История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004).djvu), страница 40

Идея гениальной догадки Эйлера состоит в слеаующем. Он рассматривает представление 1и х =- и ( 7/х — 1), справедливое при и -+ оо, и замечает, что правая часть при и = 2,3,4 имеет соответственно 2, 3 нли 4 значения, и и значений при любом конечном и. Так как 1пх получается при и — ~ оо, то, следовательно, существует бесконечно много значений логарифма.

Путем остроумных выкладок и перехода к пределу (без доказательства сходимости) Эйлер получает для 1п1 и !и( — 1) бесконечно много значений: где Л вЂ” любое натуральное число или нуль. Далее, используя разложения в ряды синуса и косинуса, Эйлер вычисляет логарифм любого комплексного числа вида а + Ь~~ — Т: 1п(а + Ьчl — 1) = 1п ь/оз + Ьз + (у х 2Лп) ъ/ — 1, где сгну = а/~/а~ + Ь~, е1п~р = Ь/ъ~пт+ Р, а Л вЂ” натуральное целое или нуль.

Отсюда сразу следует найденное Эйлером представление комплексного числа через показательную функцию а+ Ь~/ — 1 = ь/аз+ Ьзе'и и знаменитое тождество Эйлера, связывающее четыре замечательных числа 1, е, х, 1: е' +1=0. Этой работой Эйлера построение арифметики комплексных чисел было завершено, хотя сама их природа оставалась все еще не раскрытой.

Мнимые числа по-прежнему представлялись многим как невозможное создание неудержимой творческой фантазии. Геометрическое представление комплексных чисел точками плоскости, заложившее основы теории мнимых величин было дано датским землемером К. Весселем и опубликовало в трудах Королевской Академии наук в Копенгагене в 1799 году под названием "Об аналитическом представлении направления". Работа осталась незамеченной математиками и только спустя 100 лет, в 1897 году, была найдена и вновь напечатана. Как пишет — 204— сам автор, целью работы было показать, как можно аналитически описать направление, отрезок прямой, каким образом с помощью одного единственного уравнения между известным и неизвестным отрезками найти выражение, которое одновременно указывает длину и направление неизвестного отрезка.

Вессель сводит задачи о сложении, вычитании и умножении отрезков к действиям нед комплексными числами. Из определения умножения непосредственно следует, что так как поворот на 180' соотвегствуег умножению на — 1, то поворот на 90 есть умножение на ~/ — Т. Вессель рассматривал также и аналитическое описание направлений в пространстве, однако немного не дошел до теории кватерннонов Гамильтона. Содержавшие геометрическую интерпретацию комплексных чисел мемуары Ж. Аргана (180б) также остались незамеченными. И только работа Гаусса "Теория биквадратных вычетов" (1831), в которой было дано понятие комплексного числа и доказательство правомерности всех производимых над ним действий, а также его геометрическая интерпретация, получила всеобщее признание как основа теории.

Развитие физики и математики в Х1Х вЂ” ХХ веках дало болыпое количество физических и математических моделей, описывающих реальные, происходящие в природе процессы с прямым использованием не только алгебры комплексных чисел, но и теории функций комплексного переменного. После работ Гаусса и других математиков первой половины Х1Х века теория комплексных чисел приняла современную форму. Мы называем комплексным числом линейную комбинацию действительной единицы 1 и мнимой 1 с действительными коэффициентами а, Ь. Для комплексного числа определены операции сложения, вычитания, а также умножения и деления. Операция умножения основываегся на таблице умножения основных единиц и законах ассоциативности и коммутативности. Деление опре- деляется как операция, обратная умножению, з/ш=и, если шф0, и з.— ш.и. - 205— В 1848 ггшу Гамильтоном было дано обобщение комплексных чисел и построена система квагернионов с чегырьмя единицами — одной действительной, обозначаемой 1, и тремя мнимыми — 1, 1, Ь, с таблицей умножения: 1 1=1'1=1, 1г 1=1 "Ьмй, Ь.1=6 1 Ь= — 1, 1з = 1з и Ьз и — 1 Ь.1 = — й Из габляцы видно, что умножение не коммугативно, но ассоциативиосгь имеет место.

