Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 9

И наоборот, если точно определен импульс: Лр„=О, т. е. состояние задано одной волной д 0»* — е.ч де Бройля: ф=С0е", то полностью отсутствует информация о месте нахождения частицы (Лх обращается в бесконечность, так как Лр„равно нулю). Имеется равная вероятность обнаружить частицу в любой точке осн Ох. Из проведенного анализа соотношений (4.8) вытекает важное следствие о принципиальной невозможности точно указать траекторию движения частицы.

Соотношения неопределенностей дают критерий разграничения классической и квантово-механической областей и в то же время указывают на соответствие и взаимные переходы между ними. Если неопределенности для координат и проекций импульса, вытекающие из неравенств Гейзенберга, меньше погрешностей измерения этих величин, то мы воспринимаем объект как точечный и движущийся по некоторой траектории в пространстве. П р и и е р 4.1. Треки микрочастнц в камере Вильсона. Ширина трека порядка !0 ' см.

Если считать Лхяэ(0 ' см, то неопределенность 2пд -в для импульса имеет порядок величины Лрым — янб 1О- кг м/с. Для электрона, Лк движущегося со скоростью, близкой к скорости света, импульс равен: р=т,г= =3.10 " кг м/с. Поскольку Лр.ер импульс можно считать заданным практически точно. Но трек не является траекторией движения микрочастнцы в силу своей размытости. П р н м е р 4.2. Соотношение неопределенностей в классической области. для манроскопическнх тел импульс всегда относительна велик вследствие большой массы. Пылинка массой !О " г, движущаяся со скоростью 1 см/с, имеет импульс 10 " кг м/с. допустим, что мы умеем задавать или измерять импульс с точностью до 6 верных значащих цифр, чта в принципе возможно.

Это значит, что неопределенность импульса Лриз!0 " кг м/с. Иэ неравенств (4.8) следует, что соответствующая неопределенность координаты Лхжб.!0 " и. Ясно, что в этом случае в классической области можно не учитывать квантовые особенности поведения частиц, так как неопределенность координаты х меньше доступной погрешности ее измерения. В случае несущественных па сравнению са значениями р и х неопределенностей Лр и Лх можно в правых частях неравенств (4.8) положить Д=О. Поэтому в классической физике можно говорить о траектории движения, конечном ускорении, плавно меняющейся скорости н т. д. Понятно, что не только макротела, но и микрочастицы могут участвовать в движениях, удовлетворяющих указанному условию (см. пример 4П), В таком случае к иим применима классическая механика.

Но с точки зрения соотношений неопределенностей частица всегда движется не по геометрической линии, а в некоторой трубке, выделенной в пространстве неопределенностями в значениях координат. Внутри трубки точная траектория отсутствует. Итак, соотношения неопределенностей Гейзенберга указывают предел точности для одновременного измерения координаты и соответствующей ей проекции импульса. За этой границей указание точного положения вместе с заданием точного импульса теряет смысл, так как микрочастица по своей природе обеими точно заданными в одном и том же состоянии характеристиками не обладает. Но соотношения (4.8) формально не запрещают точного задания одной из сопряженных величин: импульса или радиус-вектора (координаты к или проекции импульса р,). Заметим, что для точного определения положения частицы имеется еще одно ограничение, вытекающее из наличия связи между энергией и импульсом.

При Лх- О Лр„- а. Но тогда импульс частицы может принимать сколь угодно большие значения — вместе с им- 36 пульсом стремится к бесконечности энергия частицы. Для локализации частицы в какой-нибудь точке пространства требуется сообщить ей бесконечно большую энергию. Отсюда понятно, почему для изучения все более мелких деталей в строении материи необходимо строить все более мощные ускорители. Ведь единственным средством исследований в этой области служит все большее сближение частиц при столкновениях.

Соответственно растут необходимые для этого энергии. Сделаем еще одно замечание. Может показаться, что в волновом пакете достигнут необходимый для наглядности синтез корпускулярных и волновых представлений, так что частице можно сопоставить материальное волновое поле, локализованное в малой области пространства. Но это не так. Если учесть высшие члены в разложении (4.5), то окажется, что с течением времени пакет расширяется, захватывая все большую область пространства. Снова подтверждается квантовое положение о том, что волновая функция описывает состояние частицы, определяет вероятность ее обнаружения в различных точках пространства, но не представляет непосредственно сам объект — микрочастицу. В учебниках, научных и научно-популярных статьях и книгах по физике микромира нередки утверждения о том, что все фундаментальные частицы: электроны, нейтрино, кварки и т, д.— считаются точечными.

