Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (Радушкевич Л.В. Курс статистической физики.djvu), страница 13

Следует только оценить эту среднюю относительную скорость на основании максвелловского закона распределения скоростей. Относительная скорость двух молекул может быть представлена как У=с~ — сг. Глава д Кинетическая, теоаия газов где т, и тг — массы обеих молекул (считая обе молекулы раз- личными по массе). Общая масса нх: М=тг+тг Тогда т,с, + тзс, о= Пользуясь этими формулами, можно скорости молекул предста- вить соотношениями, вводя относительную.

скорость г' сз= 1'о+ ге )' (1,55) Кинетическая энергия системы из двух молекул равна: тсг тс г Е = — +— иив 2 Подставляя сюда сг и сг из формул (1,55), находим: Мко Мзг1г' 2 2 = — + Написанное ранее выражение кинетической энергии двух молекул теперь перешло в соотношение, где та же кинетическая энергия распределена на две части: первая часть есть кинетическая энергия за счет движения центра массы и за счет относительного движения одной молекулы со скоростью У, если вторая молекула неподвижна. Очевидно, что Мм заменяет собой массу движущейся молекулы в этом движении, т. е.

т,т, Мзг= т,+т, Если обе молекулы одинаковы по массе, т. е. т,=тг=т, то масса в относительном движении будет: т Мн —— 2 как видно из предыдущей формулы. З 9. Число столкновений молекул газа и длина свободного аробега 67 На странице 34 выведена формула (1,11), представляющая собой число молекул в единице объема газа со скоростью от с до с+с(с: з 4 аЪ =чей ==аз че-ас'с'йе. с Отсюда мы нашли среднюю скорость молекул по (1,36): с=2')/ — „ Из аналогичной формулы для максвелловского распределения находим среднюю скорость Г относительного движения для массы Мза.' Следовательно, / т с М„ если массы молекул одинаковы, то л,( РР3 2 ' и тогда Отсюда средняя скорость относительного движения равна: Р=)/2 с.

Число столкновений в 1 сея находим, пользуясь рассужде. ниямн для первого простейшего случая, но при этом выделенная нами молекула движется с относительной средней скоростью Р среди неподвижных молекул, т. е. из формулы (1,53) имеем: и=поз.ч Р='172позч с. (1,56) Отсюда длина среднего свободного пробега равна: с с ! а Р' 2иозчс У2 зигч Гласа д Кинетическая теория сазов Найденный нами результат показывает, что при точном расчете п и Л близки к тем, которые получены при грубом допущении.

Сопоставляя (1,53), (1,54) и (1,56), получаем: п,=эФч с, 4 и = — поти.с. е 3 пз = )/2яоти ° с. Отношения — '= '!Г2; — '= 1,33. Выведенные формулы показывают, что при обычных давле- ниях в газах число столкновений весьма велико. Так, для диа- метров молекул, составляющих о — 10 е см, и при невысоких температурах, когда скорости близки к 5Х104 см/сек, и тИ 10'е см-е, при обычном давлении находим: пт!0е сек ', ЛЯ!0 'сес. Заметим еще, что формула (1,56) дает число столкновений одной молекулы в единицу времени. Общее число столкновений, происходящих в 1 сме газа за 1 сея между всеми молекулами, можно найти из (1,56), если учесть, что для и молекул в ! см' происходят попарные встречи и с каждой встречей заканчич ваются два пробега. Умножая (1,56) на —, находим полное число столкновений; ! иаечес йм = — ил = 2 г'2 Из этой формулы видно, что пм колоссально велико, оно представляет собой при обычных давлениях величину 10ет. $10.

Закон рввпрвдвлвпип вввбвдпых првбвгвв Мы нашли средние величины свободных пробегов молекул, однако фактический свободный пробег есть величина не постоянная, и в газе встречаются большие и малые пробеги, т. е., иными словами, существует некоторое статистическое распределение пробегов молекул.

При выводе закона распределения пробегов мы будем называть свободным пробегом х расстояние, проходимое молекулой без столкновения с другой. Такое определение пробега отличается от введенного ранее, когда мы рас- б9 д 10. Закон рагнредееенив евободнах нродегов Поэтому 6 (х) + 6' (х) г(х = 6 (х) (1 — аЫх), 6'(х) = — а ° 6(х), нлн откуда — = — аах. дб (х) О (х) Интегрирование этого выражения дает нам: 1п 6(х) = — ах+1п Ь, или 0(х) =Ь ° а-ек, (1,57) где Ь вЂ” константа интегрирования. Легко видеть, что Ь= 1, так как вероятность 6(0) того, что на пути х=0 молекула не столкнется с другой молекулой, есть вероятность достоверного события, т. е.

