Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 5

Тот н другой подход не позволяет объяснять все стороны явления с единой точки зрення. Класснческне представления в лучшем случае имеют ограниченную прнменнмость, позволяя в более нлн менее наглядной форме описать некоторые деталн опытов. Но зто не означает, что от нях следует отказаться полностью. Мы уже познакомились с еднной вероятностно-статистической трактовкой волнового поля мнкрочастнц.

Для описания поведения минрочастнц в квантовой механнне выработаны спецнальные математнческне средства, подробно иэучающнесн далее. Онн имеют абстрактный характер н часто лншены наглядности, Между тем человеческое мышление образное, н предмет размышлений счнтаегся понятым тогда, когда мы сумеем его представить в достаточно наглядных понятиях н образах. Наглядными же мы считаем те представления, которые привычны нам с детства.

Все онн имеют корня в окружающем нас мире макроскопнческнх тел. Свойства н движение последних описывает классическая фнзнка. Дуализм корпускулярноволновых свойств н соответствуюшая ему вероятностно-статистическая трактовка волн мнкрочастяц классической наглядностью не обладают. И самое главное здесь заключается в том, что в моделн мнкрочастнцы как точечного объекта утеряно основное свойство материальной точки — двнженне по определенной траекторнн. В модели же класснческой волны, ярнменяемой к мнкрочастнце, вместо непрерывного распределення материи в пространстве нмеет место ее локализация в точечном объекте — мякрочастнце. По этой причине нн модель материальной точки, нн модель волны материальной среды полностью к мннрочастяце непрнменнмы. В поведении микро- объектов всегда есть две стороны; корпускулярная н волновая.

В одной ситуации поведение частнцы сходно с движением нлн взаимодействием классической корпускулы, в другой — с процессом распространенна воли нлн с картиной стационарного пола. На передний план могут выступать нлн корпускулярные, нли волновые свойства. Взятые в диалектическом единстве корпускулярные н волновые свойства частнц дополняют друг друга, давая в совокупности полное представление о поведении мнкрочастнцы.

В этом с<ктонт один нз аспектов выдвинутого Н. Бором принципа дополннтельностн. !8 В квантовой механнке необходимый сннтез корпускулярных н волновых представлений достигается через нспользованве понятня о волновой функции. 2.3. Волновая функция (функция состояния). После знакомства с корпускулярными и волновыми свойствами микрочастиц ясно, что для описания механического состояния микрочастицы непригодны те методы, которые используются в классической физике. В квантовой механике нужно применять для описания состояния новые специфические средства. Важнейшим из них является понятие о волновой функции, или функции состояния (она называется также т(ьфункцией).

Функция состояния есть математический образ того волнового поля, которое следует связывать с каждой частицей. Например, согласно гипотезе де Бройля со свободной частицей связывается плоская монохроматическая волна (см. формулу (!.15)). В общем случае это поле может иметь весьма сложный вид, и оно изменяется с течением времени. Волновая функция зависит от параметров микрочастицы и от тех физических условий, в которых последняя находится. Далее мы увидим, что через волновую функцию достигается наиболее полное описание механического состояния микрообъекта, какое только возможно в микромире. Зная волновую функцию, можно предсказать, какие значения всех измеряемых величин будут наблюдаться на опыте и с какой вероятностью.

Функция состояния несет всю информацию о движении и квантовых свойствах частиц, поэтому говорят о задании с ее помощью квантового состояния. Сейчас начнем с важнейшего вопроса о том, как задается в квантовой механике положение частицы в пространстве. Пусть тр (х, у, г, 1) — известнаи волновая функция.

Тогда вероятность обнаружения частицы в момент времени у в элементарном объеме Н)г около точки с координатами х, у, г определяетсл формулой д)т'= ~ту|~с()г (2.1) При этом частица представляется в виде точки, в которой сосредоточены ее масса, импульс и энергия, Из уравнения (2.1) следует (2.2) Квадрат модуля волновой функции есть плотность вероятности для местонахождения частицы (поэтому тр-функцию называют также амплитудой вероятности). В определениях (2.1) и (2.2) и заключен физический смысл функции состояния, ибо посредством измерений можно найти только величины дФ' и тп.

Функция состояния тр(х, у, г, 1) является комплексной: квадрат !9 ее модуля выражается формулой )ф1'=ф'ф, где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Комплексная функция всегда может быть представлена в виде ф=й (х, у, г, 1) е' '* " ' ". (2.3) Здесь й (х, у, г, 1) — модуль функции, а е" и ' ' о называется фазовым множителем.

Из формул (2.1) н (2.3) следует, что волновая функция определена неоднозначно, а с точностью до произвольного фазового множителя. Действительно, умножение функции на экспоненту еч' изменяет фазу комплексной функции ф (х, у, г, 1), но не ее модуль, что не приводит к изменению измеряемой величины ю. Указанную особенность функции состояния не следует рассматривать как недостаток теории. Всегда нужно помнить, что волновая функция есть математический объект. Ее даже нельзя найти экспериментально прямым измерением. Непосредственно измеримой характеристикой является величина 1ф1~, а она задана однозначно.

