История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004).djvu), страница 37

Й. с с Перепишем (18.2) в виде — = т,а(1 — — )х. Если а > 6, (т,„> 0), то рост популяции происходит по экспоненциальному закону. Заметим, что этот закон лежит в основе мрачной теории Мальтуса (1798) для популяции человека, согласно которому человечество может выжить, только если процессы роста будут периодически прерываться эпидемиями или стихийными бедствиями. Если а а, Ь (т < О), популяция вымирает. При т,„= О популяция находится в равновесии. Это равновесие неустойчиво.

Малые возмущения т уводят популяцию из положения равновесия: или происходит экспоненциальный рост ее, или она вымирает. Однако в природе существуют ограничения темпа роста (при т,„> О) популяции. Они связаны с ограниченностью питательных средств, территории и т. в. Существует внутренний механизм регулирования численности, зависящий от ее величины. Можно принять, что численность популяции в результате этого регулирования уменыпается пропорционально х(1), т. е. на величину сх. Имеем уравнение Йх с)1 — — = (а — Ь вЂ” сх)х. (18.г) Стационарное состояние (равновесие) с1 х~ 61 =. О приводит к условию (а - Ь вЂ” сх)х = О. Состояние х = 0 —.- тривиальное. 186— Рис.

18.1 е(а — ь) ь ~ хое х е — ы+ ) аЕ(т) е — ьй — ) с) т о х(Ф) < Е(1), х(1) > Е(1). — 187— Прямая х = Ь является асимптотой интегральных кривых при любых хо. Это асимптотически устойчивое равновесие по- пуляции: прн любых отклонениях численность популяции воз- вращается обратно к равновесному уровню. Немного обобщим модель, записав а х(1) с11 = ар[1) — Ьх(1), где р(1) = шш(х(1), Е(1) ) . Если питательной среды достаточно, то р(1) = х(1), и мы имеем решение (18.Ц. Модель (18.3) дает связь между численностью популяции и состоянием питатель- ной среды. Имеем Рассмотрим ситуацию, когда Е(1) = сапа! = Ео.

Тогда и хое!' "И = Л(1) х(1) ~» Ео, *(1) = хое и+Ее — (1 — е и) = ЯЯ, х(1) > Ео. Ь Рассмотрим различные случаи. 1) а < б, т. е. мгновенная рождаемость меньше мгновенной смертности. !) 1! Рис. 18.2 Как видно из рис. 18.2 при любом хо популяция вымирает. казывает что устойчивое равновесие популяции достигается при 1 х = -Ео. При любом изменении х(1) в сторону уменьшения или Ь увеличения при 1 — + оо х(1) -+ — Ео. 3) а=Ь. Рис. 18.4 показывает, что имеет место устойчивое равновесие при всех хо = Ео. При любом отклонении численности популяции выше х = Ео, она возвращается обратно к равновесному уровню.

При отклонении ниже х = Ео численность асгается неизменной со временем. дх — = ах — бху, 61 ау — = сху — пу. Й1 (18 ) 3. Рассмотрим теперь двухвидавые системы: две популяции, взаимодействующие друг с другом. Сюда относятся, например, системы хищник-жертва и хозяин-паразит. Изучение таких систем представляет большой практический интерес. Знание законов взаимодействия такого рода популяций позволяет человеку, скажем, обоснованно регулировать поголовье хищных зверей (например, волков) на какой-то территории, применять биологические методы борьбы с вредителями сельскохозяйственных культур и т.

п. Обозначим х(1) численность популяции жертв (хозяев), у(Ф) — хищников (паразитов). Примем, что смертность жертв пропорциональна числу хищников, а рождаемость хищников зависит от числа жертв. Для простоты питательную среду жертв учитывать не будем и предположим, что пищей хищника является только жертва. По традиции положим, что хищник эта щука, а жертва — карась. Соответствующие дифференциальные уравненияимеюг вид: 2) а > Ь. Рассмотрение интегральных кривых на рис.

18.3 по- Рис. 18.3 Рис. 18.4 Эти уравнения называются уравнениями Х!отки-Вольтерра (получены соответственно в 1925 и в 1926 годах). Здесь а — собственная скорость увеличения популяции карасей. Если щук нет, то караси увеличиваются в количестве по закону Мальтуса х =- хое '. Однако этот рост снижается не только за счет естественной смертности, пропорциональной х, но и в зависимости от количества щук, которые поедают карасей.

