Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006) (Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006).DjVu), страница 12

Аристотель высказал также ряд других идей, заслуживающих рассмотрения. Он выдвинул положение о том, что строгость математического рассуждения объясняется простотой ее предмета. Под простотой здесь имеется в виду не легкость усвоения математики, а специфическая абстрактность ее предмета, отсутствие разнородности качеств, которые присутствуют в физике и других, более конкретных науках. Им высказана также идея о глубинной связи математики с по13ятием прекрасного.

Важнейшие виды прекрасного, считал Аристотель, — это слаженность, соразмерность и определенность, но именно эти стороны вещей и выявляет математика. 1 Арисрьорьать. Ммафизика // Соил В 4 т. М., 1972. Т 1. С. 365. 2 Там же. С. 326. 44 Ь Философские проблемм математики Аристотелевская концепция математики является, конечно, более обоснованной и более соответствующей логике научного мышления. Значительное число ученых и в настоягцес время придерживаются в своей сути аристотелевского воззрения на математику: они считают, что математика вторична перед физикой, что исходные математические объекты есть лишь абстрактные схемы реального бытия вещей.

С этой точки зрения математика — абстрактная физика, отвлеченная от анализа сил и движений, одна из наук о природе, и именно по этой причине она с успехом прилагается к описанию природы. Эмпирическое воззрение на математику встретилось, олнако, с большими трудностями. Уже давно было замечено, что математические утверждения (теоремы) не подвергаются опровержению. Доказанное в математике — доказано навсегда, в то время как в физике нет ни одно~о утверждения, которое не стояло бы перед опасностью пересмотра и корректировки. Мы замечаем также, что математика в обосновании своих положений не использует никаких показаний опыта. Исследуя пространство, геометрия не обращается к опытному анализу пространственных отношений.

Наконец, многие объекты, исследуемые в математике, в принципе не могут быть поняты в качестве абстракций из опьпа. Затруднения возникают уже с отрицательными числами. Нельзя доказать положение: (45) ( — 5) = а 25, апеллируя к какому-либо опьиу или к способности абстрагирования. Еще более проблематичны в этом отношении иррациональные и комплексные числа. Развитие математического анализа ввело в математику понятие бесконечности, которое не имеет коррелята в чувственном опыте. Развитие математики в Новое время выдан~ало все новые и новые контрдоводы об отношении аристотелевской концепции математики и все настоятельнее ставило зааачу ее пои и- мания на некоторой принципиально новой основе.

Концепция математики, которая в какой-то степени решает эту залачу, сформировалась в ХУ)! — ХЪ !Н вв. и получила наименование априоризма. Априоризм в опрелеленной степени является возвращением к пифагорейскому делению знания на чувственное и умопостигаемое, ибо математика объявляется принципиально внечувственным знанием, основанным на специфической интеллектуальной или чистой чувственной интуиции. Декарт разделил все истины на вечные, данные в аподиктической очевидности, и чувственные, постигаемые на основе опыта.

Математика снова стала пониматься как знание, радикально отличное от эмпирического знания, полученное на основе внечувственной очевидности. Близкое воззрение было сформулировано Г Лейбницем. Он отличал необходимые истины (математические и логические) от истин случайных, основанных на опыте. По мнению Лейбница, необходимые истины являются аналитическими, т.е, строго выводимыми из некоторой системы простых тавтологических утверждений.

И у Декарта, и у 45 К4. Философские коннепнии математики Лейбница возникновение исходных понятий математики не связывается с опытом; эти истины рассматриваются как истины самого разума, ~юкоящиеся на очевидности, имеющей внеопытную природу. Учение об априорности математики получило дальнейшее развитие в философии И. Канта. Кант отказался от воззрения Лейбница на аналитичность необходимых истин. Аналитичностью, с его точки зрения, обладает только логика, остальные же виды априорных истин являются синтетическими. Сиптетичность математики обусловлена наличием в нашем сознании чистой чувственности, чувственного, но неэмпирического созерцания, которое позволяет сформулировать положения априорные Втезависилтые от опыта) и одновременно синтетические, не сводимые к тавтологиям типа А = А. Исходные положения геометрии опираются, согласно Канту, на чистое представление о пространстве, а истины арифметики — на чистое представление о времени.

