Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 11

То же относится и к измерению: чем точнее определяется координата, тем меньше область локализации микрочастицы, больше взаимодействие и соответственно больше неопределенность, вносимая измерительным прибором. В заключение вопроса о соотношениях неопределенностей (4.8) и (4.10) сделаем последнее важное замечание. Величины Лх и Лр„ в неравенствах (4.8) имеют смысл интервалов, в которые попадают значения координаты н импульса прн повторных многократных измерениях, проводимых над множеством независимых тождественных частиц, находящихся в одном н том же квантовом состоянии.

Строго установить границы интервалов нельзя: они всегда условны. Выпадение того нли иного значения физической величины— это событие случайное. В теории вероятностей разброс значений случайной величины обычно характеризуют среднеквадратичным отклонением. По определению бх = у(х — х)', бр„= 1у (р, — р,)', где чертой обозначены средние значения. В квантовой механике выводится формула бхбр, > —, представляющая собой иную форму записи неравенств (4.8). Вывод разобран в задаче 22 к главе 111.

Соответственно неравенство (4.!О) нужно заменить соотношением 6Е(э!» )— х (имеется в виду, что ЬЕ=ЬЕ, гэг=бг). Наконец, если важен только порядок величины неопределенностей Лх н Лр„, ЛЕ н ЛГ, то пишут просто ЛхЛР, Ь, ЛЕЛ! 6. Методические указания я рекомендации !.

Первая и вторая главы курса являются пропедевтическими. В первой главе вводятся на элементарном уровне квантово-механические понятия и законы, а во второй онн применяются к решению простейших задач. Математический аппарат излагается в третьей главе, после чего возникает возможность решения основных задач н систематического изложения курса. Такая структура диктуется трудностями, которые встречают неподготовленные слушатели, если лекции начинаются с изложения абстрактного математического формализма квантовой механики.

Прн принятом построении удается иллюстрировать математический аппарат на разобранных ранее простых задачах. Однако прн желании лектор может изменить порядок изучения курса. Во всяком случае, материал первой главы должен быть знаком студентам по курсу общей физики; нх внимание нужно сосредоточить на функции состояния, особенно на ее вероятностно-статистической трактовке, а также на уравнении Шредингера н разделении переменных в нем. Для самостоятельного чтения рекомендуются книги [4, 12, 13, 17, 18] нз списка литературы в конце курса, а также можно использовать учебники [2, 3, 8, !О, 21]. По вопросу об измерениях в микромире можно отослать студентов к литературе [2, 9, 17, !8, 19, 21]. И.

Прн изучении материала первой главы читателю полезно ответить на вопросы, выполнить следующие упражнения: — Назовите проблемы, которые не смогла разрешить классическая физика. Укажите теоретические н экспериментальные работы, инициировавшие возникновение квантовой механики. — Обсудите корпускулярно-волновой дуализм мнкрочастнц: почему ни модель «материальная точка», ни модель «плоская волна» неадекватны микрочастице? — Дайте математическое определение волновой функции н назовите ее свойства. Сформулируйте положения, раскрывающие физический смысл волновой функции.

Сформулируйте принцип супер- позиции состояний и примените его к мысленному дифракционному эксперименту. — Запишите уравнение Шредингера для мнкрочастнцы в потенциальном поле и охарактеризуйте его математические особенности и особенности решений. — Обсудите особенности стационарного состояния частицы в потенциальном поле. — Разберитесь в вероятностной трактовке закона сохранения числа частиц. — Запишите функцию состояния свободной частицы через па- раметры Е и р. Сравнивая ее с выражением для плоской волны в параметрах ы н й, получите формулы де Бройля. — Всесторонне обсудите соотношения неопределенностей для координат и проекций импульса. Проанализируйте связь между классической н квантовой механикой, опираясь на волновой пакет н соотношения неопределенностей.

— Укажите, чем отличается толкование соотношения неопределенности энергия-время от толкования неравенств Гейзенберга (4.8). Упражнение 1 1. Вспомните связь энергии н импульса релятивистской частицы. Пользуясь формулой Планка для энергии кванта электромагнитного поля, найдите выражение для импульса фотона.

2, Рассчитайте импульс фотона видимого света (Х=5 !О ' м) и сравните его с импульсом молекулы водорода, взятым прн комнатной температуре (и=! 700 м/с). Ответ р./р =2000. 3. Рассчитайте длину волны де Бройля для электрона, разогнанного разностью потенциалов в 100 В. Ответ. 1=10 "м. 4. Вычислите длину волны де Бройля дробинки массой 1 г при скорости движения 300 м/с. 5. С помощью соотношений неопределенностей оцените порядок величины энергии электрона в атоме водорода.

(Радиус атома принять равным 5 10 '' м.) 6. Оцените порядок величины энергии нуклона в ядре атома (» 10 '5 м) 7. Покажите с помощью соотношений неопределенностей, что электроны не могут входить в состав ядер атомов. 8. Найдите спектр волновых чнсел й дебройлевскнх плоских монохроматнческнх волн, суперпозиция которых образует волновую функцию ~ е'"", — а<х<а, О, 1х1~а Ответ.

