Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (Радушкевич Л.В. Курс статистической физики.djvu), страница 10

Температура здесь получает механическое истолкование и может считаться мерой кинетической энергии молекул газа. Термодинамический параметр Т получается из усреднения кинетической энергии множества движущихся молекул газа. Мы увидим, что произведение 6= йТ входит во все важнейшие формулы статистической физики. Для одного моля газа кинетическая энергия поступательного движения молекул равна, очевидно, Е=~~ е= 2 йТ ° 7о7о= 2 'чТ.

(1,32) б б. Вывод гиэовык законов из молекулярной статистики 49 Эта величина при обычных не слишком высоких абсолют. ных температурах составляет по порядку несколько сотен калорий. вест 1) Скорости молекул. Так как е= —, то из (1,31) следует, что (1,33) или (1,33') где М вЂ” молекулярный вес газа, так как М=лт ° гто. Из (1,33') видно, что скорости молекул газа при обычной температуре весьма велики и составляют в среднем несколько сот метров в секунду. Сравнивая выражение (1,33) с формулой (1,20), находим: (1,34) а отсюда получаем значения наивероятнейшей и средней скоростей: / 2АТ (1,35) с=2)/ —. 11,36) где 1 е = ~итси.

4 Л. В. Рактшкегич Необходимо заметить, что формула (1,33') проверена экспериментально, чем и подтверждается справедливость сделанных допущений при выводе основных соотношений кинетической теории газов. Вводя значение сс из (1,34) и формулу маковелловского распределения скоростей молекул (1,11), получаем: з иг / г те' с(л,=4т — с- ' с'с(с=4т'~/ — с ю с'с(с. (1,37) )l и зиаг Отсюда следует закон распределения кинетических энергий молекул газа: г 2т -е ~ г ~г (1,38) оо Глава 1.

Кинетическая теория газов В формуле (1,38) кинетическая энергия отдельных молекул представлена в долях 8=йТ. Но из (1,35) следует, что наине. роятнейшая кинетическая энергия равна: нгс 2 е„= — '= аТ. (1,39) Поэтому из (1,38) получаем закон распределения кинетичее ской энергии молекул: 1 аЪ = — в-з ° ребр е у- ' в где е В=— еи Формулы (1,37) и (1,38) являются ценными, так как содержат важное произведение 8=йТ, и они будут далее встречаться в статистике. и) Число ударов молекул о стенку.

Вводя в полученные ранее формулы (1,22) или (1,23) соответствующие значения скоростей из (1,35) или (1,36), находим выражение для числа ди ударов молекул — „за 1 свк, отнесенное к 1 смз: ла Г~т l йт аг К 2иж ~ 2иМ (1,41) Но так как 81е' 1г=тР, то р= — 1тТ= ч ° йТ. Же Следовательно, Р "= аТ Тогда из (1,41) получаем: ая р (и )12ит мт (1 42) Из этой формулы видно, что число ударов молекул составляет величину порядка 10те — 10'з, т.

е. оно весьма велико, Для 1г молей газа уравнение Клапейрона имеет внд: р)Г=„КТ. р 7. Точная теория молекулярных столкновений 5 7». Точная теория молекулярных втоякноввний. Интегре-днфференцнапьнвв уравнение Бояьцмана' Выводы, рассмотренные в предыдуших параграфах, весьма наглядно и просто описывают различные свойства газов, однако эти рассуждения не являются вполне строгими и к тому же относятся только к состоянию теплового равновесия газа, которое вводится как обязательное условие прн всех таких рассуждениях и связано с принятием гипотезы элементарного беспорядка. Более точная теория была разработана Больцманом (!866 †18). В законченном виде она изложена в его знаменитых «Лекциях по теории газов» (1896 †18).