равна 1 и, значит, из (1,57) следует: 6(0) =Ь ° 1=1. Следовательно, 0(х)=е-'. (1;б8) сматривали путь от одного столкновения до другого. Найдем вероятность того, что молекула пройдет путь х, не столкнувшись с другой молекулой. Очевидно, эта вероятность является функцией выбранного пробега, т. е: она может быть выражена как 6(х). Какова вероятность, .что путь (х+г(х) молекула тоже пройдет без столкновения? Ясно, что эта вероятность также может быть представлена как 6(х+дх). Но эта последняя вероятность прохождения составного пути х+Ых без столкновения может рассматриваться как вероятность сложного события, состоящего в прохождении пути х без столкновения н пути г(х также в отсутствии столкновения.

Считая эти события независимыми, мы можем принять, что искомая вероятность равна произведению вероятностей составляющих событий. Пусть а. Их есть вероятность столкновения на пути дх. Тогда вероятность противоположного события по смыслу вероятности ранна ! — адх. Следовательно, вероятность прохождения пути х+Ых без столкновения равна: 6(х) (1 — ае(х) =0(х+г!х).

Правая часть этого равенства может быть выражена при помощи основной формулы обычного определения производной: 6(х+Ых) = 6(х) + 6'(х) г(х. Г л а в а Л Кинетическая теория газов Вспомним, что 6(х) есть вероятность, что на пути х не произойдет столкновения, следовательно, это есть вероятность, что фактический свободный пробег молекулы или равен х, или больше х, Определим теперь константу а. Если и есть число свободных пробегов молекулы за единицу времени, то, очевидно, и ° чк(х) есть число из них, имеющих длину х и больше, как это следует из определения вероятности. Тогда и ° 1к(х+ах) представляет собой число пробегов длиной х+с(х и больше. В таком случае и ° б (х) — и ° 6 (х+ с(х) есть число пробегов с длиной от х до х+ах.

Подставим сюда выражение для функции из формулы (1,58). Тогда П . 1К'(Х) П, О (Х+ ггХ) — ПЕ-ак ПЕ-а 1к+Ек] ПЕ-ак (! Е-аак) Разлагая экспоненциальную функцию в скобках в ряд и огра- ничиваясь первой степенью 0х, можно принять: е-'а" =1 — ас(х, и тогда п. 0(х) — п. О(х+Ых)=п ае-акс(х. Найдем теперь среднюю длину свободного пробега Л. Для этого надо, очевидно, просуммировать все пробеги от О до оо и разделить сумму на общее число пробегов молекулы и за единицу времени. Иными словами, необходимо полученное выражение числа пробегов длиной от х до х+дх умножить на х, про. интегрировать эту функцию в пределах от О до оо и разделить на и. Следовательно, Л = — ) пахе-'" йх = а ( хе- йх. 1 е — л3 о о Написанный здесь интеграл легко вычислить.

Он равен: ОР 1 хе-' ах= —,. аз о э 11. Пролегает переноса в газах с точки зрения кинетической теории 11 Поэтому 1 Л=- а или 1 а= —. к' о, Окончательно находим: о О (х) = е '. (1,59)' Формула (1,59) пока. зывает, что вероятность для молекулы иметь фактический свободный пробег, равный среднему или больше его, составляет: е-' = 0,3679, т. е. лишь 36,79о7о всех пробегов молекул равны Х или больше Х.

Остальные 63,21о/о пробегов меньше ).. Вероятность десятикратного среднего пробега х=!ОХ и большего весьма мала и составляет: е-" = 0,000045, Таким образом, случаи, когда молекула имеет свободные пробеги, заметно превосходящие Х, сравнительно редки. Функция б(х), как видно из формулы (1,59), является убывающей (рис. 10).

Вероятность свободного пробега от х до х+Лх может быть найдена дифференцированием (1,59) по х. Она равна: х (<р(х)) Лх = — е ' Лх, где тр(х) = 6'(х). Это тоже убывающая функция х. Следовательно, распределение свободных пробегов существенно отличается от распределения скоростей молекул, характеризующегося максимумом функции распределения. Закон распределения пробегов экспериментально подтвержден в исследованиях Бориа и Бормана. $ 11.

Процессы переноса в газах с точки зрения кинетической теории Молекулярные соударения, происходящие в газах, определяют собой характер так называемых процессов переноса. К этим процессам мы относим диффузию, теплоп ров од ность Глава К Кинетическая теория вазов 72 сат саг и внутреннее трение в га- за х.

В первом из них наблюдает— е аз ся самопроизвольный перенос мас/ сы, во втором — передача теплоты, тогда как в третьем процессе Рис. 11. имеется перенос количества движе- ния в движущемся газе. Эти явления были известны уже давно, и для них была создана феноменологическая (описательная) теория без рассмотрения молекулярного механизма переноса. Введение молекулярных представлений позволяет во всех деталях объяснить эти процессы, а также выразить коэффициенты переноса с помощью молекулярных характеристик и найти связь между этими коэффициентами. Рассмотрим общую теорию процесса переноса в газах, прибегая к простейшей схеме движения н столкновения молекул.