Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 8

Однако математически проще применение функций (3.22). Разработаны такие способы их использование в квантовой механике, которые позволяют избежать ошибок и обойти возникающие математические трудности. В частности, применяются специальные условия нормировки.

Один нз возможных методов описан ниже, другой указан в формуле (7.2). П р н м е р 3.2. Вычисление плотности потока вероятности. Вычислим с помощью формул (3.22) и (3.(5) плотность потока вероятности для свободной частицы; !'= — ! СР ига б (йВ(= — ! С('= — ! С('. (3.23) Постоянную С подберем так, чтобы значение ! было равно числу частиц, пересекающих за единицу времени единичную площадку, перпендикулярную вектору А. Плотность потока равна пй, где й — скорость, а и — концентрация частиц. Полагая )=по, имеем (С!'=и.

2 4. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 4.1. Состояния с неопределенным значением импульса. Волновая функция (3.21) описывает состояния свободно движущейся 3! частицы, в которых не имеют определенных значений координаты частицы. Существуют состояния, в которых нет определенных значений других физических величин, например импульса нли его отдельных проекций, энергии, момента импульса и т.

д. Сейчас речь пойдет об импульсе частицы. К изучению состояний с неопределенным значением импульса проще всего подойти на основе принципа суперпозиции. — 'гу Волновая функция гр=Се" описывает состояние с заданным значением импульса р.

Для упрощения следующих выкладок на! яею правим ось Ох параллельно вектору р. Функция гр=Се описывает движение с импульсом, направленным по оси Ох, при знаке плюс, и с импульсом, направленным против оси Ок, при знаке минус в показателе экспоненты. Волновая функция — Р ° -т Юх Ч> (х) = С,е" + Сте" (4.) ) по принципу суперпозиции состояний также соотвегствуег некоторому реально осуществимому состоянию частицы. Для этого состояния характерно, что изучаемому микрообъекту уже нельзя приписать определенного значения импульса. В соответствии с принципом суперпозиции в состоянии (4.!) при измерении импульса получаются два конкретных значения: р~ и рз. Причем число случаев, когда наблюдается импульс рь относится к числу случаев, когда наблюдается импульс рз, как (С~(т к (Ст(~.

Полученные результаты имеют общий характер, т. е. н другие величины в некоторых состояниях не имеют определенных значений. Далее после изучения математического аппарата квантовой механики будет видно, что существуют методы, которые позволяют предсказать, какие значения некоторой физической величины н с какой вероятностью наблюдаются на опыте прн заданном состоянии микрочастицы. Большие трудности возникают в связи с попытками дать наглядное физическое толкование функциям типа (4.1). Если представить частицу в виде корпускулы, то непонятна, как может она двигаться в одном состоянии с импульсом р, и с им. пульсом рь И волновые представления тоже не сразу проясняют ситуацию; матеиальное волновое поле всегда имеет вполне определенный суммарный импульс. аглядное толкование возможно, если в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией (4л), находится много частиц.

тогда два слагаемых в выражении (4.)) сопоставляются двум разным потокам частиц. Нужно пряники)ть к тому, что квантовым объектам нельзя в общем случае сопоставить наглядмые представления. Причина, как уже говорилось, в следующем: любые наглядные образы имеют макроскопнческий кзассический характер. Их применение в микромире ограничено. И если мы хотим их использовать, то необходимо знать границы применимости классических представлений. 4.2. Волновой пакет. Мы видели, что с помощью функции состояния для частицы во всех случаях нельзя указать однозначно ее положение в пространстве. Пример со свободной частицей показывает, что при определенном импульсе координата частицы может быть вообще любой.

Поставим сейчас задачу по отысканию волновой функции такого состояния частицы, в котором и координата, и импульс ее находились бы в возможно более узких интервалах— иными словами, приближались бы к некоторым определенным значениям. Для этого найдем такую функцию состояния, которая была бы отлична от нуля в малой области пространства. Для простоты будем рассматривать состояния частицы, движущейся вдоль оси Ох.

Искомую функцию можно получить, составив линейную супер- позицию волновых функций (3.22), отвечающих состояниям с определенными импульсами. Для одномерного движения с импульсом р и энергией Е(р) волновая функция имеет вид — (р» — е (и ч фр(х, ()=Сре" (4.2) Возьмем набор функций (4.2) с импульсом, изменяющимся непрерывно в интервале от ро — бр до ро+ Лр. Их линейная комбинация записывается в виде интеграла: ф (х, () = ~ С (р)е " йр. (4.3) р.— ор Такое волновое поле часто называют группой волн или волновым пакетом. Исследуем вид функции состояния (4.3), для чего произведем приближенное вычисление интеграла в формуле (4.3).

