Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена.djvu), страница 11

Заметим, что если положить С, = 0 и выполнить одни шаг по времени, то сразу получим решение соответствующей стационарной задачи. Отметим одно обстоятельство, обусловленное линейностью рассматриваемой задачи (1.63), (1.64). Поскольку компоненты матрицы А не изменяются во времени при аы — — соп81, С, = сопз1, целесооб. разно один раз перед началом цикла по времени вычислить обратную матрицу А-', а затем дальнейшие расчеты в цикле свести к формированию столбца В'+' и определению температур 11'+' путем умножения обратной матрицы на вектор-столбец: 1)'+' = А-'В'+1. Обратная матрица может быть найдена, например, с помощью подпрограммы М1ХЧ (см.

Й.1.3). Таким путем можно достичь значительной экономии машинного времени по сравнению с формированием матрицы и решением системы на каждом шаге по времени. С ПМОИЦН ПРОГРЛМи П)И Р)ШНМ СКС)ТНЕ( РРЛИМИКЕ 2 с тнпюного нлмнсл по схп(е инге-юттл а кхттвиль Рот,ошт О(мпм(ои т(29>,ппп(29>,иат(5>,лпхиее> 5 сс(ВОН /стст/К1,КИ,Р(29),с(29),тс(5),К1л,и1И. Е «14(199>,(Н(59>,З)З(59),5(К(Ш) 7 сокмои /соотР/ ь,тт(29) Е СШ, РУОО(И1,ИК,Р,С,Т.ТС,И1.У,И1К,1,У,1К. в »511,5(к,тлп,тмлх,тт) 19 Ь1 11 РНМТ(1) 9.

!2 нплт(2) тмлх 12 имт(з>-тлп 14 РНМТ(4) 9.91 15 ОО 1 1 1,Н1 19 1 ОП(Х(1)-1./М( 17 слль ие)5(Рнмт.т,Рент,и1,(н(Р,РОТ,ОО(Р,М)х) 18 1Р(ПКР.ОЕ.19)РН1ИГ 2,)КОР 1е 2 Рон>мт(' (н(Р '.13,' еммкть нлг нлм )кнтчиВзсть') 29 ЖОР 21 П(О Рис. 1.2 Однако если о>1 или С( зависят от температур, то на каждом шаге 1 приходится вычислять их новые значения на основе температур и',-' и, следовательно, снова формировать матрицу А и решать систему уравнений. Поэтому выше рассмотрена структура программы„ которая пригодна и для таких нелинейных задач, решаемых путем пересчета матрицы на основе температур предыдущего шага по времени.

Решение по схеме Рунге — Кутта. Перейдем к программе решения задачи (1.63), (1.64) по схеме Рунге — Кутта четвертого порядка. Она строится на основе описанной в $1.6 стандартной подпрограммы 1( КО6, в которую уже «заложен» цикл по времени. Поэтому в головной программе (рис. 1.9) реализуется лишь задание размерности массивов, ввод исходных данных и обращение к (с КОВ.

Форма представления исходных данных совпадает с использованной в предыдущей программе для схемы Эйлера, а для ввода применяется та же подпрограмма Ч>/ОО. Входными данными для подпрограммы К КОЗ являются: начальные значения температур (массив Т), весовые коэффициенты (Р(, полагаемые равными для всех неизвестных (массив ПЕР "1'), число неизвестных (611), а также массив РКМТ, содержащий четыре значения: начальное и конечное значения времени (О и ТМАХ), начальный шаг (ТА~3), допустимую локальную погрешность (0,0!).

Для использования подпрограммы й КО6 требуются две подпрограммы: РСТ вЂ” расчета правых частей в системе уравнений вида (!.61) и 011ТР— вывода на печать результатов расчета (рис. 1.10). Для передачи в эти подпрограммы из головной програм- 48 мы ряда исходных данных, которые не являются параметрами подпрограммы К КОЗ, используются две общие области СОММОИ с именами СРСТ и С013РТ. В подпрограмме ЕСТ вычисляются значения производных оТ</от (элементов массива ОЕ)1 У) согласно формулам (1.63) на основе массивов мощностей, температур тел и сред, а также массивов 1), $1), 1К, Я К, указывающих номера взаимодействующих элементов и тепловые проводимости. В подпрограмме 0(ЗТР проводится сравнение текущего момента времени Т1МЕ с временами вывода результатов, которые заданы массивом ТУ.

В случае Т1МЕ ) ТУ (Е) реализуется вывод на печать, да- С В>И<Во(74ИМ ИИИСЗВНВ ПниаЩВПИ ПВ( РМВВЯ 2 с по ааа Рчк(т.ичттз з Вщищтие Рст<т!ие,т,вин) впаив!аи т(!).3В<т<!) 3 Спмок /СЧСТ/И1,ИК,Р(23),с(23),тс(в),н!З,И!К.

