Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994).djvu), страница 8

Рассмотрим ансамбль фазовых точек, заключенных внутри областы гзе в момент Г= О. В момент б отличный от нУла, все фазовые точки переместятся по фазовым траекториям и займут некоторую новую область гз, (рис. 4), причем, по теореме Лиувилля, объемы Г, и Г, этих областей одинаковы. Из-за взаимно однозначного соответствия всех точек области гзе со всеми точками области 6, вероятность нахождения системы в области гге в момент 1=0 равна вероятности ее нахождения в области гз, в момент б если в промежуточные моменты не производились какие-либо измерения, переоценивающие вероятность обнаружения фазовой точки. Поскольку это утверждение справедливо для сколь угодно малых значений фазовых объемов, постольку вследствие теоремы Лиувиллн (Г,=Ге) фазовые плотноети веРоЯтности в точках Х н Хо также одинаковы: ~терлецкий Н.

П. Теоретическая мехаввка. М., 1987, 8 46. п(Х, г)=и'(Хь, О), где Х и Хв — лаграыжевы фазовые координаты, связаыыые решеыиями уравнений Гамильтона (6.5). Примеыим равенство (8.1) к бескоыечыо близким моментам времеыи д и Г+Ж. Тогда Х =Х +ЙХ (8.2) в, следовательно, п(Х+6Х, а+бе)=п(Х, г). (8.3) Здесь и ниже фазовые координаты пишутся без индекса б так как оыи рассматриваются в один и тот же момент времени.

Разлагая левую часть (8.3) по степеыям бг и 6Х, имеем д»»» дч — бг+ ~; — 6Х»+0(6», 6Х) О. »-~ дх» Разделив зто выражеыые ыа бг и устремляя бг к нулю, находим д» з» /, дч . д»~ + л ~~ф» +р» )=О. дь » , ~ дв» дт3 Учитывая уравнения Гамильтона (5.3), получаем уравнение движения статистического фазового ансамбля, илы уравнение Лиувилля: д» з» (дН дч дН дч~ — + ,'~„~ — — — — ~=о, дс Ч дв дв дв дв) (8.4) илы дч — =1Н, 3у), д» где (8.5) '" /дНд дыд 1 [Н.п]=~: ~ — — — — ) 1~де» др» др» де») (8.6) — скобки Пуассона.

Итак, фазовая плотность вероятности адиаб<ипически изолированной системы К материальных точек изменяется со временем, подчыыяясь уравнению движения (8.5), Не следует, однако, думать, что решеыие уравнения (8.5) — математически более простая задача, чем решение системы уравнений Гамильтона (6.1). В теории дифференциальных уравнений доказы- ! настоя, что решеыие системы обьгкыовенных диффереыциальыых уравнений первого порядка эквивалентно решению уравнения первого порядка в частыых производных типа (8.5). Уравнение (8.5) важно для решения принципиальных вопросов статистической теории неравновесных процессов, где из этого уравнеыия получаются упрощенные уравнения с меньшим числом независимых переменных, которые практически возможно решить.

Задача 8.1. Доказать, что для провзаольвой фазовой плотвоств вероатвсств в (Х, г), удовлетворяющей уравнению Лвувнллк (8.з» условию вормвровкв в равенству нулю функдвв каноннческж переменных ва бесконечно»та, вате~рад 1 Р(в(Х, 1))ИХ не юмевается со временем, если Р(в) — пропп взаольвел фувззщя, но обрапвющвяся в нуль прв н О. Считать, как обычно, что кннетвческав звергвв завнсвт только от импульсов, а потевннальвая — только от коордвват, т. е. и (х) = К(Р) + гУ(О), где И) = (Чь - * Чзн). (Р) (Рь - Рзн). 9. Квантовая статыстнческая модель. Уравнение движения для матрицы плотности Как было замечено в й 4, 5, микроскопическое состояние квантовой модели описывается волновой функцией 'р(г„..., г„; г), подчиняющейся уравнению Шредингера (5.5), а при статистическом рассмотрении этой модели каждому возможному состоянию Ч'» приписывается вероятность В».

Статистические средние, которые сравниваются с макроскопически измеримыми величинами Г, определяются, согласно (4.5), как средние от квантово-мехаыических средних (Р)». Наиболее компактно вычисление средыых (4.5) осуществляется при помощи «матрицы плотности», определяемой как Р (9, д', г) ='Я ЮЛ (д, г) Ч»(г)', 1), (9.1) где д — сокращенное обозначение совокупности координат частыц, т. е. дь ..., дз„или г„, г„(аналогично и дла 9'), а совокУпность 'р» составляет полный набор волновых функций какого-либо оператора, изображающего некоторую физическую величину, например оператора энергии )т.

Очевыдно,'среднее (4.5) можно записать при помощи (9.1) в виде 41 (е)(е") (е) Вводя обозначения )' Ь(г)'-г))Р(Ч)Ь(а-г)) бг)ае(г)'МЧ"). йо Р(9'. д'. () =(9 ~РЗУ'). выражение (9.3) преобразуем к виду (9.4) (9.5) (г')(г') Выражение (9.4) можно рассматривать как матричное представленые оператора Р (в а-представленные), а (9.5) — как матричное представление некоторого оператора р. Но еМатричвым представлением любого оператора Р ааляетса ра ) К (ч) р(ч) че (ч) вч, где Ч'~(Ч) — собстаениак волновая функция некоторого оператора Ь. В даевом случае эта матрица оператора Р а г представлении.