Поскольку по предположению щуки питаются только карасями, то прн отсутствии карасей щуки начинают вымирать со скоростью ду. — 189— д х (а — Ьу)х у (сх- 1)у Й~ — = (а — Ьу — сх)х. 61 Рис. 18.7 Рис. 18.5 Рис. 18.6 йх — = а1Р1(1) — аэх — азР2(1), Й1 — = Ь!Р2(1) — Ьту. йу 61 и+т 1 Г И вЂ” / хаг= — > Т / с 1 Г а — / уб1= —- т / Ь $а и 191 — 190— Проанализируем уравнения (18.4). Из (18.4) для фазовой.' плоскости х, у получаем уравнение которое легко интегрируется.

Получаем И1пх — сх+а!ну — Ьу =' сопе1. Это семейство овальных замкнутых кривых, константа: в правой части определяется начальными данными: при 1 = 1О:. имеем х = хо, у = уо (рис. 18.5). Равновесие достигается при" ах ау а а — — = О, т. е. в точке х = —, у =- —. Это равнове-, 81 с11 с Ь сне устойчивое, однако, прн его нарушении популяции к нему,-. не возвращаются. В левой точке А каждой кривой происходит максимальное уменьшение числа шук н начинаегся размноже-. ние карасей. Вымирание шук прекращается (точка С), начинаегся их рост, и с некоторого момента (точка В ) начинается уменьшение числа карасей. Этот процесс происходит циклически, причем колебания численности щук и карасей происходят неограниченно с постоянными амплитудами, определяемыми хо, уо, т.

е. зависят от того, по какой кривой происходит движение. Среднее значение численности щук и карасей за перпод Т равны равновесным Более реалистическая модель учитывает конкуренцию карасей (жертв). Уравнение для х(1) изменится: В этом случае фазовая кривая х, у будет спиралью, закручивающейся в точку равновесия, которая будет асимптотически устойчивой (рнс. 18.6).

Численности обеих популяций представляются колеблющимися возле положения равновесия функциями 1 (рис. 18.7). Так же как и в случае сдной популяции в системе хищник- жертва можно учесть питательную среду: Здесь: аг — — характеристика размножения, которая зависит от количества карасей и питательной среды карасей„ аз — коэффициент естественной смертности карасей, аз — характеристика насильственной смерти карасей, Ь1 — характеристика рождаемости щук, ь— э — коэффициент естественной смертности щук, Р~ —— ппп(х(1), Е(1)), где Е(1) — состояние питательной среды карасей, 1ээ = ппп(9(1), г'(1)), где г'(1) — состояние питательной среды шук. ' Анализ этих уравнений представляет собой уже достаточно сложную задачу.

В этом случае существуют две точки устойчивого равновесия (куда сходятся фвзовые траектории) и область' овальных интегральных кривых. ГЛАВА б. ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ И СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ з 19. Развитие понятия числа 1. Понятие числа и развитие способностей к счету и измерению возникли в самые древние времена существования человека. По-видимому, эти фундаментальные понятия появились и развивались в течение многих тысячелетий одновременно с развитием других фундаментальных способносгей человека, отличающих его от животных — языка, письменности н отвлеченного мышления. Несмотря на различие во взглядах историков науки на пути развития счета и измерения, несомненно, что этот процесс происходил в тесной связи с применением и развитием примитивных счетных приспособлений -- камушков, зарубок, других подручных предметов.

Наиболее древние археологические находки, содержащие сведения о способах счета и мерах, относятся к 1П-.П тысячелетиях до Новой эры. В это времн в древних цивилизациях (Китай, Вавилон, Египет и др.) уже сложились определенные приемы и способы счета и вычислений, инициированные потребностями общества. Все дальнейшее развитие понятия числа было неразрывно связано с развитием математики и как средства решения практических задач, и как самостоятельной науки о количественных связях мелслу отвлеченными объектами.

В расширении понятия числа второе направление играло существенную большую роль. Всякий раз, когда существующее понятие числа оказывалось недостаточным для объяснения парадоксов математической теории, основанной на, казалось бы, очевидных постулатах, происходил и пересмотр этих постулатов и расширение предстанления о том, что такое есть число.

Процесс этот идет, как и все развитие науки, с постоянным ускорением, начиная от древнегреческой математики и до наших дней и, по-видимому, еще не закончен. В настоящем параграфе мы вкратце, не претендуя на полноту, опишем развитие понятия числа в историческом и методологическом аспекте, останавливаясь на наиболее важных, с нашей 193— точки зрения, моментах. Мы также коснемся имеющего важное значение "технического" вопроса о способах представления чисел и действиях с ними.

2. Наиболее простым (и наиболее древним) является понятие целого положительного числа, возникшее из практической необходимости сравнения объектов, состоящих из нескольких предметов (стада домашних животных, домашняя утварь и т. д.). Оседлый образ жизни и переход к земледелию потребовал измерения объектов, уже не состоящих из предметов (длины, площадь„объем), и введения единиц измерения.