Путилов К.А. Термодинамика (Путилов К.А. Термодинамика.djvu), страница 21

По Карно, наибольший коэффициент полезного действия тепловой машины не зависит от природы рабочего тела и вполне определяется предельными температурами, между которыми машина работает (это в нашем обзоре седьмая формулировка второго начала). Приведенное утверждение можно рассматривать как следствие невозможности перпетуум-мобиле второго рода. Схема рассуждений такова.

Вначале берем в качестве рабочего тела идеальный газ. Пользуясь уравнениями Клапейрона — Менделеева и Пуассона, подсчитываем коэффициент полезного действия тепловой машины, в которой идеальный газ в качестве рабочего тела совершает обратимый цикл, ограниченный двумя адиабатами и двумя изотермами (цикл Карно, рис. 7). Подсчет показывает, что коэффициент полезного дчйствия равен разности температур теплоисточникв и холодильника, деленнЪй на абсолютную температуру теплоисточника. Выполним этот подсчет. Идеальный газ, содержащийся в цилиндре машины, расширяясь, выталкивает поршень и производит работу.

При этом в первой изотермиче- ской стади расширения (рис. 7, кривая л ноет, 1 — 2) теплоисточник отдает, а идеальный газ получает теплоту Я, равную работе расширения газа. Действительно, внутренняя энергия идеального газа зависит толь- а ко от температуры; следовательно, посколь- Неете~не те ку температура неизменна, то и внутренняя энергия газа неизменна и, стало быть, по первому началу термодинамики теплота, изотермически сообщаемая газу, равна ра- Рис. 7. Цикл Карно боте, которую производит газ; из уравнения 11 = ЛУ + А, если ЬУ = О, то Я = А.

Допустим в цилиндре содержится ч молей газа. По уравнению Клапей- рона -~ Менделеева (1.7) ро = чЯТ. Расширяясь изотермически при температуре Т теплоисточника от объема ох до объема о„газ произведет работу, равную теплоте 1;!, которую газ забирает у теплоисточника: е, и, Я = ') рИо = 1 — й~ чу!и —.

Г чдТ иа о оа из а1 Во второй адиабатной стадии расширения (рис. 7, кривая 2 — 8 ) работа производится за счет убыли внутренней энергии газа, т. е. за счет падения температуры газа от уровня теплоисточника (Т) до уровня холодильника (Т,). При этом газ не получает и не отдает тепла. Затем идеальный газ сжимается изотермически от объема оа до объема оа, определяемого пересечением изотермы холодильника с начальной адиабатой.

На это сжатие газа (рис. 7, кривая 3 — 4) должна быть затрачена работа, которая вследствие изотермичности процесса окажется целиком превращенной в теплоту Я„отдаваемую газом холодильнику: е, Фв 0о = ~ рг(~~= ) по = чу !и — а оа Фе м (3.2) Цикл завершается адиабатной стадией сжатия газа до исходного объема о„ когда затрачиваемая работа идет на повышение температуры газа до первоначального значения, т.

е. до уровня теплоисточника'„при этом газ не получает и не отдает тепла. За цикл газ получает теплоту 1) и отдает теплоту 11а. Поскольку к концу цикла газ возвращен к своему исходному состоянию, то, стало быть, разность теплот Я вЂ” 11а превращена в работу А, произведенную газом как рабочим телом за один цикл. По определению, коэффициент полезного действия есть отношение этой работы к теплоте, полученной рабочим телом от теплоисточника, т. е. Ч=О= а (3.3) То"-' = сопз1, (3 ей) т. е. адиабата идеального газа характеризуется неизменностью произведения Тон-а Заметим теперь, что по уравнению Пуассона (1.19) произведение ро" остается неизменным при равновесном адиабатном расширении или сжатии.

.Если в этом произведении заменить давление его выраженийм из уравнения р = чКТ7о, то легко видеть, что закон Пуассона преобразуется к следующему виду: Обьемы с» и о» лежат на одной адиабате, причем объем с» соответствует температуре Т, а объем с» — температуре Т,. Следовательно, Тс,," ' = Т,ар '. Так как объемы с, и с«также лежат на одной адиабате и отвечают тем же тем пературам Т и Т,,то и для них можно написать аналогичное уравнение »-« ~ м-1 Тс« — — "1Тьо« Разделив первое из этих уравнений на второе и извлекая из обоих получен» ных отношений корень степени х — 1, находим, что с«с«-, с«с« Учитывая это обстоятельство, подставим (3,1) и (3.2) в (З.З) и, сократив числитель н знаменатель на равные величины ю)с!п — ' и чЯ1п — ', с« »4 находим, что т — т« Ч ° Т (3.3') т. е., как было сказано выше, к.п.д.

