Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена.djvu), страница 9

Наиболее часто сравнивают решения на сетках, шаги которых отличаются вдвое. Подчеркнем, что несмотря на внешнее сходство е оценкой (!.58) для локальной погрешности, соотношение (1.60) справедливо для полной погрешности численного решения, так как сравниваются решения, полученные путем расчета всего процесса от начального момента т« —— 0 до момента т; на двух разных сетках. Рассмотренный способ оценки полной погрешности не удается использовать при автоматическом выборе шага в процессе счета на основе оценок локальной погрешности. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Большинство рассмотренных выше схем решения одного дифференциального уравнения первого порядка может быть легко обобщено для решения системы М уравнений: — '=-~~(т, Т„..., Тю), Ты«=«=Ты, (1.61) ат« 4« Разностные схемы записывают для системы уравнений так же, как и для одного уравнения.

Отличие заключается лишь в том„чт«» вместо одного значения сеточных функций иг и )'(т,, иг) в каждом узле вычисляют векторные сеточные функции с Ф компонентами= Г=[иг», ..., ию~), ~/=[я, -, д«)„ где ~/, = )«(т;, и(, ..., и~г). 38 Например, явная схема Эйлера записывается для системы двух уравнений в виде | и~,~-г =.и~, '+ Ьт/,(тез и(, иГ), и','+'= — иг+Лт/о(ти и(', иг'). (1.62) Таким образом, запись какой-либо схемы для системы обыкновенных дифференциальных уравнений не вызывает дополнительных затруднений. Сложности могут возникнуть при ее численной реализации. Они обусловлены двумя обстоятельствами. Первое связано с необходимостью при применении неявных схем решения на каждом шаге систем алгебраических уравнений.

Этот вопрос рассматривается в $!.6 на примере неявной схемы Эйлера для системы уравнений теплового баланса. Вторая особенность численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений связана с достаточно широким распространением в практических задачах особого класса систем, называемых жесткими. Жесткие системы уравнений. Поясним понятие жестких систем и специфические трудности их решения на примере все той же задачи расчета нестационарного теплового режима системы тел. Пусть имеется следующая задача расчета нагрева двух тел внутренними источниками: ат, С,— =Р,— гг,„(Т,— Т) — оыТм Тг(т=-о= Тго, ггт дт, Со — '=Р,— о„(Т вЂ” Т,) — о Тм То~, о=Т ). гГт Точное аналитическое решение этой задачи имеет вид Т„(т)= О,„ехр(р,т) 4-г)о„ехр(рот)+7„"", и=1, 2, где Т"„'" — стационарный перегрев над средой и-го тела; В,„, .О,„ — постоянные, определяемые из начальных условий; р,, р, †собственные числа задачи, равные Р,, = — (лг, +ггго)/2 ~ [(т,— т,)о/4+о'„/Сг Со)гГо, лг, =- (о„+ о„)/С„лг, = (о„+ о„)/Со — параметры, имеющие смысл темпов охлаждения каждого из тел.

Из структуры зависимости для р,м видно, что может возникнуть ситуация, когда отрицательные показатели экспонент )г, и ро сильно отличаются по абсолютной величине, т. е. )р,~ (( )1г,~. Это неравенство будет выполнено, например, если то )) т„т. е. тело 2 обладает существенно меньшей тепловой инерцией; или в случае и, = лг„ С„= С„о„= о„и о„(( оы (тепловая связь между телами намного сильнее свЯзи со сРедой), тогда 1г, = — а„/С„Ро = — (2ого + + „)/С,.

При условии ~)«,! (( Ь«»~ в поведении решения Т„(т) можно выделить два временных интервала: начальный и основной, причем длительность первого значительно меньше, чем длительность второго. На начальном интервале происходит быстрое изменение второго слагаемого в решении, имеющего экспоненцнальный множитель с большим по абсолютной величине показателем. К началу основного этапа «быстрая» экспонента практически полностью затухает и процесс определяется первым слагаемым с большой постоянной времени.

