История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004).djvu), страница 39

Само понятие отрицательного числа достаточно есгественно в бытовом смысле и соответствует убытку, долгу, глубине по сравнению с прибылью, кредитом, высотой. Сложность освоения отрицательных чисел состояла, по-видимому, в правиле включения их в операцию умножения, но это затруднение было достаточно быстро преодолено. 5. Гораздо более драматично происходило освоение и обоснование комплексных чисел.

Аналогично тому, как это было с открытием иррациональностей во времена Пифагора, комплексные числа вошли в математику достаточно неожиданно в связи с твк называемыми неприводимыми кубическими уравнениями (см. 5 5). Было обнаружено, что если все корни кубического уравнения действительны, то их невозможно вычислить по формуле Кардано. В одной из своих работ Тарталья сообщает, что в 1539 голу Кардано обратил его внимание на невозможность решить уравнение х = рх+ 0 при (р/3)э > (0/2), так как в г р г р р г57г) — Яп',*. — 198— дратный корень из отрицательного числа. В течение более чем столетия после обнаружения этого парадокса математики постепенно осваивали и развивали понятия мнимых и комплексных чисел.

Заметим, что до открытия янеприводимых" уравнений комплексные корни квадратного уравнения не вызывали никакого парадокса, так как с точки зрения математиков того времени корни просто не суп!ее пювали. Попытки объяснить "немыслимые" вмрвжения видв э/ — а, а > О, появлявшиеся в формулах, делались многими мвтемвтиквми. При этом большинство из ннх были чистыми фвитвзиямн, пвпример, преллвгвлось считать что з/ — а = -э/а. Кьрдвно также уделил внимание этой проблеме. В работе "Агыподпв" он привел формвльные выкладки с «вкврэтными корнями нз отрнцвтельных чисел ив примере "невозможной" зедэчи: разделить число 10 нв сумму двух чисел твк, чтобы их произведение рэвнялось 40.

Кврдьно пишет: — "Очевидно, это ненозможно, одввко, поступим твгс. Возьмем половину 10, это будет 5, умножнм свмо нв себя, это будет 25, вычтем 40, осчэнется -15. Извлечем корень, и этот корень прибавим к 5 и вычтем нз 5. Перемножвв, получим фОрмально (5+ /:Гбб) (5-,/-15) = гб- (/:Ш)'= Зб- ( /-15)'4-25 — (-Ш) = Ю.- То есть действуем твк, квк если бы т/-15 5было бы "обычным*' числам. ,Целее Кврдвно добавляет: — "Это формвльные логические выкладки, твк квк нв самом деле с твкими величинвми нельзя ни совершвть действия, ни придавать нм какой либо смысл". Существенное продвижение в изучении "невозможных" чисел сделал Бомбелли в работе "Алгебрап (1572).

Он проанализировал неприводимый случай для уравнения ха=рх+о, р>0, д>0, (19.1) распространив правила арифметических действий на числа вида о+ ь/ — !1, 11 > О, с учетом тождества (~/ — 11) = — !1. В этом случае формула Кардано имеет вид и= 1/и+и' — Ь+'/а — 1/ — Ь агк — ~ Ь= ( — ) — ( — ) >О. (192) Бомбелли рассуждает слелующим образом. ! !редположим, что а + з/ — Ь = гп + 1/ — и, п > О.

К:= (19.3) — 199— хз — Зх=с, )с)<2, (19.5) а+ ~Ь+ (/а — ~à — Ь = 2т. 7 (19.6) 4т — ЗтЧаз+ Ь = а з Зг и=- ч~ +Ь вЂ” т. 3/2 2 — 200— — 201— Возведи обе части равенства в куб, получаем а+ ъу — Ь = гпз+ Зт~~/ — и — Зти — и~/ — и.

Сравнивая "обычные" и "мнимые" слагаемые, имеем а=т — Зти ч Ь= (Зт — и)ь/ — и, (Г94) Возведем в куб выражение т — ч' — и, считая, что гп и и удовлетворяют соотношениям (19.4): (т — ~/ — и) = (т — Зти) — (Зт~ — и)~/ — и = а — ~6, 3 з с ' а — ~5 = т — з/:и. Складывая (19.3) и (19.5), получаем Таким образом, сумма двух комплексных чисел оказалось равной действительному (обычному) числу. Для определения т и и перемножим (19.3) и (19.5). Тогда получаем в а + Ь = т + и. Определив отсюда и и подставив э~2 2 в первое соотношение (19.4), приходим к уравнениям Так как а = — и ~Фаз + Ь = — то получаем (2т)з = р(2т) + о, Ч 3' т. е.

х = 2т явлнется действительным корнем уравнения (19.1), выражаемым формулой Кардлно (19.6). Н есмотря на принципиальную важность результатов, полученных Бомбелли, онн не привлекли особого внимания математиков возможно потому, что не давали рецепта вычисления корня. Последовательная теория действий с мнимыми и комплексными числами, тем не менее, способствовала тому что эти му, что эти новые математические объекты стали более доступнь даст пны для изучения и применения.

Однако до полного понимания нх значения было еще далеко. В продолжении нескольких следующих есяилетни комплексные числа появились в математических исследованиях только в связи с решением алгебраических уравнений. Принципиальным продвижением в этой области было осознание того факта, что уравнение и-ой степени, по-видимому, имеет и корней, если считать наряду с действительными и комплексные корни, хотя многие математики продолжали возражать против использования "бессмысленных" чисел. Для обхода трудностей, связанных с вычислением корней в неприводимом случае, предполагались различные геометрические методы без использования мнимых чисел. Так, в 1591 году Виет показал, что всякое неприводимое уравнение может быть преобразовано к виду которое совпадает с уравнением, дающим решение задачи о де.пении угла ~р на три части, если положить с = 2соэ~р (тогда э = 2 соэ — ).

