Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 2

Он удерживается в атоме силой электростатического кулоновского притяжения. По законам классической механики возможны устойчивые связанные состояния такой системы; онн соответствуют движению по замкнутым эллиптическим орбитам. Если исходить из уравнения второго закона Ньютона, то для движущегося электрона получим равенство та,= Г, или ми' хе' (1.1) т г' ! где для сокращения записи введена постоянная х= —.

4лм Движение электрона является ускоренным. Но согласно макроскопической электродинамике всякий ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны (см. ч. П1, $8). Полная мощность излучения определяется формулой (8.15) (см. ч. 1П). Используя равенство (1.1), имеем Яхта з~зми~ю Оценка по известным данным размеров атома и входящих в формулу констант (г 10 " см) дает величину М порядка 10 ' Дж/с.

Это огромная мощность по сравнению с запасом энергии электрона, имеющей величину порядка 10 " Дж. Значит, атом за время, равное около 10 6 с, израсходует всю энергию на излучение, н электрон упадет на ядро. Проблема имеет совершенно общий характер: любая классическая система, состоящая из заряженных частиц, не может находиться в статическом равновесии.

А динамическое равновесие связано с движением частиц в ограниченной области пространства, которое всегда является ускоренным. Ускоренное же движение сопровождается излучением. Отсюда следует вывод о нестабильности вещества, что противоречит общеизвестным фактам: устойчивости и постоянству свойств отдельных атомов и молекул, а также состоящих из них газов, жидкостей и твердых тел. ' Итак, наблюдения показывают, что атомы в невозбужденном состоянии не испускают электромагнитные волны.

Излучение имеет место при переходе атома из возбужденного состояния в его основное состояние. Кроме того, с точки зрения классической механики изменение скорости движения электрона должно приводить к образованию сплошного спектра нли, по крайней мере, к изменению частоты излучения. Но ко времени создания квантовой теории был накоплен огромный материал спектроскопических наблюдений, согласно которым атомы имеют строго определенные и постоянные, специфические для каждого сорта частоты излучения. Например, для водорода все линии спектра описываются эмпирической формулой где Йо — некоторая постоянная, а п и гп принимают значения, равные числам натурального ряда, причем гп)п.

Устойчивость атомов, а также линейчатый характер их спектров (не говоря уже о значениях конкретных частот спектральных линий) с помошью классической механики и классической электродинамики объяснить не удалось. Изучение проблемы строения атома как системы из ядра и электронов, связанных электромагнитными взаимодействиями, стимулировало поиски новых закономерностей движения в микромире, что в конечном счете и привело к созданию современной квантовой теории. 1.2. Обнаружение корпускулярных свойств света.

Впервые теоретические трудности в объяснении взаимодействия света с вешеством возникли еще до обсуждения планетарной модели атома, описанной выше. В конце прошлого века интенсивно исследовалось излучение абсолютно черного тела. Из термодинамических соображений следовало, что распределение интенсивности в спектре теплового излучения абсолютно черного тела не должно зависеть от его строения.

Это позволяло в теоретических исследованиях использовать очень простую модель вещества: реальные атомы и молекулы заменялись системой гармонических осцилляторов, способных излучать и поглощать электромагнитные волны. Расчеты удавалось провести до конца, но согласия с экспериментальными данными не было. Более того, получался физически нелепый результат: бесконечная суммарная интенсивность излучения. Для решения указанной проблемы М. Планк в 1900 г. выдвинул гипотезу о дискретности уровней энергии атомных систем. В частности, если предположить, что энергия осциллятора принимает следующие дискретные значения, квантуется по формуле е=пйм, где п=0, 1, 2, ...; ч — частота колебаний осциллятора, а й — некоторая постоянная, то можно вывести теоретически все известные эмпирические законы излучения черных тел. Современное значение константы: 6=6,626176 10 м Дж с.

Эта фундаментальная константа квантовой физики носит название постоянной Планка. Идея М. Планка была подхвачена А. Эйнштейном. В 1907 г. с ее помощью он сумел объяснить зависимость теплоемкости твердых тел от температуры. Из планковской гипотезы следовало также, что осциллятор поглошает и излучает свет порциями — квантами— величиной йч. Далее представление о кваятах получило более определенный физический смысл. Эйнштейн предположил, что и свободное электромагнитное поле состоит из элементарных частиц (фотонов), энергия и импульс которых определяются формулами Здесь 6== в 1,0545887.10 м Дж с — так называемая приведен2и ная постоянная Планка; ь = 2пт — циклическая частота; й — волно- Ьы! + гпс = Ь032+ ~Т:Ртс'т ' (1.4) Р! =Р~+ эг! — ю /е где о — скорость электрона после столкновения; Р, и Р, — начальный и конечный импульсы фотона; ы! и ы~ — частоты излучения до и после столкновения.