р (х) = 5 С (й) Е" (й, С (й)= 5 ф (х) е'" ( = 2а "" '„"" ," . Отсюда ~йа — 51:= —. 9. Найдите с помощью условия квантования (1.12) уровни энергии гармонического осцнллятора. (Так называется частица, двньх' х жущаяся в поле: (/=.~ з ) Гь О т в е т. е„=йып, ы = )/ — . 1О. С помощью полукласснческой теории Бора вычислите энергию ионизация ионов Не+ и (.1++. От в ет.

54 эВ, 122 эВ. 44 11. Найдите с цомошью полуклассической теории Бора уровни энергии и радиусы стационарных орбит электрона в ионе Нео, в системе электрон — позитрон (позитроний) . У к а з а н и е. Воспользуйтесь формулами (1.11) и (1.1! а) . Массу электрона замените приведенной массой системы. 12. Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией вида ф (г, О, ~р) =)т (г) Р (0) е' т, где г, 0 и гр — сферические координаты, а т — квантовое число, принимающее значения О, +-1, -+-2, ... Найдите плотность потока вероятности. У к а з а н и е.

Воспользуйтесь выражением для оператора набла в сферических координатах: д - ! д - ! д с7 =е, — +е — —.+е, о г да го!па дт и формулами (2.3) н (3.15). Ответ. 1= — ~ е, лт !Ф!2 и гно в где р — масса электрона. 13. С помошью условия квантования (1.!2) выведите соотноше- ние (1.!О). У к а з а н и е. Учтите, что при движении частицы в центрально- симметричном поле сохраняется момент импульса. Кроме того, пе- ременные г, 0 и ~р разделяются. 14. Покажите, что частоты линий в спектре атомарного водорода, соответствующие переходам между уровнями энергии с а »1, близки к классическим; ыо=/гыо, й=!, 2, ".

Решение. Классический электрон излучает на частоте обращения о!о и крат- ных ей частотах. В квантовом случае где 1=1, 2, ... Если п»й, то ,ж —,(! — 2 — ) (о+ Ь)о о~ о и о!о= —,"л 2л Ьо' Циклическая частота обращения: о!о= — ". Г Используя условие квантования тог=йп и соотношение г=ап', имеем !о о = — ~, 2!! Ьп' ' что и доказывает предположение. 45 ГЛАВА Н. ПРОСТЕЙШИЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Уравнение Шредингера (3.1) допускает точные решения для некоторых сравнительно простых потенциальных полей. При этом, как правило, рассматриваются весьма идеализированные системы. Тем не менее для овладения основами квантовой механики полезно изучить ряд таких задач, в которых получаются простые аналитические выражения для функций состояния, дающие исчерпывающие сведения о свойствах исследуемой квантовой системы.

На основе таких задач в данной главе мы познакомимся н с некоторыми качественно новыми особенностями поведения микрочастиц, отличаю- шими их от классических корпускул. Рассмотренные ниже случаи важны и потому, что часто используются для моделирования реальных объектов; не повторяя объект во всех деталях, модель отражает его существенные черты, имеющие принципиальное значение. Поэтому такие модели широко применяются в теоретических исследованиях и практических расчетах.

$5. ЗАДАЧИ ИА ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПОТЕИЦИАЛЬИЪ|Е БАРЬЕРЫ 5.1. Финитное н инфннитное движения. Наиболее просты задачи на движение микрочастиц в постоянных полях. Кроме того, на первых порах мы ограничимся одномерным движением. Если потенциальная энергия зависит только от одной координаты х, то изучается зависимость волновой функции только от этой переменной. Такие задачи решаются с помощью стационарного одномерного уравнения Шредингера: -'„4-+ — '-, (Š— и (х)) ф =О. (5.1) Напомним, что зависимость волновых функций от времени в состояниях с определенной энергией имеет универсальный характер и уже была найдена ранее (см.

гл. 1, ф 3); следовательно, ею можно пользоваться и находить один координатный множитель функции состояния т(4 (х). Физический смысл имеют только однозначные, непрерывные и всюду ограниченные по модулю ф-функции — решения уравнения (5.1). Можно показать, что непрерывна также и первая производная— «4«ь ах Из уравнении Шредингера (5.!) следует, что а'«р 2ૠ—.гак= — т. ~ (4У(х) — Е)ччух. ах д Интеграл слева !'нп «-о ах 46 а«р (х+ а) а«р (х — а) равен: — . Теперь очевидно, что (х — а) 1 ! =О, что и доказывает непрерывность. «4х В точках, где (7(х)= оо, функция состояния принимает нулевое значение.

Это становится очевидным, если уравнение (5.1) записать в виде ' "'Ф з, (и(х) — Е) дх2 а~ и принять во внимание, что с бесконечной н положительной потенциальной энергией мы встречаемся в случае действия бесконечно больших сил отталкивания. (Вспомним, например, энергию электростатического взаимодействия двух одноименно заряженных точечных тел.) Если частица не может попасть в точку к,, то вероятность обнаружить ее там равна нулю; следовательно, ф (хо)=0. Рассмотрим график потенциальной энергии на рисунке 5 1. При х= О (7 (0) = оо.