Е .ЫИЕЕ).!к<За),314<33).З!К<23) 7 с ззп>юь мвмсстчя е по ! 1-<,н! в ! мпт<!)-Р<!) !Е С ИПИСЬ НПП>И<К Паипни И!ПИР Тинка М ВО 2 И-<,НЫ 12 1 !Ю(2Н<-!) 13 4 !Л(2НП !4 ви<т(!) РВ<т<1)-314(н)е(т(1)-т(!)) 13 2 вивт<4)-пип<з)-з!1<н).<т<з)-т(!)) (е с заись ттпп)внх патс<Вв в СРВП< 17 ЗО 3 К !.И1К !3 1-!К<2 И-!> !е к-ж<г и) 23 з пип<!)-пи<к<1)-3!К<и) <т<!)-тс(к)) 21 с деппий нА тп)впмккти 22 ВО 4 1 1,Н1 23 4 иат<!)-йи<х<ы/сы) 24 ПЕПИ<и 23 ВВ 23 С 27 с и> по(типа пкчзти Рчзчпьтзтов йи! Рчиипи по апиа Рчкгвчпттв пз В)и)пгг!Кк сщт<т!Ке,т,пип,ппп,и(,тип) зе микнщои т<!>,виях<!).иеп<!) зе саами /сок<7/ ь,тч<23> з! 17<7!Иелт.тт(и>сото 2 32 Ь Ь+! зз Рн-имт<3)/2««!К<Р 34 ипнт !.т!КК,РК,<т(ыд-<,иы 33 ! язвит</' ИРВнь',с!3.3,' изг-',с!е.з/ 33 %' щаерзтчги теп'/(сс!1.3)) 37 2 КЗТПИИ 38 ВВ Ряс.

1.1О 49 лее сравнение проводится со следующим элементом массива— Т'т' (). + 1) и т. д, На печать выводится значение текущего момен. та времени, текущего шага интегрирования и л(, температур тел, Значение шага (РК) определяется на основе начального значения (РЙМТ (3) = ТА()) и целого параметра ! Н!.Р, который указывает, сколько раз начальное значение шага делилось пополам. Если начальный шаг в подпрограмме ц КОЗ уменьшался вдвое 11 раз (1Н1.Р = 11), то управление передается в головную програм. му, расчеты прекращаются и печатается соответствующее сообщение В этом случае следует в исходных данных изменить начальное значение шага (ТА()) или погрешность (РРМТ (4)) и повторить расчет.

ГЛАВА РЕАЛИЗАЦИЯ НА ЭВМ ТОЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ Для многих задач расчета пространственных температурных полей в телах канонической формы могутбыть получены точные аналитические решения. Однако для нестационарных одномерных и любых дву- и трехмерных задач эти решения записываются в виде рядов, интегралов, часто содержат специальные функции. Во многих случаях в аналитические выражения входят параметры, являющиеся корнями трансцендентных уравнений и систем таких уравнений, которые могут быть решены лишь численно.

Поэтому расчеты пространственных температурных полей на основе точных аналитических решений также требуют применения ЭВМ. Рассматриваемые в главах 3 — 5 численные методы расчета позволяют решать значительно более широкие классы задач по сравнению с аналитическими методами. Однако тем не менее использование точных аналитических решений при расчетах на ЭВМ температурных полей в ряде случаев весьма полезно. Это вызваноследующими обстоятельствами. Во-первых, эти решения используют в качестве тестовых при анализе различных численных схем. Во-вторых, применение аналитических решений часто позволяет существенно сократить затраты машинного времени и памяти, так как число пространственно- временных точек, в которых находятся значения искомой функции, определяется только объемом требуемой информации об исследуемом процессе.

При использовании же численных методов число узлов пространственно-временной сетки, необходимое для получения разностного решения с удовлетворительной точностью, как правило, оказывается существенно ббльшим. Кроме того, реализация многих раз- постных схем требует больших дополнительных затрат машинной памяти для хранения рабочих массивов при решении систем разностных уравнений.

В данном разделе на примере одной задачи теплопроводности рассмотрим типичные задачи численного анализа, возникающие прн реализации точных аналитических решений, и методы их решения. С вопросами построения точных решений задач теории теплопроводности и конвективного теплообмена можно познакомиться по учебным пособиям 13, 131.

а 2.к пОстАНОВкА 3АдАчи 12.2) 51 Рассмотрим задачу расчета нестационарного одномерного температурного поля в неограниченной пластине толщиной 1. В пластине распределен источник теплоты, имеющий объемную плотность мощности д„(х). Поверхность пластины х:-- О теплоизолирована, а на поверхности х == 1 происходит теплообмен со средой по закону Ньютона. Начальное распределение температуры равномерное, и эта температура отлична от температуры среды. При такой постановке задачи уравнение теплопроводности и краевые условия имеют вид(311 дд дз д Чо (х) — =а — + (2.1) дт дл'~ ср — =О, ~Х вЂ” +и()~ =О, б 1т = а = б01 (2.3) здесь б = 1-- 1, — перегрев над температурой среды.