Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006) (Миронов В.В. Современные философские проблемы естественных_ технических и социогуманитарных наук (2006).DjVu), страница 13

С. 79 — 8 г; Гюабера Л. О бесконечном У/ Избр. труды. М, !999. 1.4. ФилосоФские конпеппии математики для того, чтобы переложить их из одной кучки в другую. Исходные математические понятия, по мнению Пиаже, сформировались в опыте, но не в сфере физического, а в сфере логико-математического или операционального опыта, т.е.

через наблюдение операциональной активности. Ошибка традиционного эмпиризма состояла в том, что он ставил своей задачей вывести исходные представления математики из физического опыта. Математика в своей сути — это наука о реальных и мысленных операциях, и, таким образом, она имеет предмет, определенный структурой операционального опыта'. Другой вариант эмпирического понимания математического мышления был предложен И.

Лакатосом в его известной работе «Доказательства и опроверженияьч а также в ряде статей, посвященных философии математики2. Эмпиризм Лакатоса можно назвать методологическим, ибо он направлен прежде всего на критику традиционных представлений о строгости математического доказательства и проектов логического обоснования математических теорий. Лакатос выдвинул положение, согласно которому идеально строгих доказательств не существует. Самое убедительное доказательство, по его мнению, содержит в себе систему скрытых допущений, неявных предпосылок, которые могут оказаться ошибочными или противоречивыми.

Полнос выявление такого рода допущений, считает он, ни в одном конкретном случае не может быть достигнуто. Даже если бы некоторое доказательство действительно оказалось полностью свободным от скрытых допушений, то мы все равно не могли бы доказать этого факта, т.е, его законченности. Лакатос убежден в том, что мы считаем доказательства строгими в соответствии с принятыми длл данного времени критериями строгости, которые не являются неизменными. Абсолютно строгих доказательств, с этой точки зрения, не сушествует, ибо доказательство, удовлетворяющее критериям строгости одной эпохи, может оказаться нестрогим с точки зрения критериев другой эпохиз.

К математическому эмпиризму можно отнести также и концепцию математики Ф. Китчера, основанную на психологической теории познания. Олна из основных целей Китчера состоит в критике априоризма. По его мнению, всякая интуиция, в конечном итоге, есть продукт опыта, и не существует никакой особой интуиции, которая могла бы гарантировать полную надежность математического рассуждения4. ' Счз Пиаяге лт. Структуры операпиональныс и структуры математические И Преполаванис мазематики. М., 1960. С.

30. -' Смл Лакагяос И. Доказатеяьства и опровержения. Как показываются теоремы. М., 1967; Ликатос И. Бесконечный регресс и обоснования математики И Современная философия науки. М., !996; ьеггагоз Г. А Пепасмапзе оГ Егпргпс1ып 1п гпе Иеаепг РЫ!озорйу оГ магпетансз И Впг. 3опгп. !ог гйе Р1ьвоз. оГ яс!.

1976. зь1, 27 !ьь 3. 3 Смз Лакомое И. Доказательства и опровержения. С. 80. 4 Смз КггсЬег РЬ. тйе 1ча!пге оГ Маглепза!1са1 Кпов 1едйе. !ЧХ., 1963. Р 50 — 53. Ь философские проблемы математики В последнее время появились также воззрения на математику которые можно назвать неоаприоризмом, поскольку они настаивают на априорности исходных принципов арифметики и евклидовой геометрии, трактуя остальные математические теории в пухе формалистской концепции.

Математика с этой точки зрения разбивается на две части; первичная, априорная математика, принципы которой облалают самоочевидностью и вторичная, формальная математика, созданная для внешних (прикладных) задач, удовлетворяющая только требованию непротиворечивости. Некоторые попытки восстановления математического априоризма мы видим в работах Я. Хинтикки и ряда других философов'. Неоаприористское воззрение на природу математики представляется достаточно перспективным.

Несомненно, что исходные математические теории., такие, как арифметика, геометрия и логика, имеют прямую связь с универсальной онтологией, они тесно связаны с категориальным видением мира и имеют значение для мышления вне их прикладной ценности. Безусловно, Кант был прав, связывая исходные математические представления с обшей логикой человеческого мышления. Краткий обзор основных воззрений на природу математики убеждает нас в том, что наряду со сдвигами в развитии самой математики происходит постоянное совершенствование философии математики. Мы видим здесь смену воззрений и возрождение старых точек зрения на основе новых фактов. Очевилно, что это диалектическое движение не может закончиться.

