Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006) (Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006).DjVu), страница 7

В теоретической системе знаний отсутствие противоречия между утверждением науки и реальностью само по себе еще не служит доказательством ее истинности. Важно, чтобы помимо соответствия внешней действительности это утверждение внутренне согласовывалось бы с остальными положениями теории. В отличие от теоретической науки, в практически ориентированной системе знаний соответствие ее утверждений действительности является не только необходимым, но и достаточным условием успешной деятельности, вследствие чего в ней отсутствует потребность в специальной проверке всех положений на внутреннюю согласованность. Характерной особенностью дедуктивной науки является то, что содержательные представления относительно изучаемых ею объектов привлекаются лишь однаждьд при формулировании начальных положений. В дальнейшем при доказательстве утверждений данной науки стремятся к тому, чтобы в процессе вывода не использовалось ничего сверх оговоренного ранее.

Так как в дедукции представления, связанные с реальностью, должны использоваться лишь в той мере, в какой они отражены в исходных посылках, то в своих выводах подобная наука не может выйти за рамки содержания, имеющегося в неявном виде в ее основоположениях. Она и не может быть не чем иным, как систематическим развертыванием, выявлением этого содержания. Поскольку процесс логического вывода представляет собой получение нового знания из наличного знания, то в силу этого он является теоретической деятельностью. Весь вопрос в том, может ли теоретическая деятельность такого рода вызываться нуждами практики или же необходимо, чтобы объекты данной деятельности рассматривались как самостоятельные сущности, изучение которых представляет интерес независимо от практических приложений.

Выше уже говорилось, что проверка утверждений на соответствие их действительности естественным образом входит в любую практически ориентированную систему знаний. В этой связи требования дедуктивной теории, разрешавшей обращение к опыту только при формулировке начальных ее положений, выглядят не просто неуместными, но чем- !. философские проблемы математики то прямо лротивололоз!оным по отношению к установке, разделяемой всеми прикладными науками. Этого противопоставления недостаточно, чтобы исключить возможность применения идеи аксиоматического вывода в практических целях, но вполне достаточно, чтобы исключить всякую возможность возникновения дедуктивного способа рассуждений в практически ориентированной системе знания.

Теперь важно выяснить, в рамках какой конкретной науки !или, возможно, одной из нескольких наук) мог зародиться аксиоматический метод. Заслуга подобной постановки вопроса принадлежит С.А. Яновской: «Почему в "Началах" Евклила геометрия строится аксиоматически, арифметика же нет? Почему вообще так поздно вошла в математический обиход система аксиом для арифметики натуральных чисел? Известно ведь, что наиболее распространенная теперь в литературе система аксиом Пеано было опубликована лишь в 1891 г., между тем как система аксиом Евклида стала общеупотребительной в геометрии со времен древних греков»!. Дяя того чтобы аксиоматический метол мог с необходимостью возникнуть в некоторой области знаний, важно, чтобы утверждения о свойствах объектов данной предметной области не допускали иного способа проверки, кроме повторения пропесса мысленного их конструирования в соответствии с заранее принятыми постулатами построения.

Цель аксиоматического метода не может сводиться к максимальной краткости изложения или к возможно большей его доступности. Современные аксиоматические изложения геометрии или логики представляют значительные трудности для человека, не имеющего склонности к математике. Отказ от непользования содержательных представлений после завершения формулировки основоположений дедуктивной науки оказывается осмысленным только при условии, если главной целью является получение гарантий того, что сложные утверждения теории обладают не меньшей степенью истинности, нежели ее исходные постулаты и аксиомы. Без этой «сверхзадачи» никакая наука не будет преобразована в форму аксиоматической теории.

Откуда же может возникнугь гютребность в столь жестком контроле за степенью достоверности получаемых утверждений науки? Если, как, например, в физике или химии, существует «внешний» способ проверки истинности утверждения теории, не задействующий всех использованных в его выводе гипотез и основоположений, то наличие каких-либо пробелов в выводе при его подтверждении данной проверкой не будет представлять серьезной опасности для его сохранения в ' Яновские СА.

Из истории аксиоматики // Историко-математические исслелованив. М., )95К Вып. ! !. С. 64. Изложение подхода С.А. Янонской с послед!лешим развитием ее рассуждений смл /е/олоданй ДН. Очерки по философским вопросам математики. М., !969. С. 268 — 277. Ь2. ФилосоФские проблемы воэиикиовеиия и исторической эволюции математики... 29 составе науки, хотя согласие с «экспериментом» не свидетельствует само по себе о нежелательности устранения подобных пробелов внутритеоретическими средствами.