Виет показал гго неприводимое кубическое урав- ,У 3 3 пение может быть регнено геометрически известным еще в древности методом вставок (см. 5 2). Имелись и другие работы, сводившие решение неприводимого уравнения к геометрическим задачам, причем с определением всех трех корней. Здесь можно отметить работу Альберта Жирара "Новые открытия в алгебре" (1629). Давая геометрическое решение неприводимого уравнения, Жирар в то же время утверждает, что каждое алгебраическое уравнение должно иметь столько корней, какова его степень и ""мнимые корни служат для выполнения этого закона".

Об этом говорит и Декарт в своем груде "Геометрия" (1637) почти словами Жерара и впервые вводит термины "действительный" и "мнимый*'. При этом он, однако, называет положительные корни "истинными", а отрицательные — "ложными". Относительно мнимых корней Декарт замечает, что их величину невозможно себе представить. Можно сказать, что к копну первой половины ХЧП века среди мэзематиков существовало достаточно распространенное мнение, что всякий многочлен и-ой степени имеег и корней, которыми формально могут быть и комплексные. Сущность самих комплексных чисел оставалась неясной, а их применение для количественной оценки каких-либо объектов невозможным и даже бессмысленным.

Говоря современным языком, не существовало ни физических, ни математических моделей, в ксаорых комплексные числа могли характеризовать какие-либо величины, связи или процессы. Ньютон, судя по всему, не интересовался мнимостями и рассматривал встречавшиеся ему выражения типа квадратного корня из отрицательного числа как невозможные, исключая их из рассмотрения.

Лейбниц, напротив, во время пребывания в Париже в 1672 году изучал "Алгебру" Бомбелли и позже, в 1676 году обменивался с Гюйгенсом письмами по поводу представления действительных чисел через мнимости. В частности, уста- Л 6 666-'; — 66Д вЂ” — 6= 6 произвело на Гюйгенса ошеломляющее впечатление, что можно объяснить лишь незнакомством его с работой Бомбелли. Много позже, в 1702 году, занимаясь интегрированием дробных рациональных функций, Лейбниц получил разложение х +а =- (х+а6/~~ (х — а /~~) (я+а~/ — ~~(х — а~/ — ~~). Замечательно, что хотя природа мнимостей по-прежнему оставалась туманной, результаты Бернулли не вызвали ни у кого сомнения.

Более того, стало ясно, что использование аппарата мнимых (точнее комплексных) выражений может существенно упростить вывод формул. К 1707 и 1722 годам относятся рабаты Муавра, в которых в неявном виде содержится его знаменитая формула для тригонометрических функций кратных углов. В 1730 году он вывел ее в вице, несколько отличном от современной записи: 1 соэ76 = -(сев тир+ ъ~ — 1эштиР) 7" + — (соэп6Р+ э7- 1э!пп662Г 2 2 В 1712 году между И.

Бернулли и Лейбницем возникла поучи,тельная дискуссия о том, как понимать логарифм отрицательноЛо числа. Бернулли утверждал, что 1п( — х) =- 1пх, основываясь на следующих тождествах: Кстати сказать, Лейбниц необоснованно использовал это разложение в качестве примера для подтверждения своей точки зрения о невозможности разложения любого многочлена с действительными коэффициентами на множители первой и второй степени. В зто же время в исследование мнимостей в связи с задачами интегрирования включился Иоганн Бернулли. В работе а 1704 года, рассматривая для выражения 61 х подстановку Ь2 Л2 1 — 1 а х = — Ь, приводящую его к виду — с!1, Бернулли применил 1+1 2Ь| а 1 — 1 к выражению 61Л подстановку х = — Ь~/ — 1 и привел Ь +хэ 1+1 а его к виду осуществив, таким образом, в неявном виде 261~/ — 1 связь мелцлу арктангенсом и логарифмом мнимого числа.

Развивая эту идею, Бернулли получил формулу (16а+ ~/ — 1) (16па — эl — 1) = (16а — ~à — 1) (Ьлпа+ ~à — 1), где и — целое, установив связь между тригонометрическими функциями угла и кратного ему, используя операции с мнимыми величинами.

— 202— а( — х) с! х 6!!и( — х) = = — = 61!пх. Л: х Лейбниц, напротив, настаивал иа том, что 1п( — 1) не может быль ни положительным, ни отрицательным числом, ни нулем„так как во всех этих случаях аргумент есть число положительное. Отсюда Лейбниц заключал, что 1и( — 1) есть мнимая величина. В 1749 году Эйлер в работе "О различии во мнениях Лейбница и Бернулли относительно логарифмов отрицательных и мнимых чисел" окончательно разрешил спор между двумя учеными. Он обратил внимание на ошибку Бернулли, указав, что д 1п(пх) д 1п х хотя = — —, но !п(пх) = 1пх + 1пп, следовательно, дх дх 1п( — х) = — 1п х + 1и( — 1) . С другой стороны, если 1п( — 1) —.- ь6 ф О, х то также получается противоречие.

Так как — 1. х = —, то — 1' !их+ ш = 1и х — ь6, и, следовательно, ь6 = О, что противоречит предположению, что ь6 ф О. Далее Эйлер с той же тщательностью разбирает мнение Лейбница о том, что 1и( — 1) есть некаторое мнимое число. Основываясь на рядах для !п(1 + х) и е", где р = !и( — 1), Эйлер также приходит к противоречию. Поставив вопрос о первопричине всех возникших трудностей, Эйлер дает на него неожиданный, никем ранее не предвидимый — 203— ответ — причина состоит в бесконечной многозначности логарифма.