История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004).djvu), страница 42

Пусть теперь множество А =- (аназ,...,а„,...) счетно. Совершенно аналогично сопоставим любому подмножеству А число й, которое в этом случае будет бесконечной (в частном случае конечной) двоичной дробью, а все числа а заполняют без пробелов интервал [0,1). При этом некоторые точки интервала повторяются дважды (например, 1/2 = 0.1000... = 0.0111... ), но легко убедиться, что таких точек счетное множество. Если обозначить множество точек интервала В, а его мощность В, то очевидно, что В > Ие.

Кантор доказал, что В строго болыпе Ке. Мощность В называется мощностью континуума„и для нее также введено специальное обозначение К (без индекса). Иначе говоря, точки интервала нельзя перенумеровать никаким способом. Этим замечательным результатом была установлена связь между дискретной последовательностью целых положительных чисел и континуумом действительных чисел — точек интервала [0,1). По аналогии с конечными множествами принято обозначение К = 2"'. В связи с этой формулой возникает один очень важный вопрос. Обращаясь снова к конечному множеству, заметим, что в интервале между и и 2" всегда существуют целые числа, иначе говоря, конечные множества, мощности которых заключены между и и 2". Имеет лн это место для бесконечных множеств? То есть, существуег ли множество, мощность которого К1 заключена между Ке и К, т.

е, Ие ( К1 с К ? Эта проблема была сформулирована Кантором и названа им континуум-проблемой. Гипотеза, что множество с мощностью меньшей К и большей Ке не существует, называется континуум-гипотезой. Кантор пытался выяснить справедливость континуум-гипотезы с помощью развитой им еще более глубокой теории так назы- ваемых трансфинитных чисел, основанной на обобщении на бесконечные множества не количественных, а порядковых свойств чисел.

Она слишком сложна для краткого изложения, и мы ее описывать не будем. Теория трансфинитных чисел Кантора оказалась весьма плодотворной, но в то же время привела к новым проблемам в построении теории множеств. Что касается континуум-гипотезы, то в 1963 году П. Коэн доказал, что она не зависима от системы аксиом теории множеств и в рамках этой теории не может быть ни доказана, ни опровергнута. Эта ситуация в какой-то мере аналогична аксиоме о параллельных в геометрии Евклида.

~ 20. Средства вычислений н 1. С того времени, как человек осознал понятие "количество и научился считать, то есть сопоставлять набор нескольких объектов с некоторым "стандартным" набором (пальцы, набор камешков и т. д.), возникли и приспособления, предназначенные как для облегчения и ускорения самого счета, так и для фиксации, "запоминания" исходных данных и результатов.

Для последней цели наиболее древним приемом, по-видимому, является нанесение зарубок на различных предметах, затем на специальных палочках или дощечках (бирках), узелков на бечевках и т. п. Позже бирки начали использоваться не только для фиксации чисел, но и для счета. Более эффективными для счета оказались приспособления, где возможна не только постоянная (как зарубки), но и временная фиксация чисел, например, с помощью перемещения и группирования предметов. Для этих целей оказались удобными камешки или косточки, специалыю изготовленные и обработанные для целей счета.

Одновременно с развитием таких примитивных вспомогательных средств вычисления происходило зарождение систем счисления: счет парами, тройками, пятерками и т. п. Выражение "трн пятерки камней и два камня" использовалось еще до появления названия числа 17. Заметим, что латинское слово са1сийи означает "камешек", и отсюда произошли такие термины как "калькуляция" и "калькулятор". Процесс развития средств вычисления, основанных на размещении и группировки стандартного набора предметов, продолжался достаточно долго (по мнению некоторых историков — 212— — 213 -.

около 10 — 12 тысяч лет) и завершился появлением абака. Под абаком понимается счетный прибор типа размеченной доски, на которой указаны места расположения камешков для отдельных разрядов чисел. Таким образом, число определяется не только количеством камешков, но и их расположением на доске. Есть основания полагать, что абак применялся уже в странах Древнего Востока, в том числе в Вавилоне, Древнем Египте и Финикии. Первое дошедшее до нас упоминание об абаке находится у Геродота (Ч век до н. э.), который отмечал, что египтяне считают с помощью камешков.

Независимо от Древнего Востока абак появился и в Китае примерно в то же время. В течение последующих столетий абак получил широкое распространение во всем мире. Его развитие и техническое усовершенствование происходило в разных странах по разному, однако общей тенденцией была более жесткая фиксация перемещаемых косточек, что значительно упрощало пользование абаком и снижало появление ошибок. Важно также, что одновременно шло и развитие позиционных числовых систем, а так же способов вычисления на бумаге.

