Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006) (Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006).DjVu), страница 11

Восходящая к Канту идея о том, что математика имеет абсолютно достоверное ядро, в последнее время подвергается критике как со стороны философов (К. Поппер, И. Лакатос, Ф. Китчер, А.Г Барабашев2), так и логиков и историков науки. В качестве примера последнего рода укажем на критику диагональной процедуры Г Кантора, лежащую в основе многих разделов современной математики и до последнез о времени считавшуюся логически корректнойз. Указанные выше обстоятельства — стремительная смена технологий, кризис математического образования и критика идеи кумулятивного развития математики — можно рассматривать как признаки того, что математику в нелалеком будущем ожидает переход в новое качество.

Поскольку развитие культуры, в том числе культуры математической, совершается в результате сознательных действий людей (а не в процессе естественной эволюции, как это происходит в природе), то не только теоретической, но и чисто практической проблелюй становится обоснование стратегий роста математики, исходя из анализа ее исторического развития в целом и особенносгей наблюдаемых сейчас кризисных явлений. ' Смл Бычков С.Н.

Указ. соч. С. 277- 234. Бурбакизм же, не видя сопиокулыурной обусловленности аксиоматического метода, возводит его в ранг непререкаемой догмы. ч го и приводит к тяжелым последствиям лля школьно~о и вузовско|о математического образования. 2 Смл Барабашев А.Г. Вудугдее математики. Методологические аспекты прогнозирования М., 1991 3 См Бычков СН,, Зайцев ЕА., гдашкцн ХО. Канторовсквя лиагональная процедура. исторический и логический контекст Н Историко-математические исследования.

Вторая сория. Вып. 4 (39). М., 1999. С. 303 — 325 4! К4. ФикосоФские концепции математики 1.4. Философские концепции математики философские концепции математики различаются тем, как они трактукгг приролу математических гюнятий и принципов, логику их происхожлен ия и их связь с представлениями опытных наук. Вопрос о происхождении математических понятий является наиболее важным, поскольку он определяет представления о природе и методе математического мышления.

Этот вопрос является и самым трудным в том смысле, что его решение тесно связано с глубокими и еше не вполне понятыми антитезами обшей теории познания и прежде всего с традиционным противостоянием эмпиризма и рационализма в понимании норм мышления. Мы проведем здесь краткое описание основных воззрений на математику, имевших место в истории философии и методологии математики. Первой ясно выраженной философией математики был пифагореизм. Пифагорейцы отделяли мир чувственных предметов и явлений, в которых парит случайность, от космоса как идеальной основы мира, которая может быть понята только умозрительно.

посредством самого разума. Все, высказываемое о чувственном мире, недостоверно, является только мнением, и лишь утверждения математики, относящиеся к космосу, выступают подлинным знанием, обладающим истинностью и неопровержимостью. Пифагорейцы, таким образом, отделяли математику от других наук по предмету, а также и по методу: математические утверждения опираются не на показания чувств, а на умозрение, т.е.

на разум, который способен, как они полагали, непосредственно (без опоры на чувственный опыт) отражать глубинные законы мироздания. Математика определяла и общее пифагорейское понимание реальности, которое выражалось в положении «Все есть число».

Это положение выражало веру пифагорейцев в то, что всякая вошь содержит некоторую присущую сй меру, определенное гармоническое соединение частей, благодаря которому она и существует. Они были убеждены также в том, что вещь может быть познана в своей сущности только через раскрытие ее числа, ее внутренней пропорциональности. В соответствии с такой установкой они пытались соединить наиболее значимые для них вещи с числами, которые раскрывали бы их природу. Известно, что богатство и благо они соотносили с числом пять, согласие и дружбу — с числом четыре, вселенную — с числом десять и т.д. Положение «Все есть число» имело у пифагорейцев и другой, менее понятный для нас смысл.

Как это видно из сочинений Аристотеля, они понимали число не только в качестве внутренней структуры вещей, но и в качестве их причины, т.е, они мыслили числа как некоторого рода идеальную основу мира, как особого рода субстанпию, определяющую само их возникновение, Можно сказать, что Пифагор и его последователи возводили числа в начало всех 42 К Философские проблемы математики вешей, ставили их на место природных стихий, из которых исходили первые греческие философы. Пифагорейский взгляд на математику был господствуюшим в античной философии. Мы видим это в диалогах Платона, в особенности, в «Теэтете» и «Тимее». Платоновский Бог-демиург строит мир, опираясь на идею пропорционального соотношения всех его частей.

