Путилов К.А. Термодинамика (Путилов К.А. Термодинамика.djvu), страница 22

Мы опять придем к противоречию со вторым на; чалом..Стало быть, кт.д. машины Карно с идеальным газом в качестве рабочего тела не может бьвпь ни больше, ни меньше, чем к.п.д. аналогичной машины, работающей между теми же пределами температур, но имеющей в качестве рабочего тела не идеальный газ, а любое вещеспию. ЗА. Коэффициент полезного действия любого обратимого цикла Принцип!Карно сыграл ведущую роль в развитии научных основ тепло. техники.

На основе этого принципа стало ясно, что для повышения к.п.дтепловых машин важно идти по пути расширения температурных пределов, между которыми происходит цикл рабочего тела, тогда как замена одного Рис. 9. Схема термодииамического цикла (к доказательству теоремы Карно) рабочего вещества другим сама цо себе не может дать никаких выгод. Вообще говоря, форма цикла сказывается на величине к.п.д. Лризаданныхтемпературных пределах цикл Карно в сравнении со всеми остальными циклами обратимых машин дает наибольший к.п.д. Эта важная теорема может быть доказана посредством следующего рассуждения. Прежде всего обратим внимание на одно следствие из выражения (З.З) для к.п.д.

цикла Карно. А именно из соотношения д — Ь 7 — Т т) = — ~ Т получается, что йе Т Т ° и, стало быть, Ю ~~о 7 7 ° (3. 5) ва ьЬ нЬ (З.ба) где й)„ бЯ„ Йгз, ... — теплоты изотермического перехода от одной адиабаты к соседней, а Т„Т„Т,„...— абсолютные температуры, при которых этот переход производится. Если адиабаты проведены так, что равенство (З.ба) соблюдено для температур, которые характеризуют ход нижней половины цикла, то в силу соотношения (3.5) равенство, аналогичное (З.ба), окажется действительным и для отрезков изотерм, передающих ход верхней половины цикла: ~~ее ~~ге (З.бб) Тт 7, '7,' причем члены обеих строчек равенства (З.ба) и (З.бб) одинаковы: оГгг Т 1 (З.бв) (отношение сообщаемой телу теплоты к абсолютной температуре тела называют приведенной теплотой).

На)рис. 9 представлена схема расчленения не- т. е. отношение изотермических теплот равновесного перехода с одной адиабаты на другую к абсолютной температуре, при которой втот переход производится, одинаково длл всех изотерм и, следовательно, зависит только от удаленности друг от друга рассматриваемых адиабат. Для наглядности допустим, что некоторый интересующий нас цикл, описываемый рабочим телом машины,' имеет, например, вид, изображенный на рис, 9. Рассечем этот цикл сетью адиабат, проведенных на таком расстоянии друг от друга, чтобы для всех смежных друг с другом аднабат имело место равенство которого цикла на чередующиеся отрезки аднабат н нзотерм.

Прн бесконеч* но большом чнсле аднабат ломаные, линии, построенные нз отрезков аднабат н нзотерм, могуг быть приведены к сколь угодно близкому соответствию с любой формой цикла. Теплоту 9, получаемую рабочим телом от теплонсточннков различной температуры, можно рассматривать как сумму теплот нзотермнческнх переходов от одной аднабаты к смежной вдоль всей верхней половины цикла: Я =И +ба',+6Яз+.. Перепишем это равенство, умножив н разделив каждый член на абсолютную температуру, прн которой производится переход на смежную аднабату: 6Е,' .

6Е,', ВЕ,' Я = Т1 — +Та( — + Т'а — + т, '. у, 'у,' нлн, учитывая соотношенне (3.6а) Я = (Та+Та+Та+...) —, 6Я1' Т', Аналогично теплоту Я„которую рабочее тело отдает холодильникам разной температуры,' можно рассматривать как сумму теплот нзотермяческнх переходов от одной аднабаты к другой вдоль всей нижней половины цикла: Яо = Из+6Яз+ 6Яз+ .. Придав этому равенству внд Яо — — Т1 + Тз + Тз — + К. 6Е.

6Ь Т1 Те Та н учнтывая соотношение (3.66), получаем ао=(Т1+Тз+Тз+ ) т, ° К)1 Подставив найденные выражения для теплот Я н Яо в формулу (3.3) н учтя (З.бв), после преобразования найдем утеллоист ухол 1ср ср у те слоист ср (З.З') где т~-"= 1 (Т,'+Т,'+... +Т„') — среднеарнфметнческая абсолютная температура и отрезков нзогерм, передающих ход верхней половины цикла, нлн, иначе говоря, средняя абсолютная температура теплонсточннков.

