Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика (Мултановский В.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики. Квантовая механика.djvu), страница 16

(Данные возьмите из задачи 4.) Сравните результаты с плотностью вероятности для классического осциллятора. У к а з а н и е. Вероятность обнаружения классической материальной точки на отрезке ух пропорциональна времени нахождения частицы на этом отрезке. Так как Ж= — ""= ь 2 — 1д — и~ то 7. Колебательные подуровни молекулы водорода расположены на расстоянии 0,545 эВ друг от друга. Вычислите энергию нулевых колебаний и частоту колебаний, У к а з а н и е. Ознакомьтесь с материалом $ ! 9, п. 5.

ГЛАВА !!!. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ И ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Полное и последовательное изучение основных законов квантовой механики и решение большинства ец задач невозможно без специального математического аппарата. Он разобран в данной главе. Мы не стремились к математической строгости и общности освещения затрагиваемых вопросов: они рассмотрены на элементарном уровне и лишь в той мере, которая необходима для понимания следующих глав, где изучается строение атомов и молекул.

$ 7. ЛИНЕЙНЫЕ САййОСОНРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 7.1. Разложение функций в обобщенный ряд и интеграл Фурье. Применение принципа суперпозиции состояний 1см. $2, п. 4) в квантовой механике тесно связано с разложением функций в ряд или интеграл Фурье. Напомним основные математические положения о разложениях функций. Пусть задана функция ф= ф (л, х), причем й есть дискретно изменяющаяся величина, играющая роль параметра, а под х понимается совокупность трех координат точки пространства.

Если значения й пронумеровать в определенном порядке, то можно рассматривать систему функций, в которой функции можно различать по номеру и писать фз (х) вместо ф (й, х), причем й = 1, 2, 3 и т. д. 70 Система функций ьр»(х) называется ортонормированной, если все функции ьр»(х) нормированы на единицу и попарно ортогональны. Условие ортонормированности выражается соотношением ~ ьра(х) «с»(х) ь(х=бь», где бм — символ Кронекера (6,»=0 при (эти и бы=! при ь=й). Система ср» (х) называется полной, если не существует функции, ортогональной ко всем функциям системы и не входящей в эту систему.

Допустим, что в интервале а(х<Ь задана полная ортонормированная система функций ср»(х). Тогда любая непрерывная однозначная ограниченная и квадратично-интегрируемая в интервале (а, Ь) функция ф (х) может быть представлена в виде ряда ф(х)=Х С» со»(х), (7.1) где числа С» определяются формулой ь С»= ~ ср» (х)ф (х) с(х. з Они называются коэффициентами Фурье, а ряд (7.1) — обобщенным рядом Фурье. Этот ряд в указанном интервале сходится, и сходится к функции ф(х) (за исключением конечного числа изолированных точек, к которым относятся точки разрывов непрерывности, концы интервала и др.). Пусть имеется система функций ср(й, х) с непрерывно изменяющимся параметром и. Она называется ортонормированной или нормированной на 6-функцню (сведения о 6-функции приведены в приложении 1), если выполняется соотношение ~ фа (й', х) ф (й, х) с(х = 6 (й' — й).

(?.2) Ортонормированная система сй(й, х) называется полной, если не существует функции, ортогональной ко всем функциям системы и не входящей в эту систему. Произвольную непрерывную и квадратично-интегрируемую функцию ф(х) можно представить в виде интеграла Фурье: ф (х)= ~ С (й) со (й, х) ь(й, (7.3) где коэффициент Фурье С(й) находят по формуле С (й) = ~ фа (и, х) ф (х) ь(х. Интеграл (7.3) для полной системы функций ср((е, х) сходится, и сходится к функции зр(х) (везде, кроме ограниченного числа изолированных точек). Из математики известны условии иолноты системы функций о(», х): 2: е1(х ) о»(х)=й(х-х ). (7.3 а) 7) Для системы функций с непрерывно изменяющимся параметром й условие приобретает внд 1 ар' (Д х') ар (Д х) атй = 3 (х — х').

(7.3 б) В самом деле, подставляя в формально написанное равенство (7.1) козффициеиты Фурье Са, получаем ф (х) = хь ~ ара (х ) ф (х ) а(х иа (х) = =)ф(')~ '(")т» ' Отсюда для выполнения равенства (7.1) достаточно выполнения условия (7.3а). (Так же доказывается и условие (7.3 б),) Можно дать и иную трактовку сходимости разложений (7.1) и (7.3).