В основе этих теоретических построений лежит так называемое основное интегро-дифференциальное уравнение, с помощью которого удалось решить ряд весьма общих задач теории газов н которое до настоящего времени продолжает играть важную роль в этой теории, находя себе применение при изучении свойств газовых смесей и при решении других вопросов физики газового состояния. В точной кинетической теории газов движение и соударения молекул рассматриваются более детально, но при этом, как и раньше, молекулы мы должны себе представить как твердые упругие шары. При выводе уравнения Больцмана мы снимаем введенное ранее ограничение о тепловом равновесии газа и будем рассматривать состояние, при котором имеется то или иное неупорядоченное молекулярное движение.

Вывод, данный самим Больцманом, является громоздким, так как уравнение представлено в координатной форме. Проще выражение посредством векторов, и мы воспользуемся этим методом, сохраняя, однако, последовательность рассуждений Больцмана. Для удобства весь вывод проведем в несколько отдельных этапов. 1) Рассмотрим газ, состоящий из одинаковых молекул, и пусть число их и отнесено к единице объема этого газа. Так как молекулы движутся, то вообще и является величиной переменной, т. е. зависит от времени и от места, выбранного в газе.

Положение каждой молекулы в пространстве можно характеризовать тремя пространственными координатами х, у, г, которые образуют радиус-вектор г; его величину и направление, как обычно, можно представить как г=г(х, у, г). Таким образом, число молекул т в единице объема газа можно выразить как т=т'(г, 1). ' Материал в параграфах со звездочками является дополнительным и может быть выпупген прн первом изучении курса. Гя а в а д Кинетическая теоРия газов Представим себе элементарный объем параллелепипеда с реб- рами г1х, ггу, дх в газе, равный: Нт=Нх г(у ~й. Если ч представляет собой число молекул в единице объема, имеющее характер плотности, то, очевидно, число молекул в выделенном элементарном объеме есть: (1АЗ) ~4ч = ч (г,1) ° ест.

Скорости молекул вообще различны и изменяются со временем. Вектор скорости ч обладает компонентами и, о, то, т. е. ч=ч(и, о, то). Задавая некоторые интервалы компонент г(и, г(о, г(то, можно представить элементарный параллелепипед с объемом: соответственно взятым скоростям молекул, причем мы можем представить его как элемент объема в пространстве скоростей. Найдем, сколько из молекул 0ч, определяемых условием (1,43), имеют компоненты скоростей в указанном интервале г(го.

Доля числа молекул от общего их числа по условию (1,43) является функцией координат и скоростей, пропорциональна времени и, кроме того, зависит от интервала компонент скоростей, т. е. от величины Ыго, пропорциональна ей следовательно, эта доля есть функция: 1'(г, ч, 1)йо.

Число молекул г(ч» удовлетворяющих условию (1,43) и тре. бованию в отношении скоростей, есть, очевидно, ич1=ч(г, г) .1(г, ч, г)итегго=ч) ггтегго. (1,44) Справа мы пользуемся сокращенным обозначением функции ч), которая является далее искомой функцией. 2) Для общности выводов допустим, что газ находится в поле внешних сил, например в поле силы тяжести. Тогда на каждую молекулу действует некоторая сила Г, которая является функцией пространственных координат, т. е. радиуса вектора: Г Р(г). й 7. Тренин теорие молекуллрньис столкновений Вектор ускорения Л, сообщаемого молекуле газа, зависит от составлЯющих его компонент )ь 1з, )е, пРичем, согласно законам механики, 1 Р= 1(А Б л'з) где составляющие ускорения зависят от г. Рассмотрим сначала малый промежуток времени, когда можно пренебречь столкновениями молекул друг с другом.

Тогда за этот промежуток времени с(1 координаты и скорости молекул изменятся за счет движения молекул и действия сил поля. Именно координата получит приращение ч ° Ж, а скорость изменится иа д с(й Координата г спустя с(1 перейдет в г+тй1, а скорость ч спустя Ш перейдет в ч+лс(й Число молекул йте, удовлетворяющее новым условиям, будет спустя с(Г равно по аналогии: с(те=я ° 1е(г+чЖ, ч+д Ж, Г+г11)гллтгллгв.