«...Бог поместил между огнем и землей воду и воздух, после чего установил между ними возможно более точные соотношения, дабы воздух относился к воде, как огонь к воздуху и вода относилась к земле, как воздух к воде. Так он сопряг их, построяя из них небо, видимое и осязаемое. На таких основаниях и из таких составных частей числом четыре родилось тело космоса, упорядоченное благодаря пропорции, и благодаря этому в нем возникла дружба, так что разрушить его самотождественность не может никто, кроме лишь того, кто сам ее сплотил» '.

Мы видим далее у Платона, что каждое из природных начал соединяется с одним из пяти правильных многогранников: огонь — с тетраэдром, земля — с гексаэдром, вода — с октаэдром, воздух — с икосаэдром. Космос как высшее совершенство имеет форму сферы2. Здесь мы наблюдаем первые, еше очень наивные попытки использовать математические объекты для описания реальности, для выражения ее сушностных связей. Первый удар по пифагорейской философии математики был нанесен развитием самой математики, а именно открытием несоизмеримых геометрических величин. Факт существования несоизмеримых величин подрывал гармонию между арифметикой и геометрией, которая для пифагорейцев была само собой разумеюшейся, а также пифагорейскую идеологию в целом. Необходимо бьшо признать в силу самой строгой логики, что при любом выборе единицы измерения найдутся величины неизмеримые и непредставимые отношением натуральных чисел, которые, таким образом, уже не могут быть поняты как соответствуюшие определенному числу.

Но если число является недостаточным уже для описания геометрических величин, то его универсальность для выражения других, более сложных вешей становится в высшей степени сомнительной. Другая причина постепенно~о ослабления пифагорейской философии математики состояла в развитии философии, в появлении более обоснованного и убелительного объяснения природы математических объектов. Огромная роль приналлежит здесь Аристотелю, в сочинениях которого дана широкая и в определенном смысле исчерпывающая критика пифагореизма. Хотя Аристотель — непосредственный ученик Платона, его мировоззрение отличается от платоновского радикальным образом. Аристотель скорее исследователь природы, чем умозрительный 1 Плалтоа.

Тимея // Соил В 4 т. М., 1994. Т. 3. С. 435. 3 Там же. С. 458 — 462. 1.4. Философские коииепиии математики 43 философ, он ценит факты и логику больше, чем мифологические построения. Отношение Аристотеля к пифагорейцам отрицательное и даже пренебрежительное, Пифагорейская философия ложна прежде всего потому что она не раскрывает причин вещей. «На каком основании,— спрашивает Аристотель, — числа суть причины? Есть семь гласных, гармонию дают семь звуков, семи лет животные меняют зубы, было семь вождей против Фив. Так разве потому, что число таково по природе, вождей оказалось семь или Плеяды состоят из семи звезд? А может быть, вождей было семь потому, что было семь ворот...ь' Пифагорейские сопоставления для Аристотеля — простая игра с числами, основанная на случайных совпадениях и не имеющая значения для истинного объяснения явлений.

В философии Аристотеля появилось новое понимание математического мышления, которое известно сегодня под названием математического эмпиризма. В основе этой концепции лежит убеждение в первичности опытного знания. По мнению Аристотеля, математические предметы не являются чем-то существующим отдельно от вещей: они связаны с вещами и возникают как таковые из способности отвлечения. «И лучше всего можно кажлую вещь рассмотреть таким образом; полагая отдельно то, что отдельно не существует, как это делает исследователь чисел и геоМЕтра2, СМЫСЛ ЭТОГО ВЫСКаЗЫВаНИя СОСтОИт В тОМ, ЧтО ЧЕЛОВЕК, ВОСПрннимая вещи во всем многообразии свойств, отвлекается от них, оставляя лишь некоторые из них и исследуя их как отдельно (самостоятельно) существующие. Математика, по Аристотелю, является наиболее абстрактной наукой: если физик отвлекается от всех качеств тел, кроме их движения, то математик отвлекается и от движения, оставляя в сфере своего внимания только фигуры и числа.

Математик строит особый идеальный мир, основанный на отвлечениях. Этот мир не является независимым от чувственных вещей, он берется как независимый лишь условно, для ясности и простоты рассмотрения интересуюших нас свойств. Вещи первичны перед математикой и определяют се содержание.