Не имея возможности подробно останавливаться на всех разновидностях абака и его модификаций, отметим лишь, что наиболее удачной конструкцией оказались китайские и русские счеты, широко распространившиеся в Азии и России. Между китайскими и русскими счетами существуют некоторые различия, однако общее для них — расположение косточек на проволоках, что оказалось очень удачным. Достаточно сказать, что в СССР еще в 40-х 50-х годах прошлого века счеты применялись наряду с арифмометрами даже в сложных технических расчетах как устройство для суммирования, не говоря уже о бухгалтерских и торговых расчетах. Фактически они были вытеснены только электронными карманными калькуляторами.

2. К домеханическим средствам вычислений относятся также палочки Непера (ХЧП век), названные по имени их изобретателя, и подобные им приспособления для умножения многозначных чисел. В наборе палочек Непера имеется девять различных, соответствующих цифрам от 1 до 9. Палочка разделена на девять клеток, в которых записаны произведения данной цифры на 1, 2,..., 9, причем в каждой клетке десятки отделены от единиц диагональю.

Для того, чтобы, например, получить произве- — 214— денис 456 х 7, нужно приложить палочки 4, 5, 6 одна к другой и просуммировать числа, находящиеся в клетках 7-го ряда, причем суммируются цифры по диагонали (рис. 20.1). При умножении на многозначное число результаты умножения на каждую цифру складываются на бумаге.

Самим Непером и другими изобретателями были предложены усовершенствования палочек Непера. Некоторые из них были позже нсполь- 3 1 9 резупьгнг 456х7 3 6 Рис. 20.1 зованы при создании механических вычислительных устройств. Можно отметить также изобретенные в России в Х1Х веке приборы для умножения многсоначных чисел на несколько однозначных, основанные на оригинальной теории чисел, принадлежащей математику-самоучке 3. Я. Слонимскому. Он же был изобретателем единственного в своем роде прибора, действие которого основывалось на теории чисел. Прибор был высоко оценен Петербургской Академией наук, которая в 1845 году присудила Слонимскому Демидовскую премию второй степени. Отметим, что существует еще одно немеханическое устройство "для облегчения и ускорения" вычислений — это таблицы.

Их использование также восходит к глубокой древности. В Древнем Египте применялись таблицы для разложения дробей на основные. При вычислениях в 60-тиричной системе использовались таблицы умножения 60-тиричных цифр. Описанные вьппе палочки Непера и их усовершенствования также содержали заранее заготовленные таблицы. И, наконец, изобретенные Непером и Бюрги таблицы логарифмов явились одним из самых мощных для своего времени средств повышения эффективности работы вычислителей. Таблицы получили огромное распространение во всех областях человеческой деятельности, и их применение стимулировало развитие таких разделов математики как теория интерполирования и аппроксимации.

С ними тесно связаны и задачи представления континуальных функций дискретными агрегата- — 215— ми (ряды, аппроксимации Паде и др.), а также вопросы структуры функций, приближающих к тому или иному классу. В последние десятилетия числовые таблицы элементарных функций практически вышли из употребления, их место заняли карманные калькуляторы, а повсеместное распространение персональных компьютеров уготовили ту же участь и таблицам трансцендентных функций.

Тем не менее, вопросы яредпгавления функций остаются актуальными именно для разработки эффективных вычислительных программ. 3. Основной задачей, которая должна быть решена при конструировании механического устройства для выполнения арифметических операций, является автоматический перенос десятков из низшего разряда в высший (для устройств, основанных на иной системе счисления перенос основания сисгемы). В ХЧП веке появились идеи создания механических устройств, решающих эту задачу, а также были предприняты попытки изготовления отдельных экземпляров реальных вычислительных машин. Массовое производство их в это время было невозможно как по технологическим условиям, так и из-за отсутствия достаточного спроса со стороны промышленности и экономики.

Основными потребителями вычислительных машин в этот период могли быть только астрономы. Как было выяснено в 1957 году, профессор восточных языков Тюбингенского университета Вильгельм Шиккард в 1623 году в письме Кеплеру сообщил о создании им машины, автоматически выполпяющей четыре арифметических действия. Сама машина не сохранилась (погибла во время пожара), ио по найденным рисункам и указаниям Шиккарда для механика машина Шиккарда была воссоздана в 1958 году в Тюбенгентском университете. Она предназначалась для выполнения четырех арифметических действий над шестиразрядными числами и состояла из суммирующего, множительного и запоминающего узлов. Конструкция машины была очень простой и достаточно надежной.