Линейный агрегаг л = а+ Ьг+с1+бй называется нвагерниоиом. Если а + Ь + сз + пз ф О, то существует обратный кватерниан г 3 з удовлетворяющий условию з ° э г = з ~ ° х = 1. Отсюда слеэуец что равенство х ю = О может быть выполнено, только если один из сомножителей (или оба) равен нулю, го есть п = Ь = с = 8 = Е.

Таким обрезом, система кватерниоиов, как н система обычных комплексных чисел, не содержит делителей нуля. Аналогично тому, как умножение обычных комплеисных чисел соответствует повороту вектора на плоскости, гак и умяожение кватернионов связано с поворотом векторов в пространстве. Дальнейшее обобщение систем с несколькими единицами называется гиперкомплексной системой, в просгейпгем случае предсгавляющей собой лингйный агрегат э=посо+огег+".+о е, где о — дейогвигельные числа, а е — единицы системы, причем ео = 1 — обычная действительная единица, называемая главной.

Для е определена таблица умножения е1 е = )' 81,1, яке причем 1 . г = х - 1 = х. Вообще говоря, гинерхамплексная система может быть не коммугагивна и не ассоциативна. Примером ассоциативной, ио не коммугагнвяой системы может служить алгебра ющлрагных матриц одного порядка, причем эа единицы системы могут быть взяты матрицы, у каждой из которых эсе элементы равны нулю, кроме одного, равного действительной единице. Главная единица системы этом случае является магрнцей, у которой все элементы, находящиеся на главной диагонали равны действительной единице, а остальные равны нулю. Очевидно, что алгебра матриц содержит делители нуля. Имеет место теорема Фробеняуса, которая вьшелиег систему комплексных чисел в квагернионов среди всех гиперкомплексных систем. А именно, единственными линейнымн ассоциагнвнммн гиперкомплексными системами с действительными коэффицненгами, не имеющими дЕлителей нуля, являюгси поле действительных чисел, поле обыкновенных комплексных чисел и система квагернионов.

Таким образом, построение сясгемы квагернионов в некотором смьгсле завершило саэданяе наиболее естественных — 206— гиперкомплексных систем. Заметим, что гиперкомплексных систем, описывающих повороты в праегрансгве более трех измерений не существует. Понятие матрицы было развито в грудах Гамильтона, Сильвестра н Кали. Современная математика не мыслима беэ матриц. Матричное исчисление широко применянгся не только в различных областях магемахикя, но и в механике, теоретической физике, электродинамике и т. д. 6.

В основе первого кризиса математики, приведшего к открытию лифагорийцами иррациональных чисел, лежали значительно более глубокие проблемы, чем измерение отрезков. Это проблема бесконечности в ее различных проявлениях и связь между дискретностью и непрерывностью. Вопрос о бесконечности натурального возник еще в самом начале развития математического мышления. При этом отсутствие эффективной системы обозначений чисел не давало возможности формально называть очень больпгие числа. Существовала граница, после которой вместо наименования числа говорилось просто "многоя.

Первым, кто показал, что эта граница может быть продвинута как угодно далеко, был Архимед в своей знаменитой работе "Псаммит" или, в вольном переводе, "06 исчислении песчинок". "Некоторые лгоди полагают", писал Архимед, "что число песчинок по величине бесконечно ... есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества". Архимед говорит о количестве песка, заключенном внутри сферы неподвижных звезд, диаметр которой оценивает не более, чем "мириад мириадов раз взятые сто мириад стадий", т. е. 101е стадий, или 1.5. 1018 кы. Архимед начинает с того, что устанавливает примерные размеры песчинки.

Он полагает, что в маковом зернышке диаметром около 0.4 льм (в современных единицах) содержится не больше десяти тысяч песчинок (более правильно было бы в русском переводе назвать эти частицы пылинками). Затем Архимед ставит задачу указать название для числа песчинок, плотно заполняющих сферу внутри неподвижных звезд. Для этого он строит иерархическую, безгранично продолжаемую систему наименований сколь угодно больших чисел. Вкратце рассуждения Архимеда следующие. Все числа от единицы до мириады мириад без единицы (т. е. 108 — 1) называются числами первой октавы, число 10 принимается за единицу второй октады, заканчивающуюся числом 10 .10 — 1 = 108'з — 1.