Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена (Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена.djvu), страница 2

Все это делает весьма актуальным рассмотрение упрощенных моделей, позволяющих рассчитывать интегральные характеристики процессов теплообмена и описываемых системами алгебраических иобыкновенныхднфференциальных уравнений. В дальнейшем такие модели будем называть моделями с сосредоточенными параметрами, отделяя их тем самым от моделей с распределенными параметрами, которые учитывают пространственные распределения физических величин.

Практика показывает, что при реализа- 1 ~ .е ции моделей с сосредоточенными парамет- 4 рами целесообразно выделять достаточно г общие модели этого вида и разрабатывать для каждой из них универсальное программное обеспечение, позволяющее решать широкий круг конкретных задач. В данном Г~ разделе рассмотрим методы численного рас- Ц~ чета и программную реализацию для одной из таких моделей, которая позволяет проводить расчет средних температур в системе а« ~« тел и потоков теплоносителей, находящих- Рве. 1.1 ся во взаимном теплообмене. Описываемые ниже методики и приемы типичны и для других моделей с сосредоточенными параметрами. Перейдем к описанию модели для расчета средних температур.

В этой модели рассматриваются объекты трех видов: М, объемов— твердых тел с равномерными температурными полями Т; (т), в которых действуют источники теплоты с мощностями Р;; )ч' объемов— каналов с протекающими в них теплоносителями, имеющими средне- объемные температуры У, (т) и среднемассовые температуры на входе и выходе каналов У~" (т) и 01"" (т); Ф, объемов — сред с постоянными температурами 0„(рис. 1.1). Твердые тела находятся в теплообмене друг с другом, а также с теплоносителями и со средами. В данной модели предполагается, что "тепловые потоки, приходящие к данному телу 1 от соседних тел (Р7~), а также от теплоносителей (Рн ) и от сред (Р7), можно выразить через разности их средних температур в виде РУ= и(т,— т,); Рт =ат (и,— т,), Р, = (ń— т1) (И) где ас,', ай, ай — тепловые проводимости между телами 1 и 1, телом 1 и теплоносителем 1, телом 1 и средой й соответственно.

Тепловые проводимости рассчитывают на основе соответствующих коэффициентов теплоотдачи и размеров (5, 12, 31]. Они могут учитывать различные механизмы переноса теплоты. 7 Поскольку мощность Рь выделяющаяся в теле 1, расходуется на его нагрев и передается окружающим телам, теплоносителям и средам, уравнение теплового баланса для него записывается в виде Ю мж Р;=С; '~' +,')' и, (т,— т,)+ 'У пР(т,— и,). 1=. 1 лс + э а;;(Т; — В„), 1=-1, ..., У„ 1=1 (1.2) где С~ — полные теплоемкости тел. Тепловой поток, поступивший от тел к теплоносителю в объеме /, расходуется на его нагрев в этом объеме, а также выносится из объема вытекающим потоком теплоносителя.

Поэтому уравнение теплового баланса для теплоносителя имеет вид Ф . (т — и) = С вЂ” '' + с, О, (ит" — и;") (1.З) ят где С~ — полная теплоемкость теплоносителя в объеме 1; с, — удельная теплоемкость; О~ — массовый расход теплоносителя, протекающего через объем 1. В модели допускается, что на входе в 1-й канал может происходить смешение нескольких потоков, одни из которых вытекают из других каналов (индекс гп), а другие — из объемов (индекс й), имеющих известные температуры Вд. Тогда для среднерасходной температуры теплоносителя на входе в йй канал и~" справедливо соотношение < лж ~с ,„О„,+ ч; О„,)и;"= ~;, О„,и'""+ ~ Оый„, (1.4) т=~ а=1 Г ~=1 а=1 где О ь Од, — массовые расходы теплоносителей, втекающих в 1-й канал из т-го канала и й-й среды с постоянной температурой соответственно.

