История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004).djvu), страница 9

Несмотря на жизненные невзгоды — он потерял сына, который был казнен, лишился своего огромного состояния — Кардано увлечение занимался наукой. Кардано готовил большой математический труд "Великое искусство или о правилах алгебры". Ему очень хотелось вклкв чить туда результаты Тартадьи по кубическим уравнениям. Он выманил у Тартальи секрет под клятвенное обещание не разглашать его. Несмотря на зто, Кардано опубликовал в своей книге доверенную ему тайну, сославшись на Тарталья как на автора метода. Тем не менее Тарталья был возмущен, завязалась долгая н ожесточенная полемика.

Трудно сказать, что нового внес сам Кардано в решение Тартальи, но для потомков осталась формула Кардано, а не Тартальи. Кардано тоже не смог одолеть неприводимого случая. Некоторая ясность была внесена последним из больших болонских математиков Бомбелли. В своем труде "Алгебра" (1572) Бомбелли развил теорию комплексного числа. Он вводит правила — 41— действий над комплексными числами п + Ь1, опирающиеся на .2 = — 1. На примере уравнении хь = 15х + 4 он показал, что в неприводимом случае вещественный корень получается как сумма двух комплексных чисел а+ 51 и а — Ь1.

4. Волыпой вклад в науку внес французский математик ХЧ1 века Франсуа Виет. Юрист по образованию, он состоял при дворе королей Генрихов 1П и 1Ч. Одним вз основных достижений Виста было введение в теорию алгебраических уравнений буквенных обозначений. Влияние этого на развитие математики было огромно, и его можно сравнить с введением в практику арабских цифр и символики Лейбница в анализе..

Усовершенствование обозначений Виетом во многом определило успехи Декарта в создании аналитической геометрии. Однако символика Виста все еще была далека от совершенства, в частности, изза трактовки величин в духе геометрической алгебры древней Греции. Виет получил много математических результатов. Он остроумно обошел трудности, возникаюпше в решении Тартальи и Кардано в неприводимом случае, сведя его к задаче о трисекции угла.

Виет установил, что всякое неприводимое уравнение может быть сведено к виду х — Зх =' а. В таком виде можно з записать тригонометрическое соотношение 2 2 ' и. рис. 5.1, Очевидно что Ялов = — й ыпа = В ьш — сса— Э 2 2 2 и 1 2 . а 2 . я Я„= пйхып — соь — ~ Я2„=. 2п-В сйп — = пй ып — Отсюда и и " 2 2 и Я„я — = соь — Полагая и = 4, 8, 16, ..., Я2ю Яь ,4 1>' получаем последовательно — = соь — ~ Яь 4 Яь я — = — соь — .. - Виет полагает, что при Яш 8 и == оо площадь многоугольника равна площади круга, Я, = яй~. Перемножая цепочку равенств„получаем Яь Яь Яш Яь 2В Яь Я16 Я22 2 я и к = — = соь — соь — ' соь к 4 8 16 Рис. 5.1 1+ (2ссе — ) — 3 (2соь — ) = 2соьа 2 дающее решение задачи о трисекции угла.

Последнюю Виет решает методом вставок, известным еще древним грекам. Виет установил ряд теорем о связи корней уравнения с его коэффициентами, носящих его имя. Получил разложения тригонометрических функций кратных дуг, например, юл т1т 1) м-2 2 СОЬ та = СОЬы а — СОЬ~ 2 а ЫП~ а + 1 2 и рекуррентные формулы типа соьта = 2сснасое1т — 1)а — соь(т — 2)а.

Виет впервые ввел в математику бесконечное произведение, выразив с помощью его число и, Пусть ߄— площадь правильного п-угольника, вписанного в круг радиуса Й,и а =- — , 2я и " 42— Полученное Виетом бесконечное произведение сходится, хотя он, естественно, это не доказывает. К концу ХЧ1 века, по существу, сложилась теория решения уравнений до 4-ой степени. Решение уравнения 3-ей степени давала формула Кардано.

Ученик Кардано Феррари дал метод решения уравнения 4-ой степени путем сведения к уравнению 3-ей сгепени. Эти результаты Феррари также были включены в знаменитую книгу Кардано "Великое искусство"'. Естественно, перед учеными встала задача решения алгебраических уравнений произвольной степени. Многочисленные попытки сделать это оканчивались неудачей. Лишь через ЗОО лет в Х1Х веке норвежский математик Абель показал, что нельзя выразить в радикалах решение общего алгебраического уравнения степени п, > 4. Он прожил очень короткую жизнь, умер в бедности больным чахоткой.