Произвол в фазовом множителе не приводит ни к каким наблюдаемым эффектам и поэтому является физически несущественным. (Здесь мы говорим только о положении микрочастицы в пространстве.) В соответствии с определением (2.1) можно по известной ф-функции рассчитать вероятность обнаружения частицы в любом конечном объеме У. Для этого следует разбить конечный объем на малые элементарные объемы Нг', найти для них вероятности дФ' и по теореме о сложении вероятностей несовместимых событий сложить их: )Р„=~ 1ф~'ар. (2.4) Формула (2.4) вместе с формулой (2.2) лежит в основе реальных измерений вероятности. Однако мы не отметили еще одно необходимое свойство ф-функции. Если провести интегрирование в формуле (2.4) по всему пространству (или по тому объему, в котором нахождение частицы — достоверный факт), то интеграл должен быть равен единице, ибо обнаружение частицы здесь есть событие достоверное; вероятность его равна единице: ~ 1ф1'й$~=1 (2.5) Равенство (2.5) называется условием нормировки функции состояния.

Полезно заметить, что в процессе теоретического отыскания ф-функция часто оказывается ненормированной, т. е. интеграл (2.5) равен не единице, а некоторому числу М. В таком случае легко находится нормированная функция: ф-функция снабжается необходимым коэффициентом— 1 ч'Ю Определения (2.! ), (2.2), формула (2.4) и условие (2.5) отражают вероятностно-статистический смысл волновой функции. В связи с физическим толкованием возникают ограничения, накладываемые на чр-функцию: она должна быть однозначной, непрерывной н квадратнчно-ннтегрнруемой функцией.

Последнее требование означает ограниченность интеграла ~ (чр!'гг)г, взятого по всему пространству: без этого нельзя добиться выполнения равенства (2.5). По этой же причине на ф-функцию обычно накладывают условие ограннченностн: )ф! = со, Во многих случаях ограниченность означает, что !пп )3Р! =О, причем (ф! достаточно быстро затухает на бесконечности. П р н м е р 2.1. Квадратнчно-ннтегрнруемая функцня на конечном промежугке. лх Рассмотрим функцию э=С Мп —, заданную на отрезке (О, а) осн Ох.

Вычислен ння показывают, что С Мп — а'х= — С, лх а а 2 г т. е. это ограниченная величина. П р н и е р 2.2. Квадратнчно-ннтегрнруемая функция на бесконечном нромевгугке. г Задана функция э=Се ", где С н а — константы, а г.— модуль раднусвектора точки пространства. В этом случае Се а'г = — С'. 4 П р ям ер 2.3. Нармнровка функцва. Условие нормнровкн С Мп — ах=! г лх а о /2 в прнмере (2.1) прнводнт к равенству С= )/ —. Теперь функцня 3/ а /2 лх ф= 3/ — зев а а нормнрована на единицу.

Аналогнчно для прнмера 2.2 находим 2 377 2 о= — е 3!2 П р н м е р 2.4. Использованне плотности вероятностн для оценки размеров атома. Завнснмость плотности вероятности местоположекяя электрона от расстояння до ядра в атоме водорода выражается формулой 21 Яа Рис !.4 х 2 м(г)= — е 'г'. з)х и Ход кривой показан на рисунке 1.4. Из графика видно, что наибольшая вероятность соответствует расстоянию электрона до ядра: г=а=0,5 10 "и. Имеется отличная от нуля вероятность обнаружить электрон и на больших расстояниях. Это значит, что резкой границы у атома нег, но вероитность обнаружения быстро сяадаег по мере роста г при г)а. Чтобы определить вероятность нахождения электрона в сфере, ограниченной радиусом 2а, необходимо определить плошадь заштрихованной части графика до точки г=2а н найти ее отношение ко всей плошади под кривой м(г).

Приблизительна получается 0,7. Обсудим смысл этой величины. Для применения статистики нужна взять много атомов, находящихся в одном н том же состоянии, например 10з атомов. В этом случае наблюдается определенная законамерностгс в 0,7 10'атомов в указанном объеме электроны обнаруживаютси, а в остальных О,З 10' атомов электроны обнаруживаются вне этого объема. В результате относительная погрешность предсказании тем меньше, чем больше берегся атомов.

Если же взят один атом нли их небольшое число, то задание вероятности не позволяет однозначно указать, находится электрон в заданном объеме нли нег. Существует также наглидная временная трактовка рассмотренного выше распределения вероятности для одного атома: электрон из какого-нибудь промежутка времени 1 (достаточно большого по сравнению с некоторым характерным временем — «периодом обращения» вокруг ядра) проводит 0,71 внутри указанного объема, а 0,31 — вне его. Таким образом, размеры атома оцениваются по размерам его электронного облака — области пространства с заметно отличной от нули вероятностью обнаружения электрона. В ряде случаев оказывается возможным прн взаимодействии электронов считать их заряды непрерывно распределенными по облаку с плотностью: р= — ею, где — е — электрический заряд электрона.