения независимой переменной х. Оно позволяет определить значение вектора неизвестных функций %(х) в любой !г-й точке разбиения ллины балки как функцию, зависящую от параметров внешней нагрузки и значения вектора %(х) в точке х=О, соответствующей левому концу балки.
Для определения четырех компонентов вектора Юо следует использовать четыре граничных условия — по два на каждом конце балки, причем при вычислении граничных условий на правом конце следует использовать уравнение переноса граничных условий. После нахождения компонентов вектора %о из полученной системы уравнений, определение значении компонентов вектора !4!(х) в точках разбиения балки по ее длине не представляет сложности — достаточно последовательно лля !г= ! ..и применить полученное выше уравнение переноса.
Только что описанный алгоритм метода начальных параметров можно рассматривать как традиционное использование метода построения решения системы дифференциальных уравнений разложением в ряд Тейлора в условиях ручного счета или при его реализации в традиционных системах программирования, не предназначенных для работы с аналитическими вычислениями, например. Мяпа! Ропгап или С. На первый взгляд алгоритм метода начальных параметров позволяет получить дискретное решение в точках, разбивающих балку по ее длине на заданное число интервалов. Для получения решения в промежуточных точках следует уменьшать интервалы разбиения и снова строить уравнение переноса граничных условий для большего числа точек разбиения.
Однако если использовать возможности системы аналитических вычислений раскладывать в ряды функции, то метод начальных параметров позволяет получить аналитическое (в форме степенного ряда) решение, с помощью которого можно вычислить требуемые для расчета балки величины не на дискретном множестве точек, а в любой точке по длине балки. Разложим коэффициенты системы дифференциальных уравнений вместе с вектором%(х) в ряды Маклорена: Глава (3.
Метод начальных ларамет в в расчете балок А(х) =,~' А х', ю=о В(х ) = ~~' В, х', =.о %(х) = ~' % х'. ~=о В них А; являются числовыми матрицами размерности (4х4), а В; и %;— числовыми векторами размерности (4х!). Компоненты матриц А, и векторов В; известны и определяются из вида соответствующих компонентов матрицы А(х) и вектора В(х), тогда как значения компонентов векторов %, являются неизвестными величинами, которые следует определить исходя из дифференциального уравнения задачи и удовлетворения заданным граничным условиям. Подставив в дифференциальное уравнение разложения в степенные ряды вектора решения и ее коэффициентов, получим равенство двух степенных рядов ~', ()+ 1)%, х'= ~~' (( ~', А„%,)+ В)х'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