Равенство (7.! ) имеет смысл, т. е. справедливо, если квадратичная погрешность разложения равна пулю: ь а $ ~ аР(х) — ьь Саара(х) ! ь)х=е. а Отсюда немедленно следует достаточное условие справедливости равенства (7.! ): ь Х Сас =5 р' (х) Ч (х) а(х. (7.3 в) Аналогично для разложения (7.3) имеем ~ С' (й) С (й) аИ=~ ьр (х) ьр (х) а(х. (7.3 г) Условия (7.3 в) и (7.3 г) также необходимы, т. е. для полной системы функций ара(х) и непрерывной тр(х) всегда выполняются. Установим связь разложений функций с принципом суперпозиции состояний.

Пусть ф(к) есть волновая функция состояния некоторой механической системы. Разложим ее в ряд по функциям тра(х). На основании равенства (7.1) или (7. 3) состояние тр может рассматриваться как суперпозиция состояний тра (или гр (К х)) с вероятностями СаС» (или плотностью вероятности С ()з) С(й)). Такой смысл придается разложению функции состояния в обобщенный ряд или интеграл Фурье: оно выражает суперпозицию состояний.

Как указывалось ранее ($2), волновые функции суть комплексные непрерывные однозначные функции от координат и времени. Как правило, они квадратично-интегрируемые, т. е. не только везде ограничены по модулю, но и достаточно быстро убывают до нуля на бесконечности, что и обусловливает возможность их использования для описания связанных состояний микрочастицы в ограниченной (и в большинстве случаев очень малой) области пространства. Но эти же свойства необходимы и для разложений в ряд или интеграл. В квантовой механике используются и функции, ие являющиеся квадратичноинтегрируемыми Не удовлетворяет атому условию ф-функция свободной частицы (й 3, п.

5) Эта и некоторые другие подобные ей функции фактически не отвечают реальным физическим состояниям, реальным объектам, а описывают сильно идеализированные модели и играют вспомогательную роль. Так, для каждой мнкрочастицы известна в конечном счете область локализации в пространстве — зто может быть атом, молекула, макроскопическое тело и т. д. Локализованной частице соответ.

ствует уже не плоская волна, а волновой пакет, в. е. быстро затухающая и квадра. тично-интегрируемая функция состоянии. В каждом конкретном случае может быть выяснена роль функции, не удовлетворяющей условию квадратичной интегрируемостн, и установлена ее связь с реальными состояниями. Изучаемые ниже математические соотношения, в которые входят волновые функции, распространяются не только на квадратнчнсьинтегрируемые функции, но и путем соответствующих предельных переходов — на ограниченные (по модулю) функции, необязательно затухающие иа бесконечности.

Отметим также, что разложение функций состояний в ряд, а также все действия, которые производятся ниже над функциями с помощью операторов физических величин, не затрагивают переменную ! — время, т. е. относятся к произвольному, но фиксированному моменту времени. По этой причине время ! всегда рассматривается как параметр, а переменные х, у, г — как аргументы тр-функции. 7.2. Линейные операторы.

Оператор есть символ для обозначения действия или программы действий, которые нужно совершить над некоторой функцией, чтобы получить другую функцию. Операторы обозначаются большими латинскими буквами со «шляпкой» наверху, например А, В, ... Если оператор стоит рядом с функцией и слева от нее, то это означает, что он действует на функцию (говорят, применяется к функции нли умножается на функцию). В результате получается новая функция тех же переменных: 2) Вгр= — ~ дх Оператор называется линейным, если для него выполняется условие Е (С~гр~+ Стгрт)=С~1гр~+Стйгрт, (7А) где гр~ н цэ — некоторые функции, а С~ и Ст — постоянные (комплексные) числа.

(Число слагаемых Сегре неограничено.) Например, операторы дифференцирования и операторы умножения на переменную величину линейны, оператор же возведения в степень не является линейным. 73 (Функции ф и гр должны относиться к одному классу функций; невозможен, например, переход от функции действительного переменного к функциям комплексного.) Программа действий, заключенная в операторе, может быть выражена математическими символами илн словами.

Укажем примеры: ! ) А =х — оператор умножения на переменную х; 2) В= — — оператор дифференцирования по х; д дл 3) С=(перейти к комплексно-сопряженному выражению) — оператор комплексного сопряжения. Результаты действий названных операторов выражаются равенствами !) Агр=хгр; З) Сф=р. Согласно условию (7А) постоянные множители можно выносить за знак линейного оператора (и вносить под него), а действие такого оператора дистрибутивно по отношению к сложению функций. Далее используются только линейные операторы.