Чистые представления пространства и времени определяют, по Канту, как состав исходных принципов (аксиом) математики, так и логику математического мышления. Любое математическое доказательство самоочевидно в том смысле, что каждый его шаг может совершаться только на основе очевидного синтеза'. К важнейшим положсниям кантонской философии математики нужно отнести также его положение о конструктивном характере математических объектов, Математика, по мнению Канта, содержит два типа объектов: объекты, непосредственно данные в чистом созерцании, и объекты, данные только своим правилом конструирования. Мы не можем созерцать тысячеугольник, говорит Кант, но мы имеем самоочевидную схему построения этой фигуры, и данное обстоятельство позволяет нам высказывать о ней истинные суждения, несмотря на отсутствие непосредственного зрительного образа этой фигуры.

Признание неевклидовых геометрий в Х1Х в. существенно поколебало истинность кантовского априоризма. Эти геометрии показывали возможность сущест новация матсматических теорий, не обладающих априорной и самоочевидной основой'. Аксиоматика геометрии Лобачевского и других неевклиловых геометрий не является очевидной, она обладает лишь логической определснностью.

Анализ математических понятий показывал также, что многие из них не обладают и конструктивностью в кантовском смысле. Это свидетельствовало о том, что априористское воззрение на математику ограниченно и не определяет ее истинного предмета и метода. В конце Х1Х в. в связи с осмыслением статуса неевклидовых геометрий и теории множеств стала оформляться новая концепция математики, получившая название формалистской философии математики. Основныс ее установки могут быть выражены в виде следующих положений: ~ Смл Киот 3Г Соил В 6 т.

М., ! 963 — 1966. Т. 3. С. 402. 46 Ь Фидософские проблемы математики ° математика не является наукой, исследующей аспекты реальности, она представляет собой лишь метод логической трансляции опытного знания и состоит из совокупности структур, пригодных для этой цели; ° основным требованием к аксиомам математической теории является не их очевидность и не их связь с опытом, а их непротиворечивость, которая необходима и достаточна для ее приложения к опытным наукам; к математике неприменимо понятие истинности в смысле опытного подтверждения. Математическая теория сама по себе не истинна и не ложна. Она становится таковой только после соединения ее понятий с понятиями опытных наук; ° если обоснование содержательной науки состоит в установлении ее истинности, то обоснование математической теории заключается только в доказательстве логической непротиворечивости ее аксиом.

Зги принципы оформились в конце Х1Х вЂ” начале ХХ в. в работах Г Кантора, А. Пуанкаре и Д. Гильберта'. Ясно, что, принимая этот взгляд на сущность математической теории, мы уходим от трудностей эмпирической и априористской философии математики. От математической теории не требуется больше ни наглядности, ни рациональной очевидности принципов, не требуется опытного происхождения и конструктивности понятий. Для математической теории объявляется существенным только одно требование, а именно требование ее непротиворечивости.

Проблема обоснования математической теории понимается с этой точки зрения как строгое доказательство ее непротиворечивости. Философия математики ХХ в. развивалась в основном в русле этих принципиально новых идей, которые, безусловно, представляют собой более высокий этап в понимании природы математического мышления. Определенная трудность этой концепции состоит в том, что она рассматривает все математические теории как онтологически равноценные и не выделяет традиционных теорий как обладающих особым онтологическим статусом. На протяжении ХХ в. появились новые воззрения на природу математики.

Мы видим прежде всего некоторое возрождение эмпиризма. В этом плане получила известность концепция Ж. Пиаже, который в 50-х гг. прошлого века сформулировал операциональный подход к пониманию природы исходных математических понятий. По мнению Пиаже, необходимо различать два вида опыта; физический и логико-математический. Когда ребенок рассматривает камешки и сравнивает их по цвету, он находится в сфере физического опыта и физических абстракций, когда же он начинает считать эти камешки, то он отвлекается от всех их физических качеств и обращает внимание только на операции, необходимые ' См, Кантор Г. Осноны обо!его учения о многообразиях 7/ Труды по теории мноместа. М, !985.