Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994).djvu), страница 5

Следовательно, при испытаниях любая случайная величыыа в большиыстве случаев будет принимать значеныя, ые отклоняющиеся от среднего значения больше чем ыа Ь(х). Закон балыках чисел. Многие физические величины представляют арифметические средние случайных величин, т. е. могут быть записаны в виде а т=- "~„хь ~а-1 Такими величынами являются, например, средняя кинетическая знергия, приходящаяся на одну молекулу газа, средний импульс, переносимый одной молекулой в данном ыаправлении, и т. п. Поскольку ха — случайная величина, т также случайная вели- чина, причем ее статистическое среднее равно (х — х) (у — у) . (2.27) Неравенство Чебышева. Вероятность события, при котором случайная величина окажется превосходящей произвольное положительное чысло а, удовлетворяет неравенству Ха В'(х>а) < —, а1' впервые полученному Чебьппевым.

Для доказательства зтого неравенства положим а=ха тогда действительно и я=- ч~~ хь. )'е-~ Но для случайной величины х можно применить неравенство (2.29). Очевидно, (2.31) («-а)е 1 И~ЦД вЂ” й~ > а) < — = — ~, Ч~~ (ХЬ вЂ”.ХЕ)(Х! — Х1) ю еэ е«Ф = — 4~~~~ (хе-хе)э+ ~~~~ (хе-хе)(х1 — х1) . .)у*1„, (2.32) Если случайные величииы хе статиспечески независимы друг от друга и ик дисперсии ие превышают некоторого числа Ю т.

е. (хь-хь)(х~-х~)=0 (ЙФ(), (2.33) (хе-хь)э < Ю„, то, согласно (2.32), получаем неравенство емовво доаеэать, что вереаевстао (2.34) удоааетаораетса в прв усаопваа медее вестапа, чем (2.33). Воэмовво допуствть веаоторую слабую аоррелаппю аепвепп «ь в «1 в прв этом доааэать спраеедпппость (2.34). (сье., вапрамер: лерма опав С. Н. Теорва аероатаостеа, 1934.) 23 По тГ(1«-г~>п) < —. еэ)т Согласно этому неравенству, вероятность превышающих а отклонений величииы г от ее среднего значения при любых сколь угодно малых, но коиечнык значениях а стаиовится сколь угодно малой при Ф-+со. Это следствие неравенства (2.34) называют заковом больших чисел.

Согласно закову больших чисел, истинные значения физических величин вида (2.30) почти во всех испытаниях практически будут совпадать с их средними статистическими (2.31). Таким образом, статистическая теория, построеиная для вычисления статистических средних вида (2.30), может быль использована для практически безошибочных предсказаний поведения индивидуальных систем, если число Ф частиц достаточно велико и удовлетворяются условия (2.33), использованные для вывода неравенства (2.34)е. Средвие от фуикпвй случайвык величии. Если Г(хь хэ, ..., х„)— произвольная функция непрерывных случайных величин х„х„..., хм а м(хь х„..., х„) — плотность вероятности для совмещенных событий хь хь ..., х„, то статистическое среднее величины Г равно Р= ...

Р(х„хэ, ..., х„)ю(х„хэ, ..., Х„)дхо ггхэ1 ..., Йх„. (2.35) 1х~ э-хеэ Это среднее можно также записать в виде Р= Р1Г(Р) ггР, (2.36) (г1 где гГ(Р) — плотность вероятности заданного значения величины Р. Используя д-функции Диракае, находим $Р(Р) =,. Б(Р-)э(хь хэь ".~ х„)) х (х! мэ'™"1 х ю(х„хэ, ..., х„) аахм йх„..., сЬ„. (2.37) Легко видеть, что, подставляя (2.37) в (2.36), мы получим исходное выражение (2.35). В частном случае, когда Р(хь х„..., х„) = х„вместо (2.37) имеем УУ'(Х1)= ... эг(хь хъ,, х„)сухэ, г)хэ, -., дх„, (2.38) (~- х1 илн в простейшем случае двух случайных величин х и у гг'(х) = гг'(х, у) гэу.

(2.39) еб-Фуакцик Дирека — это сбобэцеииек фуакцак, определлемак аатегральимми операцивма +(0 +и )'(у) б(х-у)у(х)бх, В(х)бх 1. Наглкдпо д-фуикцаю моиао предстевлвть как игольчатого вида кривую, совпадаюпгую с осью абсцисс при всех эвачеааак аргумеате, кроме пулевого, а в ауле стРемюцуаэса к бескопечиости. 24 3. Иллюстрация статистического метода иа примере распределения Максвелла — больцмаиа Для предварытельного ознакомления с основными идеями ы прыемамы общего статистического метода Гиббса рассмотрим в этом параграфе статысгыческую теорию простейшей термодынамыческой системы —.

идеального однокомнонентного газа во внешнем потенциальном поле, находящегося в состоянии термодныамыческого равновесия, с термостатом, имеющим абсолютную температуру Т. Из опыта известно, что макроскопыческое состояыые такой сыстемы (ее энергия, давленые ы т. и.) полностью определяется внешними параметрамы (объемом, внешним полем ы т. и. ы температурой, задаваемой термостатом)». В качестве микроскопической модели такого идеального газа естествеыно выбрать сысгему У матерыальных точек массы т, двыжущыхся во внешыем потенцыальном поле У(х, у, г) ы не взаымодействующых друг с другом, Если температура настолько высокая, что можно пренебречь кваытовымы эффектами, то матернвльыые точка можно считать двыжущымыся по законам классической механики.