Возможно Абель просто не успел получить общий критерий разрешимости уравнения и-ой степени. Это сделал другой вы- — 43— дающийся математик француз Галуа на основе созданной им теории групп. Галуа жил примерно в те же годы, что и Абель, н прожил еще более короткую жизнь, оборвавшуюся на,вуали на 21-м году жизни. Он успел написать несколько математических работ, принять участие во Французской революции 1630 года и провести несколько месяцев в тюрьме.

Галуа не успел опубликовать своих математических работ. В ночь перед дуэлью он написал письмо своему другу с кратким згзложением последних результатов по теории уравнений, которое заканчивалось словами: аТы публична попросишь Якоби или Гаусса дать заключение не о справедливости, а о значении этих теорем. После зтогоз я надеюсь, найдутся люди, которые сочтут нужным расшифровать всю эту галиматью ". Эта "галиматья" содержала теорию групп — основы современной алгебры и геометрии.

Первые публикации работ Галуа сделал через 14 лет Лиувилль в своем журнале. ГЛАВА 3. МАТЕМАТИКА ПОСЛЕ ЭПОХИ ВОЗРОяКДЕНИЯ 5 6. Математика и астрономия. Изобретение логарифмов 1. Математика и астрономия наиболее древние науки. На пробок, зяжении нескольких тысячелетий они развивались бок о дополняя и обогащая друг друга. Фактически из нужд астрономии возникла и долгое время развивалась как ее составная засть тригонометрия, в особенности сферическая, пока трудами Гуси (Х1П в.) и Мюллера (ХЪ' в.) она не сформировалась в самостоятельную математическую науку.

Математика наряду с наблюдениями всегда была основой астрономии. Теория конических сечений позволила Кеплеру обобщить данные наблюдений н сформулировать в Х1зП веке свои знаменитые законы. Математический гений Ньютона дал возможность строго обосновать динамическую теорию строения Солнечной системы. С другой с.героны, на рь ы на развитие астрономии и математики большое влияние оказывало мореплавание.

Когда арабы, начиная с т'П века блокировали Восток от Запада, евроасйцы вынуждены были искать пути обхода этих заслонов. Марко Поло первым проложил ссвсрный путь в Китай (швлковый путь). Начались поиски морских путей в Инлию вокруг Африки. Это были длительные поиски, которые привели к великим открытиям в Хг'-ХЪЧ веках. .

В 1497-1499 гопюс португальский мореплаватель Васко да Гама впервые достиг Индии, согнув Африку. Затем португальцы достигли этим путем Индонезии, Кишк и Японии. В 1492 году испанская экспедиция, организованная уроженцам Генуи Христофором Колумбом, открыла Америку в поисках Индии в западном направлении. В 1519-1522 годах испанская экспедиция, возгла. эяясмая цортугальцем Магелланом, плывя иа запад, достигла Азии и вервупась в Испанию, обогнув Африку. Столь дальние плавания требовали надежных мвгццов опргдспеиия гвографическнх координат судна. Астрономвчсские методы позволяли опрвдглять широту достаточно точно. Лдя рвазсаия пробпсмы точного спрэд лсния долготы потребовалось почти три столетия со времени плавания Колумба.

Решить зту проблему -- одна из задач, поставпеннык при создании Лондонского королевского общества и Французской академии наук. Особенно остро была осзюнана необходимость скорсйшсго решения этой задачи после катастрофы английского флота, происюсдшей в 1707 году изза неправильного определсния долготы. Были выполнимы многочисленные исследования Гюйгснсом (1557) по творни мавтниковых часов, Ньютоном и Эйлером по движению Луны, Меркатором по картографии.

Английский парламент назначил премию в 20 тысяч фунтов стерлингов за изобретение часов, точных в условиях плавания. Ее получил английский механик Гаррисон, создавший в 1761 гозу маятниковые часы. На испытаниях за вре. мя плавания, длившегося 156 дней, часы Гаррисона отстали лишь на 15в. С таким щюнометром совершал свое второе путешествие Кук в 17Ю вЂ” 1775 годах. Залача определения географической долготы была решена. В ходе ее решения была разработаны новые математические методы и получены важные результаты. В период великик географических открытий большое развитие получила астрономия.

В ХЧ-ХЧ1 веках в корне изменились представления о Солнечной системе. Авторитетом Птолемея в течение тринадцати веков подлержввалась концепция о геоцентрической Вселенной, в центре которой на. ходнгтл Земля, котя еще в 1П веке ло и. э. Аристархом была высказана гелиоцентрическая гипотеза. После многочисленных наблюдений польскяй ученый Николай Коперник в 1543 году опубликовал знаменитый труд "Об обращении небесных тел", в котором изложил представление о гелиоцентрической Вселенной. Он объяснил вцлиыые движения светил вращением Земли и обращением планет вокруг Солнца. Однако он придерживался по Птолемею круговых орбит планет вокруг Солнца.