Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 13

Большие энергии частиц достигаются, например, нагреванием вещества до очень высоких температур. Достичь высоких температур нелегко. Еще труднее удержать нагретую плазму. Поэтому большое значение для этой и других аналогичных практических задач на столкновения имеют ответы на такие вопросы: возможно ли прохождение барьера при энергиях ниже вершины барьера? Всегда ли частица пройдет через барьер без отражения, если ее энергия выше пика барьера? С потенциальными барьерами приходится иметь дело и при исследованиях многих других явлений в атомной физике.

К ним относятся столкновения элементарных частиц друг с другом и ядрамн, рассеяние пучка электронов на атомах н молекулах, химические реакции и т. д. Типична следующая постановка задачи о прохождении барьера: на барьер падает поток частиц, движущихся вдоль оси ОХ (рис. 5.5) .

Требуется определить, какая часть из них пройдет через барьер и какая отразится от барьера. В качестве классического аналога можно рассмотреть поведение шарика, накатывающегося слева на крутую горку высотой Н, изображенную на писунке 5.6. Пусть шарик двигался с начальной скоростью е и без трения. Если — стйН, то 2 шарик иа горку не закатится. Поднявшись до уровня И, который находится нз гп у 2 шп условия — = тйд, шарик остановится н скатится обратно с горки.

При — ) тйН 2 2 шарик преодолевает горку обязательно, сколько бы раз ни повторялся опыт. Рнс. 56 Решим задачу на потенциальный барьер для микрочастиц. Наиболее простой для расчета случай — прохождение барьера прямоугольной формы. Полный ход потенциальной кривой описывается соотношениями О, х<0, (/(х)= К 0<х<а, О, х)а. Им соответствует диаграмма на рисунке 5.7.

Разрывный характер функции (7 (х) приводит к необходимости записать уравнение Шредингера (5.1) отдельно для всех трех областей, выделенных на рисунке 5.7; И. — ",'~'+д'фг=О, ц'= — '",'( — (7), (5.11) Ш ЫЪ+(гггР, — 0 ьг — тЕ дхг ' ' Ь' ' Функции фь Чгг и фг представляют одно и то же решение в соответствующих интервалах изменения переменной х. Чтобы это решение было непрерывным вместе с первой производной, необходимо выполнение граничных условий: гг1(0)=фг (0), г(гг (а)=г)гг (а),) гр! (0) = ъ(гг (0), чгг (а) = фг (а).! (5.12) Запишем общие решения уравнений (5.11); р1=Ае'ы+Ве фг = Сеи" + !)е (5.13) грг=де""+ бе Постоянные А, В, С, 17, В и 6 должны быть такими, чтобы удовлетворялись условия (5.12) и чтобы решение соответствовало постановке задачи. В областях 1 и П1 частицы движутся как свободные.

Поэтому легко установить физический смысл отдельных слагаемых в первой и третьей формулах (5.13). Выражение Аегы соответствует волне, ! н и! Рнс в.т распространяющейся вдоль оси Ох. (Следует вспомнить о временном множителе е-'"'.) Это слагаемое описывает частицы, падающие на барьер. Частицы, отраженные от барьера, представлены в решении членом Ве '*". В области. 1!1 также имеются две волны. Волна Ре"*, бегущая по направлению оси Ох, связана с частицами, прошедшими через барьер. Волна, распространяющаяся в обратном направлении, сопоставляется частицам, падающим на барьер справа. По условиям задачи таких частиц нет, поэтому 6=0.

Чтобы сравнить между собой количество падающих, отраженных и прошедших через барьер частиц, найдем плотность потока вероятности для частиц, падающих на барьер, отраженных от барьера и прошедших через него. Применим формулу (3.23): Обозначим через Р и й отношения плотностей потоков: Величина Р называется коэффициентом прохождения или прозрачностью барьера, !г' — коэффициентом отражения. Вследствие непрерывности волновой функции и ее производной плотность потока вероятности во всех областях должна быть одна и та же.

Отсюда следует равенство !апп 1отр+ !арпа ' А+В=С+О, Се'аа+ Ое-паа Ре аа й (А — В) =и (С вЂ” О), оа ( Се' аа Ое — Ма) й Рема ния (5.14) в виде (5.14) ерепишем уравне А+В=С+О, А †В-(С вЂ” О), ь Се~па 1 О,-М Р,й~ С,паа Π— ~аа а Ре!аа (5.15) выражающее закон сохранения числа частиц при прохождении барьера. Из него вытекает связь коэффициентов Р и Я: Р+В=1. Смысл этой формулы установить нетрудно: величины Р и !г определяют веронтность прохождения частицей барьера и отражения от барьера, поэтому их сумма должна быть равна единице.

Далее нужно вычислить коэффициенты А,В,С,О,Р, для чего следует использовать общее решение (5.!3) и граничные условия (5.12): Из первых двух уравнений этой системы следует 2А= (1 — -~~-) С+ (! — -2-) Р, (5.15) а нз третьего и четвертого С= ! Ресые ' 'й + й хр, 2 д l' Р = — Ее'"е"' (! — — ) . 2 д l (5.17) Подставляя значения постоянных С н Р из соотношений (5.!7) и (5.16), получаем 2А= — Еесы ((1+-2-)(1-1- — ) е '"-1- (1 — -х-)(! — — ) е"'1. Отсюда вытекает соотношение (5.

17') А (й+д)Ре РР' — (й — д)РсРР" ' После вычислений для коэффициентов Р н А получаем (5.18) Дальнейший разбор задачи произведем сначала для энергий выше пика барьера. Прн Е'= (l а действнтельно. Тогда (5.19) 4дрйр сорр дср 1 (йр +др) р(пр дд р р р — д:.4р (5.20) (й'+ д ) + 4йсдс с(К де Неожиданный с точки зрения классической физики результат: частица имеет неравную нулю вероятность отразнться от барьера, несмотря на то что ее энергия превышает высоту потенциального барьера.

Это явление объясняется волновыми свойствами частиц. (Вспомним, что волны отражаются на границе сред с различными плотностями.) Найдем Р прн Е(К Сейчас д — чисто мнимая величина. Пусть ф р р РРАР'Р р=РР, лР= ' рР РРи — Р): (5.2! ) А (й+(1)се~' — (й — (1)'с а Вводя гиперболические функции 5Ца= — '(е' — е '), СЬ)а= — (е'+е 1'), 2 2 зз приведем выражение (5.21) к виду л (й — (') 5Мо+ 2'йСЬ!и ' тогда 4йт т (5.22) (й' — (')'5ьз(а+ 4й*('СЬ~(а Замечателен вывод, что при энергии ниже пика барьера частица может пройти сквозь него.

Коэффициент прозрачности — сложная функция от энергии частицы, высоты и ширины потенциального барьера. На практике вместо громоздкой формулы (5.22) для разного рода оценок и приближенных расчетов используют приближенное выражение, которое получается при условии е" »1. Если данное неравенство справедливо, то 5'п)ажСЦа= ( ем 2 Р (бй ~~,— з(а (йт+ (т)2 Поэтому окончательный результат записывается в виде соотношения Р= Рое (5. 23) Вероятность прохождения барьера обычно мала, и она тем меньше, чем шире и выше барьер и чем больше масса частицы (сравнение производится при одной и той же энергии). Явление прохождения барьера тесно связано с возможностью появления частицы в запрещенной с точки зрения классической физики области, где 0)Е.

Характерно, что частица выходит из пределов потенциального барьера с той же энергией, с которой она в него входит. Поэтому прохождение барьера образно называют туннельным эффектом. Частица не взбирается на вершину барьера (ее энергия везде постоянна) — она как бы проходит под ним через туннель. Формула (6.23) обобщается на барьер произвольной формы. Разобьем его на узкие прямоугольные полоски.

Вероятность прохождения барьера равна произведению вероятностей прохождении всех элементарных прямоугольных барьеров, для которых высота полоски больше энергии частнпы: Р= ПР = РэПе ~(Л"', Ра=ПРз, где ( й = — ~2т (О (х,) — Е). Ь В пределе, когда полоски будут бесконечно тонкими и их число неограниченно воз- растет, имеем — П ~-Ра Р= Рте (5.24) т х, их, рле я у и(х)=Е. Туннельный эффект — типично квантовое явление, которое невоз- можно понять без учета волновых свойств частиц.

Он лежит в основе многих физических процессов: здесь распад и деление ядер, протекание ряда химических реакций, эмиссия электронов нз металла н многие другие. 1 в. гдвмоничвския осциллятов 6.1. Постановка задачи. Гармонический осцнллятор — это материальная точка, совершающая гармонические колебания, т. е. колебания, в которых смешение тачки из положения равновесия изменяется по закону синуса н косинуса.