История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004).djvu), страница 38

Так как размеры не всегда выражались целыми единицами, естественным образом возникали доли едяниц измерения и появилось отвлеченное понятие дроби как части единицы. С другой стороны, можно было принять долю единицы измерения за новую, более мелкую меру и тогда размеры снова выражались в целых числах. Сравнение величины двух объектов сводились к сравнению двух целых чисел или к их отношению.

На эхом первоначальном уровне развития понятия рационального числа и дробной величины могла трактоваться двояко — как количество долей единицы и как отношение двух целых чисел. Этого было достаточно для практических целей, и причин для дальнейшего расширения понятия числа не было В Вавилоне и древнем Египте были значительные различия в представлении чисел и в действиях с ними. В Ш-Н тысячелетиях до и. э.

в Вавилоне уже существовала позиционная система с основанием 60, в которую включались не только целые, но и дробные числа. Причины возникновения 60-тиричной системы не совсем ясны. Некоторые историки математики связывают это с тем, что число 60 = 2 2. 3 5 состоит из наименьших простых чисел, которые присутствуют в значительном количестве среди множителей в шестидесятиричном представлении числа. Кроме того, 60- 6 = 360, а в древнейшие времена год считался равным 360 дням. Однако зто всего лишь гипотезы. Система с основанием 60 прижилась, в течение длительного времени использовалась во многих странах и оставила глубокий след в жизни человечества.

Мы и сейчас делим градус и час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Недостатком вавилонской системы в начальный период было отсутствие знака для нуля, однако позднее он появился. Так, например, в астрономических таблицах середины первого тыся челетия поивляются записи вида (в современной транскрипции): 10 4 с 11 32, что означало 10 + 4 . 60 ~ + 0 - 60 э + 11 - 60 э + 32 . 60 4. Положение разделительной запятой, отделяющей целую часть от дробной, определялось из контекста. В клинописных вавилонских табличках встречались и простые дроби.

Например, дроби 1 1 1 2 5 — — — — имели специальные обозначения. Относительно способов выполнения арифметических операций в Вавилоне известно мало, но, по-видимому, они были близки к современ- ным. Сведения о древнеегипетской математике основаны главным об азом на двух папирусах математического характера (см. 3 1).

Р Для записи чисел египтяне применяли десятичную иероглифическую систему. Каждое число вида 10" (х = 0,1,2,...,7) изоб алась специальным иероглифом. В записи числа зти иероражалась глифы повторялись для каждого разряда столько раэ, сколько единиц было в данном разряде. Группа из пяти иероглифов отмечалась отдельным знаком и, таким образом, в записи числа никогда не содержалось более 5 едгшиц любого раэ1щпа. Сложение и вычитание выполнялись обычным способом, умножение сво илось к сложениям, но не поразрццно.

Фактически египтясводилось к не использовали представление множителя в двоичной системе, после чего умножение на него выполнилось путем последовательных удвоений множимого. Так, например, при умножении числа а на 13=-8+4+1 сначала получали а, 2а, 4а, 8а, а затем числа а, 4а и 8а складывались. В записях дробей н действий с ними египтяне пользовались особым методом, опиравшимся на понимание дроби как доли единицы.

Такие дроби с числителем 1 назывались основными. Любое дробное отношение целых чисел представлялось суммой основных дробей. Для записи основной дроби перед записью знаменателя ставился специальный знак. При действиях с дробями результат всегда приводился к сумме основных дробей с помощью специальной таблицы и представления числителя как суммы степеней двойки. В таблице, приведенной в папнру- 2 се Ринда даны разложения дробей вида — н < 99, на сумму И 195— основных дробей. Поясним сказанное на примере.

Рассмотрим 7 дробь — в представим ее в виде 29 7 1+2+4 1 2 2 = — + — +2 —- 29 29 29 29 29 2 1 1 1 1 Из таблицы находим — = — + — + — + — Далее 29 24 58 174 232 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 29 29 24 58 174 232 12 29 87 116 12 24 58 87 116 174 232 29 2 Снова используя таблицу для —, получаем после сложения 29' и сокращения множителей 7 1 1 1 2 — = — + — + — + —- 29 6 29 58 87 2 1 1 Из таблицы находим — = — + — и получаем 87 58 174 7 1 1 2 — + + 29 б 174 29 2 Снова используя таблицу для —, окончательно получаем 29' 7 1 1 1 1 1 — = — + — + — +.— + —.