Проблема численного решения системы уравнений с сильно различающимися собственными числами р„возникает в том случае, когда необходимо получить искомые функции на временном интервале, длительность которого значительно превышает начальный этап. Действительно, при использовании камой-либо из рассмотренных выше явных схем или схем прогноза — коррекции нельзя выбирать шаг по времени большим, чем это допустимо по условию устойчивости. Типичное ограничение на шаг по времени для решения системы уравнений имеет вид Л'г ~ Агапа« = Ы ~ Рп~ах ~ где постоянная Ь зависит от используемой схемы, а р„„„ — максимальное по модулю собственное число. При реализации численной схемы на начальном этапе процесса ограничение на шаг Лт не является обременительным, поскольку для расчета быстрого процесса, определяемого членом ехр (р ,„т), из условия получения требуемой погрешности расчета значение шага Лт, как правило, все равно должно быть меньше, чем Лт „.

Неудобства возникают после выхода на основную стадию. «Быстрый» экспоненциальный множитель в точном решении затухает и возникает потребность увеличения шага по времени для «отслеживания» медленно меняющегося процесса. Однако из-за свойств разностной схемы шаг увеличивать нельзя, поскольку сразу же начинает развиваться неустойчивость.

В результате вся длительная основная стадия процесса рассчитывается с малым шагом по времени. Это приводит к недопустимому увеличению затрат машинного времени и накоплению погрешностей округления, которое может существенно исказить окончательные результаты. Рассмотренный пример позволяет отметить две особенности жестких систем. Во-первых, в решении таких систем входят два вида функций: быстроубывающие функции, которые полностью «затухают» в начальной стадии, и медленно изменяющиеся функции, которые определяют процесс на основной стадии с длительностью, намного превышающей начальную.

Во-вторых, интервал, на котором требуется получить решение, значительно превышает начальную стадию. Таким образом, жесткость систем определяется как структурой решения, так и интервалом, на котором необходимо его получить. Строгое математическое определение понятия жесткости дано в книгах !22, 29). 40 Нами был рассмотрен важный и довольно типичный, но отнюдь не единственный пример жестких систем. Из этого примера вытекает наиболее распространенный критерий, позволяющий выявить жесткую систему в случае, когда ее собственные числа вещественные и отрицательные. Критерий заключается в сопоставлении помодулю максимального р,„н минимального р,„собственных чисел линейной или линеаризованной системы.

Если эти собственные числа сильно различаются по абсолютной величине (р, „/ц,„)) 1), а промежуток времени, на котором нужно получить решение, значительно превосходит интервал затухания ехр (Р „т), то система является жесткой и при ее численном решении по явным схемам возникнут проблемы с выбором шага. Для решения жестких систем применяют специальные неявные разностные схемы, при реализации которых возникает ряд трудностей. Во-первых, при решении систем нелинейных разностных уравнений применение метода простой итерации неэффективно. Необходимо применять метод Ньютона.

Во-вторых, линейные системы разностных уравнений, получающиеся либо непосредственно в процессе решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, либо при реализации метода Ньютона в случае нелинейных систем, являются часто плохо обусловленными. Для их решения применяют специальные приемы. В заключение отметим, что здесь мы лишь обратили внимание на существование класса жестких систем, при численном решении которых возникают трудности, и дали весьма не строгий качественный анализ причин этих трудностей.

Более подробно с методами решения жестких систем можно ознакомиться в книгах (22, 291. Программное обеспечение решения систем уравнений. Для численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений имеется достаточно большое число стандартных подпрограмм, реализующих различные одношаговые н многошаговые методы (15!. При применении этих подпрограмм пользователь должен составить подпрограмму, в которой производится вычисление правых частей конкретной системы уравнений, а также организовать вывод результатов — значений искомых функций и, 'при интересуюших значениях аргумента т;. Особенности использования стандартных подпрограмм разберем на примере подпрограммы (т КОИ из математического обеспечения ЕС ЭВМ, которая реализует схему Рунге — Кутта четвертого порядка для системы Ф обыкновенных дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования.