Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 15

Квантовые частицы способны проникать в области пространства, недоступные для классических частиц. 6.4. Квазиклассическое приближение. Уравнение Шредингера допускает аналитические решения в сравнительно небольшом числе задач на движение частицы в конкретном поле. В теории развито несколько методов приближенного решения уравнения Шредингера. При изучении одномерного движения в квантовой механике широкое применение получило так называемое квазиклассическое приближение, или метод Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ). Мы познакомимся с его содержанием. (Другой приближенный метод— теория возмущений — изложен в главе Ч.) Запишем одномерное уравнение Шредингера (5.1), обозначая штрихами производныс яо координате х: ф" + ~",' [Š— () (х)1,р =0. Будем искать решение в виде — „5~ ) Ц~ = Се л (6.20) где С вЂ” постоянная величина, а 5 (х) — неизвестная функция, имеющая размерность действия.

Подставляя выражение (6.20) в урав- 62 нение Шредингера, получим новое уравнение для этой вспомогательной функции: (5')'=2т (Š— (Р (х))+й5". (6.20а) Пользуясь формулой для модуля классического импульса р- рг (о — у о*о, вместо уравнения (6.20а) имеем (5 )г „г 1 Ь5кк (6.21) или 2 зо 2 р (6.23) Решая последовательно уравнения системы (6.23), находим искомые функции 5о(х): 5о = ~ ~ р (х) о(х, (6.24) к где хо — произвольная постоянная интегрирования, 51= — '!и р (х) и т.' д.

2 (6.25) Ограничимся первым (по степени Ь) приближением. Оборванный на втором члене ряд (6.22) с помощью выражений (6.24) и (6.25) дает бз Пока что никаких допущений о замене точных выражений на приближенные не делалось, поэтому уравнение (6.21) эквивалентно исходному уравнению. Далее представим искомую функцию 5 (х) в виде ряда 5(х)=50 (х)+Ь51(х)+Ь'5г(х)+"-, (6.22) где 5о (х), 5~ (х), 5г(х), — неизвестные функции, которые следует определить. Постоянную Планка Ь считаем малым параметром, по которому выполнено разложение, т.

е. второе слагаемое в разложе- нии (6.22) имеет первый порядок малости, третье — второй и т. д.- В классическом случае можно считать Ь =О, в чисто квантовом Ь имеет тот же порядок, что и величина рассматриваемого в задачах действия 5. В промежуточном случае Ь за нуль принимать нельзя, но малой величиной считать можно. Отсюда и название — ква- зиклассическое приближение. Подставим разложение (6.22) в уравнение (6.21): (5о)'+2ЬЫЯ+Ь (Я)'+ 2Ь'5оЯ+ "= р'+й5о'+ й'Я'+ ... Приравнивая члены одинакового порядка малости в левой и пра- вой частях этого равенства, получаем систему дифференциальных уравнений для нахождения 5о(х): (5о)'=р', 25оЯ =15о', (5()'+25оЯ= 151', 5 (х) = ~~ р (х) г(х +г' й (и р (х), а формула (6.20) — искомое приближенное решение уравнения Шре- дингера: Я-Г 1 р (х~ Лх — — ! и р 1х) 1 ей=Се " е или д.к1 р1х)Ш зр= — е (Р Найдено два частных решения. Из них можно построить общее: -~- ( р О) ш †.~- ( р О1 д зр= — 'е *' + — 'е ЗГР УР (6.26) Границы прнменнмостн квазнкласснческого прнблнження определяются нз уравнення (6.2!).

Необходнмо, чтобы 15" 1 й-сбт- «1. Зто зквнвалентно неравенству Полагая 5'=р, имеем Находим пронзводную от р(х): ер(х) д. --- = — — = — Р, т гГГ1 т — = — '~2тт(Š— Гl(х)) р Ех Р ех Ех где Р— классическая сила, действующая на частицу. В итоге условяе пряменнмостн метода сводится к неравенству тй (Р) «1 Р' нз которого ванно, что импульс частицы не должен быть слишком малым. П р н м е р 6.1. Прнмененне метода ВКБ к свободной частнце. Для частицы, двнжущейся в отсугствне снл, (1(х)=0 н Р=р.

— постоянные велнчнны. Поэтому выражение (6.26) приводит к волновой функции г г гр=А~ех +Ате Значительный практический интерес представляют задачи на финитное движение частиц. В этом случае силовое поле задаегся Зто две плоские волны, движущиеся по осн Ох навстречу друг другу, уже известные нам по точному решенню задачи (3.21). Таким образом, в данном случае метод ВКБ дает точное решение. к э ( — „~ Р"х+ 4)+( д ) рг(зг+ — н)=(п+1) зт, п=О,1,2, " а з Кроме того, следует положить А =( — 1)" В.

Итак, ь ~ рг(х=пд (и+ — ), а=О, 1, 2, . э (6.28) Финитное движение частицы в классическом случае происходит по отрезку прямой от точки а к Ь и обратно. Условие квантования (6.28) целесообразно поэтому записать для полного цикла движения, распространяя интегрирование на интервал от а до Ь и обратно от Ь до а. С учетом знака р как проекции импульса на ось Ох ь э ь ) рц(х+) ( — р) 61х = 2 $ рг(х.

а ь и Далее удобно перейти к фазовому пространству с координатами р и х (см. ч. 1, $ 25, п. 2). В нем условие квантования выразится формулой ф рс(х=2пд (и+ — ). (6.29) Левую часть формулы (6.29) можно трактовать как площадь, ограниченную замкнутой траекторией изображающей точки в фазовом пространстве. Достоинство квазиклассического приближения состоит в том, что в нем решение уравнения Шредингера сведено к квадратурам (6.26). Кроме того, во многих случаях оно приводит к сравнительно простым и физически ясным результатам, так как усматриваются прямые связи с соответствующими задачами классической механики. Е ф рок=в т с условием квантования. Заключаем, что П р и м е р 6.2.

Применение метода ВКБ дли расчета уровней энергии. положим (1=0 при а(х(ь (прямоугольная потенциальная яма). тогда из 1 1 формулы (6.28) следует ~/2шЕ2(Ь вЂ” а)=(л+ ) 2нл, откуда 2 ) ',.„.;( —,) Результат отличается от точной формулы (6.8) для уровней энергии сдвигом зиаче- 1 иий квантовых чисел на — Зта погрешность скажется на энергии нижних кванто- 2 вых состояний. При лЛ 1 точность метода ВКБ достаточно высока.

П р и и е р 6.3. Расчет уровней энергии квантового осцнллвтора. Сравним формулу классической механики для фазовой траектории осциллятора (см. ч, 1, $26) — =2лд (л+ — ), или Е=мл (л+ — ). Это формула квантования энергии осниллятора (бда), полученная ранее в ре- эультате точного реглеиня уравнения Шредингера. Методические указания и рекомендации !. Простейшие задачи, рассмотренные в главе, раскрывают кван- тово-механический подход к описанию движения и взаимодействия, не отягошенный еще применением абстрактного математического аппарата, дают материал для пояснения ниже сущности этого аппарата, приводят к очень обшим и характерным закономерностям микромира. То, что эти задачи можно решить, не применяя понятия об операторе, операторной форме уравнения Шредингера, всей совокупности неббходимых в других случаях сведений по гильбертову пространству и операторному исчислению, на наш взгляд, существенно в методическом отношении для выявления главных этапов и итогов решения.

В то же время подбор задач определяется типичноствю описываемых в них ситуаций. В этом отношении обязательно нужна задача на прохождение потенциального барьера, хотя она довольно громоздка в выкладке. (Лектор может перенести вычисления на практические занятия.) На практических занятиях нужно рассмотреть задачу о трехмерной яме, так как результаты ее решения используются далее в курсе статистической физики. Задача об осцилляторе имеет фундаментальное для квантовой физики значение и анализируется подробно как на лекциях, так и на практических занятиях. И. При изучении материала студентам рекомендуется ответить на следующие вопросы: — В какой связи находится непрерывность волновой функции с определением вектора плотности потока вероятности? Как объяснить попадание микрочастиц в запрещенные законом сохранения энергии для их движения области пространства? Назовите явления, которые объясняются туннельным эффектом.

Перечислите микросистемы, поведение которых можно моделировать квантовим осциллятором. Сделайте общие выводы о характерных особенностях движения в силовых полях в микромире на основе решенных в главе задач. Выполните упражнения к главе. Упражнение И 1. Пользуясь результатами задачи об одномерной прямоугольной потенциальной яме (см. $ 5, п. 2), решите задачу о трехмерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Р е ш е н и е. Потенциальная энергия задана условием: 0<х<а, (1(х, у, г)=0, если 0<у<Ь, 0<г<с, х<0, х)а, Е/(х, у, г)= ьо, если у<0, у~Ь, г<0, г>Ь. Уравнение Шредингера для частицы внутри ямы имеет вид зт+ ьзф 0 (1) Волновая функция обращается в нуль на краю ямы. Уравнение (1) допускает разделение переменных. После подстановки зр (х, у, г)=ф1 (х)фз (у)фз (г) получаем три однотипных уравнения ~~-+я! р=О, причем л(+ Мз+ йз = Йз, и выполняются граничные условия: ф~ (0)=ф~ (а)=0, фз(0)=фз (Ь)=0, фз(0)=фз(с)=0.

Используя формулы (5,7), (5.8) и (5.9), получаем (аьс ) ь ь с ~(Ю) ! (зз) ! (зз) ~ Состояние частицы задается тройкой квантовых чисел пь и, и пз, пробегающих независимо друг от друга значения 1, 2, 3, ... В кубической яме а=Ь=с. В этом случае уровни энергии вырождены, т. е. одному значению энергии соответствует несколько квантовых состояний. 2.

С помощью формулы (5.23) оцените вероятность прохождения электроном прямоугольного потенциального барьера высотой !О эВ при энергии частицы 5 эВ, если ширина барьера равна 1 ° 10 " м, 2 10 ьз и, 5 !О ьз м. Константу Рз принять равной 1. От в е т.

Р=0,1; 0008; 55.!О 3. С помощью формулы (5.24) выведите закон Гейгера — Нэттола, связывающий период полураспада с энергией а-частицы: 1и Т=А+ У=-т-, у=2Ъсе~, Г где Л вЂ” заряд ядра. Для коэффициента прохождения через барьер имеем формулу -фень) )ир! — г ь Р=Рое В ней Ро — постоянная, зависящая от свойств ядра; точка Я определяется из условия У((!)=О; нижний предел интегрирования полагаем равным го. Период полураспада обратно пропорционален вероятности вылета а-частицы за единицу времени, которая в свою очередь пропорциональна коэффициенту прохождения Р.

Поэтому Т='~' и Р 1п Т=сопз! — !и Р=сопз!+ — л — "'-' ~ ~ — — Ег(г. После подстановки г'=Х-"-имеем Е 1п Т=сопз!+ — о! -о! — 1 о!х=А+— 2тО2о! ! ( ! в л -,/Е " -(е Ек У где 1 В=22 !)2о! ~ /~ " НХ (2) еь Так как энергия а-частицы значительно ниже пика барьера, то нижний предел в формуле (2) можно принять равным нулю. 4.

Запишите выражения для волновой функции гармонического осциллятора при я=О, 1, 2. О т в е т. н и' '(2хо)' ' ко ' 69 Р е ш е н и е. Предположим, что внутри ядра а-частица движется свободно. Чтобы выйти из ядра, ей нужно преодолеть потенциальный барьер, образованный силами кулоновского отталкивания (см. рис. 5.4). При г)го 5. С помощью формулы (5.14) вычислите коэффициенты полиномов Чебышева — Эрмита оз и Иь 6. Запишите выражения плотности вероятности для координаты х в случае гармонического осциллятора, находящегося в квантовых состояниях при в=0, 1, 2.