цикла Карно для машины, работающей на идеальном газе, равен отношению разности температур теплоисточника и холодильника к абсолютной температуре теплоистсчника. Теперь мы должны обратиться к рассуждению о двух «сопряженных» друг с другом машинах Карно, из которых одна работает на идеальном газе, а другая — на произвольном веществе. Следуя Клаузнусу, мы покажем, что если к.п.д. у одной из этих машин был бы больше, чем у другой, то это привело бы к перпетуум-мобиле второго рода.

3.3. Рассуждения Клаузнуса о двух сопряженных машинах Карно Что касается второй машины, то пусть ее размеры позволяют подчинить режим ее работы тому условию, чтобы теплота Я', забираемая второй машиной за каждый цикл у теплоисточника, была равна теплоте, забираемой у тепло- источника первой машиной: Я' = Я. Если при этом условии работа, производимая за один цикл второй машиной, равна работе, выполняембй за один цикл первой машиной (А' = А), то тогда, очевидно, равны и их к.п.д.

(Ч'= = Ч) и равны теплоты, отдаваемые машинами холодильнику (4 = 9,). Но допустим, что к.п.д. наших машин не равны, и, стало быть, не равны работы, производимые ими за один цикл, а также и теплоты, отдаваемые нми холодильнику. Например, допустим, что к.п.д. первой машины больше, чем второй: Ч ~Ч' и, следовательно, А ) А'.

Это означает, что первая машина превращает работу в большую, чем вторая машина, часть тепла, забираемого Итак, наряду с машиной, у которой рабочим телом является идеальный газ (первая машина), возьмем вторую машину, у которой рабочим телом является произвольное вещество, например какой-либо пар или жидкость. Обе машины имеют общий теплоисточник и холодильник. Пусть первая машина забирает у теплоисточника тепло Я, отдает холодильнику тепло Я«, производит работу А = Я вЂ” Яь и имеет к.п.д. Š— Ь Т вЂ” Т Ч= — = Т Рис.

8. Термодинамическая схема двух сопряженных машин Карно у теплоисточника, и, следовательно, отдает холодильнику меньше. тепла, чем вторая: Яе ( (ге. Поступим так: направим работу, производимую первой машиной, на то, чтдбы заставить рабочее тело второй машины описывать цикл Карно в обратном направлении (причем оно будет вследствие рас- ширения при темцературе Т,забирать ухолодильникатепло Це и вследствие сжатия при Т отдавать теплоисточнику тепло Я).

Иначе говоря, используем первую машину как двигатель и заставим вторую работать как холодильную машину, потребляющую на каждый цикл работу А' и переносящую тепло хее' от холодного тела к нагретому, причем это нагретое тело, являющееся для первой машины теплоисточником, получает сверх теплоты Щ еше теплоту за счет подводимой работы; всего за цикл оно получает тепло Я' = 9. На рис.

8 представлена схема двух сопряженных указанным образом машин Карно. Согласно сделанному нами допущению А)А', и, стало быть, в итоге совокупность обеих машин за каждый цикл даст работу, равную положительной разности А — А', а холодильник потеряет теплоту, эквивалентную этой работе А — А' (действительно, от первой машины холодильник получает тепло Я„а второй отдает большее количество тепла 4, т. е.

в итоге холодильник теряет тепло его — (~е; но А = ~ — Яе и А' = 9' — е1„и поскольку Я = (1', то (га — Яо = А — А').'Что же касается теплоисточника, то его состояние не изменяется, так как первой машине он отдает столько же тепла, сколько получает от второй.

Таким образом, никакой компенсации превращения тепла в работу здесь нет, т. е. указанное сочетание двух машин Карно представляло бы собой перпетуум-мобиле второго рода. Мы пришли к противоречию со вторым началом термодинамики, что указывает на неправильность сделанного допущения о неравенстве к.п.д. рассмотренных машин. Строго говоря, мы убедились пока только в том, что к.п.д. первой машины, с идеальным газом в качестве рабочего тела, не может быть больше (как мы это сначала допустили), чем к.п.д.

второй машины. Но не может ли он оказаться меньше, чем у второй машины? Допустим, что это так. Тогда машину с идеальным газом в качестве рабочего тела мы заставим работать как холодильную, а машину с произвольным рабочим телом используем как двигатель. Все приведенные рассуждения остаются в силе,.только вторую машину мы будем теперь именовать первой, а машину, работающую на идеальном газе, второй.