Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 14

Ясно, что такое кннематическое определение непригодно в квантовой области, где нельзя указать точного положения мнкрочастнцы в пространстве. Более общим определением гармонического осцнллятора, пригодным и в микромире, является динамическое определение. Классический осциллятор — это материальная точка, движущаяся в силовом поле, в котором потенциальная энергия имеет минимум, как, например, на рисунке 6.1. В таком случае (см.

ч. 1, $26) малые отклонения частицы от точки устойчивого равновесия — минимума — приводят к гармоническим колебаниям. Приближенное значение потенциальной энергии, принимаемое в одномерном случае в расчет, следующее: Ах2 2 (6.! ) где й)0 — коэффициент квазнупругой силы. Квантовый осцнллятор — это частица, движущаяся в потенциальном поле с минимумом энергии. Если полная энергия частицы Е— величина малая, то потенциальную энергию можно выразить формулой (6.1). Коэффициент й удобно выразить через циклическую частоту колебаний: м=-у — . В таком случае вместо (6.1) имеем Г~ [/ лив'х' 2 Последняя формула н определяет постановку задачи о квантовом гармоническом осцилляторе: это микрочастица, находящаяся в потенциальном поле вида (6.1).

Гармонические колебания играют очень важную роль в классической физике. Не менее важное значение имеет задача о гармоническом осцилляторе н в квантовой физике, где также говорят. о гармонических колебаниях. Результаты ее решения средствами квантовой механики интересны как сами по себе, так и в качестве модельных представлений для реальных систем, в которых частица движется в силовом поле в окрестности точки минимума потенциальной энергии. 6.2. Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора.

Запишем уравнение Шредингера для квантового гармонического осциллятора: зт л-'2-+ — '(я — "'" ) ф= О. (6.2) Здесь ы — частота колебаний классического осциллятора. С точки зрения квантовой физики это некоторый параметр. Начнем решение с замены переменных, что позволит упростить форму исходного уравнения (6.2). Введем безразмерную координату % х г=, хо= Хо тв (6.3) После подстановки получаем уравнение ~ Й-+(1.— г2) ф — О (6.4) где (6.5) При ~г~ >>1 постоянную Х в уравнении (6.4) можно опустить.

Тогда — 'Ъ вЂ” 'р=о. ч'г' Если ф=е ', то н — 2-=г е ' (1 — —,). (6.6) Функция 1(г) удовлетворяет уравнению -~- — 2г -~-+ (Х вЂ” ! ) ) = О, (6.7) которое получается из уравнения (6.4) после подстановки функции (6.6). Далее, используя метод степенных рядов, полагаем 1= Х а~г'.

(6.8) а=-О Подстановкой ряда (6.8) в уравнение (6.7) приходим к тождеству Х й(А — 1) аьг' ~ — 2г Х Аахг" '+(Х вЂ” 1) Х аьг'=О. (6.9) Отсюда видно, что экспонента е ' описывает асимптотическое решение уравнения (6.4) при г — ~ оо. Поэтому будем искать функцию состояния осцнллятора в виде Его можно записать в виде одной суммы: Х Ьг =О. (6. 1О) Для выполнения последнего равенства при любых г необходимо, чтобы были равны нулю коэффициенты прн всех г . Составим выражение для коэффициента Ь . Для этого нз первой суммы в равенстве (6.9) выпишем член с Ь=гп+2, а нз второй н третьей — с Ь=гп.

Получаем Ь =(т+2) (т+1) а эг — 2та +(Л вЂ” !) а . (6.1!) Приравнивая выражение (6.11) нулю, находим формулу, которой должны удовлетворять коэффициенты ряда (6.8): 2уи+ 1 — Х а„! 9= (а+2)(т+ !) от. (6.12) Формула (6.12) относится к рекуррентным соотношениям; она позволяет повторным применением выразить все коэффициенты а через первые два, которые остаются неопределенными..

Величины ао н а, представляют собой две произвольные постоянные, входящие в общее решение дифференциального уравнения второго порядка (6.4). Исследование ряда (6.8) показывает, что в общем случае он расходится прн г — ~- -+- сс>, причем настолько быстро, что волновая функция (6.6) обращается в бесконечность. Нам же нужны всюду ограниченные решения.

Онн могут быть получены, если ряд (6.8) оборвать на некотором слагаемом и превратить в полипом конечной степени г. Тогда экспоненцнальный сомножнтель обеспечит затухание функции состояния (6.6) на бесконечности. Такие полнномы также будут решениями уравнения (6.7). Итак, обрываем ряд на члене с индексом и: а„Ф-0; все старшие коэффициенты, начиная с а.ч ь равны нулю; с помощью формулы (6.12) имеем (6.13) Л=2а+1. Рекуррентная формула принимает внд (т+2) (т+ !) (6.14) Полиномы с коэффициентами (6.14) обозначаются символом Н„(г). В них мы можем еще распорядиться по своему усмотрению коэффициентом прн низшей степени г.