При отсутствии «внешних> способов проверки дело обстоит иначе. В этом случае для устранении сомнений в правильности научного положения не остается ничего другого, как перепроверить шаг за шагом все ведущие к нему рассуждения. «Внешняя» проверка утверждений теории возможна не только в естественных науках, где она предусмотрена, так сказать, по определению, но и в математических дисциплинах. Наиболее простой пример такого рода дисциплины доставляет арифметика.

Формула! -> 2+ 3 + ... + и = л (и + 1)/2 допускает строго дедуктивное доказательство на основе аксиом Пеано, однако в смысле убедительности оно не только не превосходит, но даже уступает неформальному рассуждению, опирающемуся на расположение в противоположном порядке слагаемых из второго экземпляра искомой суммы под первым, после чего, ввиду равенства всех сумке подписанных одного под другим чисел, доказываемое соотношение становится очевидным.

Чем же объясняется убедительность приведенного — заведомо недедуктивного — рассуждения? Если число л невелико, то указанная выше процедура без труда может быть проделана с реальными предметами (например, камешками), замещаюпгими отвлеченные числа. Так как операции счета с камешками тождественны в отношении результата аналогичным операциям с неименованными числами, то полобная процедура в состоянии убедить в справедливости рассматриваемой формулы для неболыпих л даже самого софистически настроенного оппонента.

Поскольку рассуждение не зависит от величины параметра п, вскрывая по существу причину совпадения левой и правой частей равенства, то формула не может быть неверна и для остальных значений и. И здесь самому заядлому спорптику нечего было бы возразить. Сходным образом обстоит дело и с другими, более сложными утверждениями теоретической арифметики. Каждое предложение, выводимое из аксиом формализованной арифметики, обладает и «содержательным» доказательством, как минимум не уступающим по степени убедительности формальной ледукции, Даже если лля утверждения и не улается найти краткого оригинального доказательства наподобие приведенного выше, на худой конец можно ограничиться преобразованием аксиоматического вывода в содержательное рассуждение с помощью интерпретации всех шагов вывода на «квазипредметной» модели. Последнее возможно по той причине, что сами законы счета, служащие прообразом аксиом формальной арифметики, не только обладают подобной интерпретацией, но и исторически могли быль осознаны лишь благодаря рефлексии над фактически осуществляемой деятельностью счета путем перевода этой деятельности в гпан мысленною созерцания и предсгавления.

Так как вопрос об истинности аксиом не обсуждается в рамках дедуктивной теории, то справедливость Ь ФилосоФские проблемы математики любого формально выведенного арифметического утверждения обусловлена принятием (или непринятием) исходных основоположений, в то время как после «квазипредметной» интерпретации этот момент условности полностью исчезает. Последнее же означает, что переход на точку зрения аксиоматики не лает никакого выигрыша в отношении степени убедительности обоснования арифметических утверждений.

Наличие независимой внешней проверки справедливости предложений теоретической арифметики лишает ее «внутреннего стимула» к преобразованию в дедуктивную форму Вследствие этого арифметика ни при каких обстоятельствах и не могла стать первой дедуктивной дисциплиной. Внешний по отношению к логической дедукции способ проверки существует идлянекоторых геометрическихтеорем. Так, в равенстве углов при основании равнобедренного треугольника можно убедиться простым перегибанием чертежа вокруг прямой, соединяющей середину основания с противолежащей вершиной (предварительное нахождение середины основания при этом излишне, поскольку она находится попутно в результате перегибания).

Но уже теорема о том, что равенство углов влечет также и равенство смежных с ними углов, не может быть доказана с помощью подобных средств. Стандартное школьное доказательство с использованием первого и третьего признаков равенства треугольников, имеющее реальный «предметный эквивалент», позволяет доказать совпадение лишь ограничеииых частей смежных углов. Для того чтобы гарантировать равенство смежных углов как неограниченных частей плоскости, необходимо постулировать специальное свойство, логически эквивалентное однозначности продолжения прямой (у Евклида эту роль играет 1У постулат о равенстве всех прямых углов). Только таким образом можно завершить указанное рассуждение, однако «цена» такого доказательства будет велика.

Оно будет относиться уже не к реально проводимым линиям, имеющим ширину (даже самый совершенный в теоретическом отношении способ неограниченного продолжения прямой не может при фактическом исполнении приводить к одинаковым результатам), а к их мысленным прообразам, к идеализированным прямым, ибо только таким способом на место интуитивного представления о прямой может быть поставлено строгое понятие, пригодное в качестве основания для логических выводов. Линии без ширины и точки, не имеющие частей, — вот подлинные объекты теоретической геометрии. Но тогда соединение точек прямой линией. ее продолжение до нужных пределов, проведение из любого центра окружности произвольного радиуса и нахождение при определенных условиях точки пересечения прямых не могут считаться заведомо выполнимыми операциями.