В философии математики мы не достигаем последних пределов, как и в развитии самой математики. 1.5. Философия и проблема обоснования математики Проблема обоснования математического знания сводится к решению двух вопросов, а именно к обоснованию строгости (законченности) математических локазательств и к обоснованию непротиворечивости математических теорий, составляющих фундамент математической науки, прежде всего таких теорий, как арифметика и теория множеств.

Эти вопросы были в центре внимания логиков и философов на протяжении всего последнего столетия. Хотя окончательное решение проблемы обоснования до сих пор нс достигнуто, несомненно, имеется существенное продвижение в смысле более глубокого ее понимания и разработки средств. которые могут быть использованы лля ее решения. ~ Смл Хилтикяа Я Информация, дедукция и а рпоп // Хинтикка Я.

Логике-опистемологические исследования. М., Г980. 1 5. Философия и пробпеча обосиоааиия математики На вопрос о том, являются ли математические доказательства строгими, должен быть дан отрицательный ответ, если мы имеем в виду теории на стадии их становления, т.е. на сталии формирования понятий и логики рассуждения. Этот вопрос, олнако, становится более трудным, если мы имеем в виду хорошо развитые математические теории, в которых выявлена система необхолимых посылок и нет сомнений в характере используемых логических средств. Математик, конечно, не сомневается в том, что основные доказательства алгебры и элементарной геометрии безупречны.

Их трудно поставить под сомнение хотя бы потому, что они образуют логически связанную систему положений и сомнение в надежности одного из них ставит поп вопрос сушествовапие теории в целом. Но можем ли мы все-таки обосновать полную надежность какого-либо конкретного доказательства? Трудность положительного ответа на этот вопрос заключается в том, что рассуждение, доказываюшее строгость какого-либо доказательства, само должно быль обосновано в своей строгости и тд. Это значит, что мы должны получить заключение о строгости доказательства не на основе математического доказательства, а из некоторых содержательных соображений, обладающих полной надежностью. Но могут ли сушествовать содержательные и одновременно безусловно стро~ие рассуждения'? Подавляюшее число логиков и философов сомневаются в совместимости этих требований.

Длительная неопределенность в положительном решении вопроса побудила многих философов запшшать противоположную идею, а именно настаивать на принципиальной нестрогости любого математического доказательства. Именно в этом плане И. Лакатос загдишвл положение, согласно которому изгеальпо строгих доказательств не существует. Очевидно, что Лакатос исходит из эмпирического взгляда на формирование математических понятий. Никакое понятие, по его мнению, не свободно от интуиций опыта, которые несовершенны и могут проявить себя в виде скрытых лемм или парадоксов на некотором этапе развития математической теории. С точки зрения априористской теории гюзнания эти заключения, конечно, не будут законными.

Исходные понятия математики, данные в апоян ктической оче вилности, нс могут содержать лефектов, и математическое локазательство, свеленное к системс аподиктически очевидных шагов, должно быль признано в качестве абсолютно належного. Необходимо сделать выбор между этими двумя подходами. Это значит, что проблема строгости математических доказательств может быть решена только при прояснении природы элементарных очевидностей, лежаших в его основе. Она сводится, таким обраюм, к необходимости выбора между эапгиризмом и априоризмом как обшими философскими воззрениями на приролу математических понятий. Надо признать, гго в настояшее время мы пока не имеем аргументации, позволяюпгей сделать здесь однозначный выбор или некоторым образом примирить диаметрально противоположные подхолы. 80 1.

ФилосоФские ироблемы математики Обоснование математики в плане обоснования непротиворечивости математических теорий имеет аналогичные трудности. Эта проблема, как известно, была поставлена под влиянием парадоксов, обнаружившихся в теории множеств и математической логике в начале ХХ в. Парадоксы поставили перед математиками две задачи. Первая из них состояла в том, чтобы найти общие причины этого явления и указать минимальные ограничения для логики математических рассуждений, которые были бы достаточными для устранения парадоксов.