Аналогично зол 1 Т„= — (Т,+Т,+... +Т„) 67 есть среднеарифметическая абсолютная температура и отрезков нзотерм, передающнх ход нижней половины цикла, т. е. средняя абсолютная температура холодильников. Уравнение (3.3") является удобным обобщением уравнения Карно. Оно применимо к циклу любой формы вне зависимости от свойств рабочего тела. Уравнение (З.З'), в частности, показывает, что прн заданных температурных . пределах, между которыми осуществляется цикл, к.п.д. цикла тем больше чем ближе средняя температура теплоисточников к температуре наиболее горячего из них и чем ближе средняя температура холодильников к температуре наиболее холодного из них (в этом случае отношение Т,"„"""" минимально и величина Ч максимальна). Отсюда очевидно, что цикл Карно обладает наибольшим к.п.д., чем все остальные циклы (в тех же температурных пределах).

Здесь следует упомянуть, что форма некоторых циклов иногда позволяет одни и те же тела промежуточной температуры использовать в одной половине цикла как теплоисточннки, а в другой половине цикла — как холодильники. Такая рееенерация тепла повышает к.п.д. цикла и приближает цикл по его свойствам к циклу Карно.

3.5. Энтропия как сумма приведенных теплот. Аналитические формулировки второго начала Обратимся снова к рис. 9, Верхнюю и нижнюю половины изображенного на этом рисунке цикла мы можем рассматривать как два пути перехода из состояния 1 в 2. Теплота, которую нужно сооб1цнть телу, чтобы перевести его из состояния 1 в 2 по одному из этих путей, например по верхней ветви цикла, не равна теплоте, которую потребовалось бы сообщить телу, чтобы перевести его из 1 в 2 подругому пути, например по нижней ветви цикла (Я+ + Я,). Но, как уже было отмечено, теплоты изотермического перехода от одной адиабаты к смежной адиабате, разделенные на абсолютные температуры, прн которых этот переход производится, равны друг другу для обеих ветвей цикла (3.6в), так что (как бы нн были проведены адиабаты) всегда для обеих сопоставляемых ветвей цикла будут иметь место соотношения М~ о 111 Т Т1 "'11 ЬЬ вЂ” — и т.д.

Т Т1 9 не зависит от пути процесса, так как для обоих сопоставляемых путей перехода, выбранных, очевидно, произвольно, указанная сумма (в соответствии с числом адиабат, пересекающих оба пути перехода) содержит одинако вое число попарно равных друг другу членов. Важно помнить, что в изложенных рассуждениях речь шла о равновесных (обратимых) процессах. Если тело проходит через ряд неравновесных состояний, то графически изобразить такой процесс нельзя. Понятнотакже, что в случае неравновесного (например, самопроизвольно протекающего) процесса нельзя безоговорочно вводить в рассмотрение, как это мы делали, осуществление того же процесса в обратной последовательности всех пройденных телом состояний. Выведенную нами из принципа Карно теорему, что для равновесных процессов сумма приведенных теплот не зависит от пути процесса, можно было бы принять в качестве исходного положения как простейшую аналитическую формулировку второго начала (в нашем обзоре — восьмая формулировка)1 По предложению Клаузиуса сумму приведенных теплот для любого равновесного перехода из состояния 1 в 2 называют энтропией 5 тела в состоянии 2 по отношению к 1: (3.7) аз Отсюда следует, что величина суммы (или, в пределе, интеграла) приведенных теплот Представление об энтропии позволяет сформулировать второе начало следующим образом (девятая формулировка): энтропия яеляется однозначной функцией состпояния.

Этим устанавливается некоторая, правда весьма формальная, аналогия между содержанием второго начала и содержанием первого начала, которое определяет существование внутренней энергии как однозначной функции состояния. В целях такой же аналогии иногда формулируют второе начало так (десятая формулировка): элемент тепла при равновесном процессе, деленный на абсолютную температуру тела, валяется полным дифференциалом эн- 7 опии.

Первое начало, как известно, устанавливает, что сумма элементов с общенного телу тепла и затраченной на него работы является полным дифференциалом энергии. Здесь, быть может, полезно напомнить, что, если элементарное малое приращение функции стеснено какими-либо ограничительными условиями (например, требованием, чтобы один из аргументов рассматриваемой функции оставался постоянным), то мы имеем дело счастным дифференциалом (знак д). Если же элементарно малое превращение функции не стеснено никакими ограничительными условиями, то мы имеем дело с полным дифференциалом (знак й). Например, в уравнении пепяого начала (2.2) 6Я =йУ. 6А Иl представляет собой полный дифференциал энергии.