Зля замыкания системы уравнений (1.2) — (1.4) необходимо иметь соотношение, связывающее среднюю температуру и~ с температурами и~*, и~" . Это соотношение можно получить на основе того или иного допущения о характере пространственного изменения температуры теплоносителя. Например, при линейном изменении температуры по длине канала справедливо равенство и~ — †(и~" -~ и',"")/2; при интенсивном перемешивании теплоносителя в объеме У~ †-- У~"". Обобщением этих соотношений является выражение У,=~,УТ"+(1 — ),)и,'*, о<,~,<1, (1.5) которое н будет использоваться в дальнейшем. Подставив выражение (1.5) для (7, и выражение для (7;" из (1.4) в уравнения (1.2), (1.3), получим систему (Ж, + ЬГ ) уравнений относительно неизвестных температур Т, (1 = 1, ..., Ь1,) и (7;"" (! = = 1, ..., ЬГ ).

Для полной постановки задачи задаются значения искомых температур в начальный момент времени (1.8) Таким образом, задача определения нестационарных средних температур твердых тел и теплоносителей сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных в начальный момент времени значениях неизвестных функций Т, (т), У;"* (т), т. е. к решению задачи Коши [21. В случае, когда температуры постоянны во времени, производные по времени следует приравнять нулю„и в результате получается система алгебраических уравнений относительно искомых температур. Тепловые проводимости, теплоемкости и мощности могут зависеть от искомых температур.

Поэтому в общем случае получающиеся системы уравнений являются нелинейными. Однако при решении систем нелинейных уравнений обычно организуют итерационный процесс, при котором определение очередного приближения проводится путем решения системы линейных уравнений, в которой проводимости, теплоемкости и мощности рассчитаны по значениям температур, найденным на предыдущей итерации. Решение систем линейных алгебраических уравнений лежит также в основе некоторых методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений- Изложение методов решения систем алгебраических уравнений.

начнем с линейных систем. $ !л. метОлы Решения систем АлгееРАичесиих уРАВнений Рассмотрим методы решения системы Ж линейных алгебраичееких уравнений вида ам и, ! ами,-! ... +агнии =Ь„ ам и, + ам и, -1- ... + азн ин = Ь„ (1.7) ан~ ит+анз из+."+анн ин=Ьн, которую будем записывать далее в сокращенном виде или в матричной форме пп пж " п~л А — ом ам "° азя ард ал« ... алл (1.9) где А — квадратная матрица размером У х Ф;  — вектор-столбец правых частей; 0 — вектор-столбец неизвестных с У компонентами.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений разделяют на две группы: прямые и иверационныг. В прямых методах решение находят за конечное число действий, зависящее от числа неизвестных 1»', и зто решение было бы точным, если бы при выполнении арифметических операций не было погрешностей округления, т. е. еслибыдействия проводились с неограниченным числом знаков. В итерационных методах сначала задается некоторое начальное приближение к решению (и<«>)„'",, а затем реализуется повторяющийся процесс определения последовательных приближений (и~ч)„'»,, в котором каждое з-е приближение находится на основе предыдущего (з — 1)-го (ип — „П)„'",.

При возрастании номера итерации з приближенное решение стремится к точному. Итерационные методы применяют для решения не только линейных, но и нелинейных систем алгебраических уравнений. Выбор метода решения на ЭВМ системы линейных алгебраических уравнений зависит от свойств матрицы А, числа уравнений )»' н возможностей ЭВМ вЂ” объема оперативной памяти, быстродействия и числа значащих цифр, с которыми ведутся вычисления. В настоящее время в прикладном программном обеспечении ЕС и СМ ЭВМ имеется достаточно большое число программ, реализующих прямые методы.

Здесь мы рассмотрим только один прямой метод — метод Гаусса. Некоторые другие прямые методы — метод прогонки, метод квадратного корня — будут рассмотрены ниже в главах 3 и 4 при обсуждении алгоритмов решения тех задач, где их использование наиболее эффективно. Метод последовательного исключения Гаусса. Этот метод основан на простой процедуре, которой многие интуитивно пользуются при «ручном» решении систем. Это последовательное исключение неизвестных и„"., ик-, и получение в конечном итоге уравнения с одним неизвестным ил.