Использование такой модели здесь оправдано тем, что при взаимодействии друг с другом (особенно при высоких энергиях) микрочастицы ведут себя так, как если бы их заряд и масса были сосредоточены в одной точке. Согласно квантовой механике использование точечной модели для описания поведения электронов и других частиц согласуется с использованием волновых функций (со всеми вытекающими отсюда последствиями в виде соотношения неопределенностей и т. д.) в рамках вероятностиостатистического толкования ф-функции.

4.4. Соотношения неопределенностей н измерение физических величин. Изучение микромира йривело к переосмыслению значения измерения физических величин. Оказалось, что теорию невозможно построить без учета взаимодействия, в процессе которого получается информация об объекте. Например, теоретическое положение — соотношения неопределенностей — Гейзенберг получил путем анализа процесса измерения координат и импульсов. Рассмотрим детальнее физическую сущность измерения координат микрочастиц, Для определения места расположения частицы нужно ограничить свободу ее перемещения, включив ее в состав системы с известными размерами и положением в пространстве (например, электрон в атоме). Но при этом будет потеряна информация об импульсе микрочастицы.

Можно не прибегать к локализации частицы, а только заставить ее провзаимодействовать с объектом, положение которого известно. Если такой объект — микро- частица с точно заданными координатами, то ее импульс неизвестен. И в этом случае результат взаимодействия не даст однозначной информации об импульсе микрочастнцы.

зг Такая же проблема возникает при измерениях импульса. ДЛя установления значения этой величины необходимо взаимодействие исследуемой частицы с другой, которая находилась в состоянии с определенным импульсом до взаимодействия и перешла в состояние с определенным импульсом после взаимодействия. Такие состояния микрочастиц описываются монохроматическими волнами де Бройля, которые не несут никакой информации о положении частицы, используемой для измерения. Поэтому при измерении импульса нельзя получить сведения о том, где произошло столкновение, т.

е. о координатах изучаемой частицы. Таким образом, наличие волновых свойств у микрочастиц не позволяет провести опыт со взаимодействием частиц так, чтобы получить одновременно информацию о положении частицы и об ее импульсе. Посмотрим, нельзя ли это сделать при помощи макроскопнческих тел. Любое измерение физической величины включает в себя некоторое взаимодействие между измерительным прибором и изучаемым объектом. При этом не только исследуемый предмет воздействует на прибор, изменяя его состояние (за счет чего и становится возможным измерение), но и прибор действует на изучаемый объект, также в какой-то мере изменяя его состояние.

Если в классической физике действие прибора на объект можно сделать несущественно малым или учесть его, а затем исключить из показаний, то в микромире такой учет оказывается невозможным. Возмущение в состоянии объекта нельзя сделать пренебрежимо малым или учесть его точным расчетом. Одна нз обсуждавшихся прн осмыслении квантовой механики многочисленных схем опытов с одновременным измерением коордннаты н соответствующей проекцнн импульса представлена на рисунке 4.2. частица, двнжущаяся вдоль осн Ок, проходит через отверстне в днафрагме н попадает на экран.

В классическом случае взаимодействия частицы с днафрагмой нет нлн оно пренебрежнма мала. Если частнца окажется в точке экрана, лежащей против середины отверстая, то можно утверждать, что в момент прохождения щели проекцня импульса равна: р„=ц для этого же момента нэвестна ее каорднната у с точностью до ширины отверстия а. Шаль можно сделать сколь угодно узкой. Тогда значення велнчнн у н р„ находятся одновременно н со сколь угодно малой погрешностью, Рнс.

4.2, Для квантового объекта взаимодействием с диафрагмой пренебречь нельзя, так как прн узкой шелк возннкаег днфракцнн волн де Брайля. Опыт не позволяет суднть, чем вызвана отклоненне частицы на угол в: тем, что до прохождения отверстая нмелась неравная нулю проекцня импульса р„, нлн тем, что действне прнбора на частицу привела к изменению начального нмпульса, направленного вдоль осн Ох. Возникает неопределенность в нмцульсе, равная Ьрг=р„=р ып ф. Еслн ограничиться углами, лежащими в пределах главного максимума, то можно оценить угол в нз условия а ып т=ь (Эта соотношенне взято нз теории днфракцнн.

Оно определяет навравленне на первый максимум.) 2пй Длнна волны де Бройля находится нз формулы х= —. Поэтому произведение Рг неопределенностей для координаты у н проекции нмпульса р„оказывается равным ар з|п т=2лй, Очевидно, что оно не равно нулю ня прн каких размерах отверстня. Прн а О возрастает точность в измерении координаты. Но чем уже щель, тем шире главный максимум. Поэтому растет неточность в измерении нмяульса.