Если интервал Лр достаточно мал, то можно считать С (р) С (ро)= Со (4.4) и Е(Р)=Е(ро)+(~ )о(Р— Ро)=Ео+ооть (45) где Ч=Р— Ро, ((о=( — ), Ео=Е(ро). г «(е'» (4.6) (, е(«)о' После подстановки выражений (4.4) ... (4.6) в соотношение (4.3) получаем — (р» — е ч — (»-«( ф(х, Г)жСое" ~ е" ((т(. — ор В последней формуле берется интеграл от экспоненты: ор — '„(» — «е( ч (» — «н(ор — — „(» — «о(ор е" ((т(= [е" — е ((» — ом) 2а л = — з(п — Е (х — еоГ).

х — о«( Л Тогда 2 зв»«« оо( зз -з -г -~ о ( г з Рис. 4.|. лр о|п — (х — ио|) ор (х, |)ж2СоЛр " е" лр — (х — ио|) а Нас интересует, где находится частица. Плотность вероятности для координаты х определяется формулой в (х) =! ф)о=4Со о(Лр)" — '",", где а = — х-(х — по(). л я График функции 1= — "",~ дан на рисунке 4.!. Эта функция заметно отличается от нуля лишь в интервале от — и до и. Вне указанного отрезка ее значения могут быть приравнены нулю. Поэтому частица с подавляющей вероятностью обнаруживается на участке оси Ох между точками х| и хь Границы участка находятся из ра- венств п=(хо — ио() — р, — п=(х| — ио() — р.

л л л' а Отсюда определяется длина участка: Лх=хо — х| = —. 2па лр (4.7) 34 Итак, волновой пакет вследствие интерференции отдельных составляющих группы волн оказывается сосредоточенным в области пространства протяженностью Лх. Он не стоит на месте. Точке с максимальной интенсивностью волнового поля соответствует значение а=О. Ее координата х изменяется по закону х= иод Это означает, что центр пакета равномерно перемещается вдоль оси Ох со скоростью по. Параметр ио называется групповой скоростью.

Это скорость движения волнового пакета как единого целого. Для нерелятнвнстскнх частиц Е=д — н о0=~-, т. е. совпадает со ско2т т' ростью движения классической частицы (с импульсом р0). Сказанное позволяет сделать вывод о допустимости рассмотрения мнкрочастнцы как материальной точки, если коорднната ее определяется с точностью до Лх, а импульс — с точностью до Лр (но н прн таких условиях корпускулярные представления не вполне адекватны действительности — см.

$4, п. 3). 4.3. Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Границы пакета можно считать более широкими, нежели это указано в выражении (4.7). Если учесть дополнительные максимумы функции ! (а), то для граничных точек имеем неравенства а~)л, а~( — л, илн Тогда ЛхЛр)2пй. Если проанализировать трехмерное движение частицы, то полу- чим трн неравенства: ЛхЛр, ) 2пй, ЛпЛр„' »2пй, ЛгЛр,)2пй. (4.8) 35 Этн выражения носят название соотношений неопределенностей для координат н импульса, нлн неравенств Гейзенберга.

Впервые неравенства (4.8) были получены Гейзенбергом в Г927 г:, онн сыгралн исключительно важную роль в интерпретации выводов квантовой механики. (В ней математический аппарат сложился ранее понимания физической сущности явлений.) Физнческнй смысл соотношений неопределенностей Гейзеиберга состоит в том, что этн неравенства указывают пределы применимостн классических представлений о мнкрочастнцах как о материальных точках, движущихся по определенной траектории н имеющих в каждый момент времени определенные значения координат, определенные величину н направление вектора импульса (илн скорости).

Неравенства (4.8) указывают, что в природе не существует таких состояний мнкрообъектов, в которых имелись бы одновременно точные значения координат н вектора импульса. Чем точнее задается положение частицы, тем более широкий набор импульсов должен быть в группе монохроматнческих волн, составляющих ее ф-функцню. Если Лх — О, то Лр. — ао, Следовательно, исчезают основания для утверждения о том, что импульс частнцы определен, нбо он может оказаться любым числом.