Сосуд, в который заключен этот газ, может быть отождествлен с некоторым потенциальным барьером, отталкивающим частицы газа, т. е. можно считать, что стеыкы сосуда уже включены в выражение внешнего поля У(х, у, г). Мыкросостояные такого газа полностью отображается значеныямы координат ы скоростей всех Ф материальных точек, т, е. 6Ф переменными: х» у» г„~» г)„(„..:, хм у„, гр„. 4в,, г)р„Ьн. Вероятность микросоаноннил, как н всякая априорная вероятность, может быть получена лишь ыз общих предположеный, выте'кающых ыз постановки статистической задачы»*.

Используем эты предположения. 1. Поскольку состояние мыкросыстемы полностью определяется координатами ы скоростями материальных точек, постольку вероятность может быть функцией лишь этих переменыых, а также времени ь Иначе говоря, статистически система полностью определяется некоторой плотностью вероятности зе(х» у~ г» 4» %> 6~ хь — ги' 1). (3.1) 2. Сыстема находится в состояния термодынамыческого равновесна с термосгатом, имеющим постоянную температуру Т, т. е. ее макроскопыческое состояние определяется лишь внешними цараме- »Это полоиевие а несколько измевевпом виде посгулируегса в термодввамике в качестве одвой ю освоавых аксиом (см.

$12). »»Как ьпг уие заметили в предыдугпем параграфе, эвачевва априорвых аероатпосчей всегда определвютсх путем выдвииевих некоторых пгпогез о величввах этих аероатвостей, в дальвейшем провераемых мвогократпыми испытавиамв кви измеревиами аычислепвых средних. 25 трами а и температурой Т нля внешними параметрами и энергией Е (гак как Е= Е(а, Т), то Т= Т(а, ЕЯ. Следовательно, функция»г не должна явно зависеть от времени и должна быть функцией только внешних параметров а и полной энергии системы Е: »г=Г(а, Е), (3.2) где в »а Е= ~ Е». Е» =-(Й+4+ ф+ 0(кь ус. хс).

»-1 Действительно, если бы»г кроме а и Е зависела бы еще дополннтелъно от какой-либо ю координат или скоростей часпщ сжтемы, то средние значения термодинамических величин могли бы зависеть не только от энергии и внешних параметров. Из опыта же, как мы отмечали выше, следует, что все макроскопически юмеряемые параметры системы могут быть функциями лишь внешних параметров и температуры или внешних параметров и энергии. От времени функция в не должна зависеть по той причине, что при равновесии средние значения не зависят от времени. 3. Газ идеален, и поэтому изображающие его материальные точки не взаимодействуют друг с другом. Следовательно, отдельные молекулы газа могут рассматриваться как статистически независимые, т.

е. общая плотность вероятности (3.1) может быть представлена в виде произведения всех плотностей вероятности для каждой из молекул вс(х», уь хс; 4», гь (с). Поскольку любая часть идеального газа является термодинамической системой, подобной всему газу, постольку все в» также могут быть функциями лишь внешних параметров а и энергий отдельных молекул Ес, т. е. в»= дс(а, Ес). Таким образом, У и=П ас с-~ (3.4) я ~ я 1пГ1 а, 1 Ес)= ~ 1пр»(а, Ес). с-1 » ! (3.6) и Е(а, Е)= П рс(а, Ес).

с-1 Полученное функциональное уравнение позволяет определить вид функции д». Прологарифмировав уравнение (3.5) и воспользовавшись аддитивностью энергии, т. е; (ЗЗ), получаем Беря дифференциал правой и левой части (3.6) при постоянном а, имеем ХЕа хл с л и'а(а,Еа) У~ -Е -1 е-!ЩЙ Ю а 1 (3.7) где пггрихом обозначены производные по энергии. В силу произвольности 6ЕВ все коэффициеиты при этих дифференциалах должны быть равны, так как иначе правая часть ие может быть представлена в виде левой части. Следовательно, у'с(о. Ес) Р'В(е. Ю се'н(е, Ел) (3.8) — Р. дс(а, Ес) ЕЧ(а, Ею) Ил(а, Ел) Величииа 11 может быть только константой, так как все члены равенства суть функции различных независимых переменных. Сле- довательно, иитегрируя (3.8), получаем -Вга (еа(а, Ее)=А е (3.9) г-, сее=Аехрс - — ~- (4,+В)те+(че)+ У(хь уь га) кт~ г (3.10) Констаита А в этом распределении определяется из условия нор- мировки ~ сее(хь уь хе; 4е, В)е, (е)с(х„с(уес(хас(~есЬ)есКВ=1, (3.11) т.

е. посредством иитеграла а 2 2 +" Г СВ(х. у, х)11 -=Д~ехр~ — (4а+В)а+(а) ~с(4бе)с(Циехр~ — ' ' ~с)хс(ус(а ЮТ ~ ~ ВсТ (3.12) ЕВ тл. 3 это воловевве будет обоевоваво и там ие будет владело числовое всачевве аоветавты Болыиеава х. гт где А — константа, зависясцая от а и В). Коэффициент )) имеет размерность обратной энергии. С другой стороиы, средняя энергия идеального газа, как это следует из опыта, пропорциональна температуре, поэтому можно положить 1/В)=кТ, где к — константа, определяемая из опыта*.