Это будет ао нлн а! (еслн и четно, то в полиноме содержатся только члены с четными степенямн 2, если и нечегно — с нечетными). Обычно постоянные выбирают так, чтобы коэффициент прн высшей степени г был равен 2". Тогда полиномы совпадают с хорошо изученными в математике полнномамн Чебышева — Эрмнта. Их можно получить с помощью полиномообразующей формулы Н, (г)=( — 1)"е*' — „(е ' ).

ег" (6. 15) Функции состояния для квантового осцнллятора находим: ф.=А!„е 'О. (г), г=х-1('~". Нормировочный множитель Ь!. находится нз условия ~ !ф„!' г(х=1, (6.16) отсюда Л/,= (6.17) "~Г2" л'хо з(я Далее с помощью формул (6.15) н (6.17) мы вычислим несколько ~р„. 6.3. Анализ решення задачи о гармоническом осцнлляторе. Условие (6.13) задает правило квантования энергии осцнллятора. Если учесть подстановку (6.5), то Е„=Ьы(п+ — ), и=О, 1, 2, ... 2 (' (6. 18) фе(х)= — „, „,е ! во Это одна нз самых фундаментальных формул квантовой физики.

Из нее прежде всего следует дискретный набор значений энергии, обычно называемых уровнями. Интервал между соседними уровнями постоянен н равен Ьм, поэтому переходы между ними обеспечивают излучение нлн поглощение одинаковых квантов энергии. Если этим квантам сопоставляется макроскопнческое волновое поле, например электромагнитное, то частота его н определяется формулой Планка (1.3).

Таким образом, гипотеза Планка оказалась прямым следствием общих принципов квантовой механики. Далее, наименьшее возможное значение энергии равно —— лю 2 это энергия так называемых нулевых колебаний. Как н в прямоугольной яме, уровни осцнллятора начинаются с некоторого отличного от нуля минимального значения. ам С энергией нулевых колебаний: Ео = — — связан целый ряд 2 физических явлений. В частности, она свидетельствует об отсутствии покоя у частиц вещества при абсолютном нуле температуры. На ее основе сложилось представление о нулевых колебаниях вакуума как об основном (невозбужденном) состоянии электромагнитного поля н т.

д. Рассмотрим несколько функций состояния квантового осцнллято! з з ра, соответствующих энергиям Ео= — Ьм, Е~= — Ью, Е~= — Ьм 2 ' 2 ' 2 и т, д. С помощью формул (6.15) ... (6.17), а также возвращаясь к исходной переменной х на основе соотношения (6.3), получаем и'~'(2к )о' х фи(х)= „, „,е '"'(4 — ",— 2). На рисунке 6.2 показаны соответствующие диаграммы плотности вероятности. Вертикальные линии проведены через точки, соответствующие амплитудным значениям координат классического осциллятора с рассматриваемыми энергиями Ес, Еь Ев Штриховые кривые изображают классическую плотность вероятности как отношение времени нахождения материальной точки в данном месте пространства к периоду колебаний.

Из формул (6.19) также видно, что четность состояния определяется четностью квантового числа л: при четных а четность равна +1, а при нечетных — 1. Уместно изобразить еще уровни энергии осциллятора на диаграмме его потенциальной энергии (рис.

6.3) Если сравнить эту диаграмму с диаграммой рисунка 5.3 для потенциальной ямы, то становится очевидной зависимость расстояний между уровнями от формы потенциальной кривой. (6.19) На примере разобранных одномерных задач можно указать на некоторые общие особенности .квантово-механического движения. п1 Ь а, х и ! г хс -7 б Рис. б.!. О Г ~ -З -7 -Г О Г г Зх ха й хо Рис.

б.2 б! ь х Рис. 6.4 Рис. 6.3. 1. В постоянных полях типа потенциальной ямы возможны стационарные состояния с дискретными уровнями энергии. 2. У таких систем наименьшее значение энергии отлично от нуля, что соответствует невозможности абсолютного покоя и локализации частиц в точке пространства. 3. Квантование энергии характерно для связанных состояний. Для несвязанных частиц движение инфинитно, и энергия принимает непрерывный ря)г значений. 4. Как координата, так и импульс в связанных состояниях неопределенны, а это значит, что подразделить энергию на кинетическую и потенциальную невозможно. 5.