Чтобы получить связь между ы! и ыь необходимо исключить из уравнений (1.4) скорость электрона. С этой целью совершим ряд преобразований. В итоге получаем соотношения — (Ь вЂ” ЬЮ2+ )'= с' У' ! — -р (Р! Р~) = —, ! — р (1.5) Вычитая из первого равенства (1.5) второе, имеем —,(Ьа! — Ьыр+тс ) — (р! — р~)'=т с . (! .6) Пусть  — угол между векторами Р! и Рь Раскроем скобки в равенстве (1.6) и учтем, что йа) ~ аоч Р! = — Рх=— С с вой вектор, модуль которого называется волновым числом (й = — "= с = — ~, по направлению совпадающий с направлением распростра2л ! х(' нения фронта волны.

Квантование электромагнитного поля позволило Эйнштейну в 1905 г. объяснить законы фотоэффекта. (Формулу Эйнштейна для фотоэффекта мы изучаем теперь в средней школе.) Корпускулярные представления о свете скоро получили и другие экспериментальные подтверждения. В 1923 г. А. Комптон и П. Дебай использовали гипотезу о фотонах для объяснения эффекта Комптона (см. ниже). После этих работ гипотеза о квантах света прочно вошла в современную физику и в дальнейшем получила свое теоретическое обоснование в рамках квантовой электродинамики. 1.3. Эффект Комптона. Эффект Комптона состоит в изменении частоты электромагнитных волн при рассеянии их на свободных электронах.

В элементарной теории этого эффекта свет рассматривается как поток частиц. Пусть имеет место столкновение фотона с неподвижным электроном. При соударении фотон теряет часть энергии. При этом изменяются частота волны и направление ее распространения. Электрон приобретает импульс и кинетическую энергию. Применяя законы сохранения энергии и импульса, получаем равенства После простых выкладок находим ы~ — ыс= — ', ' (1 — соз 6). тс' (1.7) Поскольку со= —, формула (1.7) может быть представлена в виде 2лс Хт — !с~ = — (! — соз 6).

2ла мс (1.8) Е.= — —,, сту=йКс. йу (1.9) Если при переходе из одного энергетического состояния в другое испускается (поглощается) квант света с частотой т= — (ń— Е„), 1 то мы приходим к формуле (1.2), т. е. объясняем происхождение линейчатого спектра. Квантование энергии микроскопической системы частиц получило надежное подтверждение и во многих других опытах. Однако само представление о дискретных уровнях энергии находится в глубоком противоречии с классической механикой. По ее законам энергия час- 1О Выражение (1.8) правильно передает изменение длины волны при рассеянии рентгеновского излучения на электроне, обнаруженное А.

Комптоном в опыте в 1922 г. Это убедительное свидетельство корпускулярных свойств света. Действительно, при теоретическом расчете и фотон, и электрон уподоблялись точечным объектам. Если же использовать волновые представления, то нельзя понять, почему импульс и энергия волны сосредоточиваются в одной точке, почему волна взаимодействует только с одним электроном.

Волновая теория — классическая электродинамика — для свободного заряда дает ту же частоту для рассеянных волн, что и для падающих. 1.4. Открытие дискретных уровней энергии атома. Дж. Франк и Г. Герц в 1914 г. изучали столкновения электронов с атомами ртути. Было обнаружено два вида соударений: упругое, без изменения энергии электрона, и неупругое, сопровождающееся потерей строго определенного количества энергии.

Отсюда следовало, что атому сообщается при столкновении всегда одна н та же порция энергии. Этот результат можно истолковать только следующим образом: неупругие столкновения соответствуют переходу между двумя дискретными энергетическими состояниями, энергия атомов изменяется дискретно. Измерение величины передаваемой энергии позволило определить разность между энергией нижнего основного и первого возбужденного состояния.

Для ртути она оказалась равной 4,9 эВ. Затем были обнаружены и более высокие уровни энергии. Дискретность значений энергии атома полностью согласуется с линейчатым характером его спектра. Пусть уровни энергии атома водорода определяются соотношениями Энергия электрона находится из соотношения му чг тл Е= — — = — — —. 2 ~ 2т Подставляя сюда значение радиуса г„, имеем п' (1.1 ! а) что для частоты излучения приводит к формуле (1.2), если Кэ= —. Яу л Далее нетрудно выразить спектроскопическую постоянную )ге в формуле (!.2) через значения физических констант. Хорошее совпадение теоретического результата с экспериментальным ее значением (до 7...8 значащих цифр) явилось триумфом теории Бора и свидетельствовало о правомерности ее постулатов.