29 6 24 58 87 232 Египетский алгоритм действий с дробями громоздок,но дает правильный результат. По каким правилам были найдены стандартные табличные разложения остается невыясненным. Он применялся позже в Греции, а в странах Востока сохранился до ХП1 — ХЛ/ веков в профессиональной практике купцов н финансовых чиновников. В одном арабском сочинении, предназначенном для этой категории людей, говорится, что дроби вида р — при и > р ) 1 некрасивы и их следует избегать. Люди, зао нимвющиеся сделками, не любят таких дробей и предпочитают — 196 их выражать (точно или приближенно) комбинациями основных дробей. 3. Как уже было сказано в 3 2, открытие того, что некоторые отрезки несоизмеримы и не имеют общей меры, то есть, что отношение их длин не является рациональным числом, было сделано в школе Пифагора.

Существенной предпосылкой для возможности этого открьггия было введение в математику понятия строгого доказательства, основанного на логических рассуждениях. Одним из первых ученых древности, который высказал необходимость доказательства любого, даже, на первьгй взгляд, очевидного утверждения, был Фалес Милетский, живший примерно за сто лет до Пифагора. Без логических выводов установить факт существования иррациональностей было бы невозможно. Для того чтобы понять, почему открытие несоизмеримых отрезков произвело такое впечатление на пифагорийцев, нужно учесть, что они объявили арифметику целых чисел матерью всех математических наук и сами бескомпромиссно верили этому. Они утверждали, как якобы доказанное, что геометрия, музыка и астрономия зависят от арифметики, а она от пих-- нет.

"Можно убрать геометрию, а арифметика останется, но если убрать арифметику, то исчезнет и геометрия" — говорили они. На деле все оказалось значительно сложнее. Развитие науки в течение последующих двух с половиной тысячелетий показало, что понятие иррационального числа имело и имеет гораздо более глубокий смысл, чем происшедшее гораздо позже введение в математику отрицательных н мнимых величин.

Что касается ученых Древней Греции времен Пифагора и позже, то они пытались разрешить возникший парадокс введением так называемой огеометрической алгебры" (см. 3 2). Надо сказать, что, обожествляя целые числа, пифагорейцы имели для этого определенные основания. Особую роль в математике чисел натурального ряда отмечали многие ученые. Известкый немецкий математик Х1Х века Кроиекер говорил, что целые положительные числа суть творение бога, а все остальные виды чисел — плоды человеческой изобретательности. чисто формальное аксиоматическое определение целых положителыгых чисел, начиная с единицы, предложил в конце Х1Х века итальянский математик Пеано.

Правда, его современник, одни из крупнейших математиков француз Анри Пуанкаре, считал, что определение Пеано некорректно, так как в нем содержится порочный круг. Полное обоснование понятия иррационального числа было — 197- осуществлено только в Х1Х веке Дедекиндом.

В основе этого обоснования лежит понятие так называемого сечения в области рациональных чисел, состоящего в разбиении всех рациональных чисел на два класса А и Б, таких что: 1) каждое число из А меньше каждого числа из В; 2) если условигъся, что всякое сечение, в котором в А нет наибольшего, а в В наименыпего числа, определяет некоторое иррациональное число, го оно обладает свойствами обычных рациональных чисел. Совокупность рациональных и иррациональных чисел принято называть вещественными или действительными числами.

Созданием теории вещественного числа занимался также Вейерштрасс. 4. Математики стран Двуречья и древней Греции не знали отрицательных чисел. Известно, что они встречаются в китайском трактате "Математика в девяти книгах", составленном во 11 веке до н. э., однако неизвестно, использовались ли они наравне с положительными числами в арифметических действиях. В Европе отрицательные числа появились в средние века в связи с решением алгебраических задач и вначале рассматривались как "ложные" числа ("ложныеп корни уравнений). Тем не менее, их введение в математику произошло без особых дискуссий и недоразумений.