(1,45) Но это все те же избранные ранее молекуль1 аЪь которые изменили свое положение в пространстве и скорости, и, значит, с(тт=с(ть 3) Разлагаем тг в формуле (1,45) в ряд Тэйлора по известной формуле, которая для двух независимых переменных имеет вид: )(~+ ' ~+ ) ~(~' и)+ д$ + дй + В разложении мы можем ограничиваться лишьпервыми степенями приращений. Тогда послеприравнивания1Ь1 сЬеимеем: ч' ° птс1со= (ч~+ — ссг+ д ч пг+ д )пГ) 1гтйо. де) ди( де( После сокращений и раскрытия скобок имеем: — с(т село = — ~ — „ч + — „1) с(т сйо.

де) l дн) де) дг 1 дг де Физический смысл этой формулы весьма прост. Левая часть уравнения представляет собой изменение в единицу времени числа молекул, удовлетворяющих условиям (1,43) и (1,44). Правая часть показывает, что это изменение происходит по двум причинам: а) вследствие движения молекул; в самом деле, часть молекул, первоначально входящая в объем с(т, может выйгн нэ Глава 1. Кинетическая теория газов него благодаря перемещению молекул. Следовательно, первое слагаемое в скобках правой части представляет собой перевес числа молекул, относящихся к группе (1,43,44), над их числом, выходящим из й; Ь) вследствие действия сил внешнего поля; некоторая часть молекул из входящих в группу (1,43,44) может выйти из объема с(т из-за изменения компонентов скоростей. Поэтому второй член в скобках правой части означает перевес числа молекул, относящихся к группе (1,43,44), над числом их, вышедших из этой группы под действием сил поля.

4) Учтем теперь столкновения молекул друг с другом. От столкновения одной молекулы выделенной нами группы с другой какой-нибудь молекулой число молекул этой группы уменьшится на единицу, так как скорость изменится скачком и молекула не подойдет после этого под условие (1,44). Пусть за единицу времени число таких столкновений в данной группе будет равно ас(тс(со. Однако в то же время в объеме Ыт происходят и такие столкновения, при которых молекулы, ранее не входившие в нашу группу, будут входить в нее. В результате таких соударений число молекул выделенной нами группы (1,43, 44) будет увеличиваться. Пусть за единицу времени таких молекул.

имеется Ытасв. Очевидно, изменение числа молекул нашей группы за счет столкновений за единицу времени равно (Ь вЂ” а)с(Ысо, что мы представили ввиде прибыли числа молекул. В итоге выведенное выше уравнение теперь примет вид: — с(тс(ы= — ( — тчг+ —,„3) Нс) +(Ь вЂ” )г(тс1 .

дч) 1 дч1 дч( дг 1 дт дч 5) Рассмотрим в объеме Нт сначала две молекулы. Пусть одна из них а имеет скорости в интервалах с1и, Но, Нта, т. е. принадлежит к нашей группе, другая же Ь, хотя и лежит в том Ао удара После удара Рис. 6. й 7. Точная теория молекулярная столкновений до Чооро Рнс. 7. же объеме с(т, но имеет скорости иь оь итт с интервалами сеиь дп„с(тр„и, следовательно, первая в пространстве скоростей лежит в объеме пео, вторая в с(тоь Число молекул а-группы равно тТ(г,ч) с(тЫео=т~ЫЫто.

Число молекул Ь-группы равно тт (г, чт) е(татот=тате(тс(тоь Пусть молекула а сталкивается с молекулой Ь, причем столкновение является упругим. В теории упругого удара шаров различают частный случай прямого удара, когда скорости обоих шаров лежат на линии, соединяющей центры шаров, и общий случай косого удара, когда при столкновении скорости шаров не лежат на линии, соединяющей центры. В первом случае, как известно, шары обмениваются скоростями (рис. 6), т. е. после удара шар а имеет скорость шара Ь.