В выраямвви (9.4) выбрело Ч- представление оператора Р, поскольку б(Ч вЂ” г() является собственной функцией оператора коордвваты Ч. 42 ) (9'Лфм) (Ч"'1й()") дч"'=Рр (9.7) (е) есть проызведение двух матрыц, изображающих операторы Р и р, а интеграл по ц' от этого произведения при б=д' [см. (9.6))— след (или игнур) матрицы,' изображающей проызведение ср, т. е.

Р= бр (Рр). (9.8) Итак, среднее статистическое значение величины à — это след матрицы, изображающей произведение операторов Р на р. Следовательно, формула (9.8) представляет квантовое обобщение классической формулы (6.4) или (4.1), причем матрица плотности р является квантовым аналогом классической плотности вероятности ге (Х, (). Если изменение м (Х, () со временем определяется уравнением Лиувилля (8.8), то матрица плотности подчиняется уравнению (й-Р (Ч. Ч', () =Р(Ч) — Н(Ч')'1Р (Ч. Ч'. ().

г д( Но, с другой стороны 1см. (9.4)1 (9.10) НР= 3' Й~Н1Ч") Й" $Р!Ч')ДЧ"= 1 1 д(Ч вЂ” ч"') ~Й"') х (('( ((')((") х д (Ч"' — Ч")')%Л Й") Ч(,(Ч) дЧ" дЧ"'= ) Б (Ч-Ч"') Н(Ч"') х е (("( х Х В'е Ч е Й ') Ч'е Й') дЧ"' = Х ИМ (Ч) %е Й) Ч е (Ч'). Тогда РН=~В~'Р„(Ч) )т (Ч') (Р» (Ч'), т. е. действительно (9.9) эквивалентно (9.10). Таким образом, уравнение (9.9) или эквивалентное ему уравнение,(9.10) может быть названо квантовым уравнением Лиувилля. Его называют также уравнением Неймана. 10. Термодинамические системы Термодинамическими называют такие макросконические системы, для которых снраведливы законы термодинамики, выводимые иидуктивно из термодннамических аксиом, рассматриваемых как эмпирически установленные общие факты о свойствах макроскопических систем.

Существует множество гамильтоновых систем, изображающих 43 Дсйствительно, возвращаясь от операторной символики к выражению матрицы плотности в виде функции от двух наборов переменив(х Ч и Ч(, т. е. к выражению (9.1), и используя уравнение Шредингера (5.5), легко получаем (й"=(й-'~.1~, Р(Ч, () Рв(Ч, () = д( д(е =~ И,(й(Ч) 'Р (Ч, () т (Ч', () - Р (Ч, () Й(Ч') Ч ' (Ч', ()) микроскопическые моделы макроскопических объектов, однако е всякая гамильтонова микроскопическая модель удовлетворяет т бованиям, накладываемым на систему макроскопическими ак омами термодинамики.

Поэтому при построении статистическ й теории термодинамических систем неизбежны ограничения, наклддываемые на форму гамильтониана микроскопической модел1х. В основном эти ограничении придется накладывать ыа вид потенциальной энергии микромодели. Что же касается феноменологической термодинамики, то она основывается исключительно ыа термодынамических аксиомах и общых характеристиках наблюдаемых в эксперименте макроскопических объектов. Итак, для построения как феноменологической, так и статистической теории термодинамическых систем необходимо прежде всего остановыться на общей характеристике и классификации как самих термодынамических сыстем, так и макроскопически юмеряемых параметров, определяющих их состояние.

Всякая термодинамическая система коыкретизируется посредством указания ее основных физико-химических характеристик (общая масса, химический состав и т. и.) и ограничителей, выделяющих ее из окружающего матерыальыого мира (стенкй сосуда, границы раздела, внешние поля ы т. и.). Соответственно этому термодинамическая система характеризуется внутреыными и внешними параметрами, полностью определяющими ее состояные. Внеиними параметрами называются такие макроскопические параметры, которые можно задавать путем выешних воздействий ыа систему, фиксыруя внешние тела илы поля. Внутренние нараметры в противоположность внешним определяются состоянием самой выделенной системы при заданных внешних параметрах.

С микроскопической точки зрения внутренние параметры суть функции всех микропараметров системы, описывающих атомистыческую модель. Какие ю макроскопических параметров (объем, давление, масса, эыергия,' полярюация и т. и.) отнести к внешним параметрам, а какие — к внутренним, зависит всецело от способа выделения термодинамической системы ю окружающего. Так, например, для газа, заключенного в цилиндр, закрытый жестко фиксированным поршнем (рис.

5, а), объем г' является внешним пара- а/ 5) м метром, а давление р— , У~ мГ внутренним. Если поршень нагружен определенным грузом массы М и свободно Р перемещается. в цилиндре .'у=сОп5с ' 5 (рис. 5, б), внешним параметром будет давление, а объем становится внутренним Рис. 5 параметром. Термодинамические параметры разделяют гпакже на интенсиве и экстенсивные. Интенсивные параметры не зависят от числа частиц системы характеризуют общее состояние теплового движения тела. Тами параметрами являются, например, давление р, температура Т, мический потенциал,и и т.