Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 151

128. Р. 314; 1981. Ч. 131. Р. 1, статью Мур В. /(., Попов В. С., Сергеев А. В.//ЖЭТФ. 1990. Т. 97. С. 32 н цитированную в них литературу. 872 ДЗ. //!Ч-разлоэгапие в квантовой механике Метод 1//г'-разложения является расчетным методом, развитым в последнее время н используемым в различных разделах теоретической физика. Идея метода состоит в сконструированииэ параметра !у для рассматриваемой системы, прн значениях йг» ! которого решение задачи упрошаегся и возможно получение его в виде разложения по 1/Ф.

Пря удачном выборе параметра АГ область применимости такого разложения может сзатягиватьсяэ вплоть до значений А« 1, характеризующих исходную систему (сравнить с высокой точностью квазиклассического результатз для Е„ и при п — 1, хотя формальное условие применимости его и » !). Выбор параметра Лг связывается с расширением числа степеней свободы (числа состояний, размерности пространства и т.

п.) рассматриваемой системы. Ниже рассмотрено несколько элементарных реализаций такого подхода ') прн решении одночастнчного уравнения Шрйдингера. 1. Рассмотрим состояния дискретного спектра частицы в одномерном потенциале У(к) = — (/э/(х/а), представлявшем яму с одним мянимумом (в точке хэ = 0). По мере увеличения па- раметра нх вычисление выполняется элементарно). Проиллюстрнруем это обстоятельство на конкРетных потенциалах.

а) Для потенциала У (х) — УзсЬ з (х/а) (Д3.4) выражение (Дз,з) принимает вид (в выбранных единицах )(г = = ~/У " =ч/2У ): Е„(1/У)= — 81~+ 1/2 (а+ — ) Ф вЂ” 2 ( о~+и+Я+0(й( ')м 1 1 = — и,+ч/2У ( + 2) — 2 ( + + 2). (ДЗД) 1 Сравним его с точным спектром [1, $23) 1 Г 12 Ез 8 ['1/1+ 8Уо (2п+ 1) [ (ДЗ.6) и с квазиклассическнм выражением Е"„', отличающимся от (ДЗ.6) лишь заменой 1+8Уе на 8Уе. Для основного уровня при различных значениях Ж имеем Для первого возбужденного уровня, а = 1, получаем М=ч/Уз — Е) (1/г() — Е~ 8,766 8,732 8,640 2 1,007 0,942 Екв 0,882 Заметим, что этот уровень появляется нри значении Уз 1 (согласно (ДЗ.6) общее число дискретных уровней в рассматриваемом потенциале прн Ф Ъ 1 составляет Мтр ж Ч/2 3(). Обсудии на примере нотенцнала (ДЗ.4) вопрос о волновых функциях частицы в приближении 1/й1-разаожеиия.

По формулам теории возмущений (тГП1. 2) получаем Ч'0 (Х) ~Чиб (х) + 42ьрз (Х) + с04Чгч~ (Х)1' (Д3.7) где Ч.'„(л) — собственные функции линейного осциллятора с час!о! тотой е Ч/2Уе. ПРи этом возмУщеняе осцилпятора имеет внд 1,5 0,318 0,231 0,193 3 3,886 3,842 3,761 2 (г — — Уохо, так что отличные от нуля коэффициенты разложения сф = (й ( )г ( 0) равны с$= 1/4 )/Уо, сЬ)~ = 1/8 Ч/ЗУо.

Подчеркнем, что волновая функцияо) (ДЗ.7) нормирована на единицу с точностью до членов второго порядка по 1/М. Точная волновая функция основного состояния имеет вид Чго(х)=Асй тох, з= 2 ('~/80а+ ! 1) см. (1, $23). Нормировочный коэффициент легко найти для значений Уо = 1 (прн этом з = 1) и Уо = 3(з = 2): А(1) и =*!/Ч/2 н А(3) Ч/3/2.

Сравним значения волновых функций в нуле. При этом Ч'о(0) = А, а Ч'е(О) -Ч ',"(О) (! — 3/8 /ЗУ,) =( /2Уо/ )" (! — 3/8 Ь/ЗУо) и для отношения /7 = Ч'о(0)/Чго(0) получаем: Я 1,0048 при У, 1 и /(= 1,0020 при Уо 3. Как видно, !/Ф-разложение обеспечивает высокую точность как при расчете энергетических уронней, так н волновых функций в существенной области их локализации даже в случае сравнительно небольших значений М, когда в потенциале сушествует всего несколько дискретных уровней. Следует ожидать, что это обстоятельство будет проявляться и в общем случае для достаточно «гладких» потенциалов.

Рассмотрим еще аесколько примеров. 6) Для потенциала У(х) = Уо(а/х — х/а)о в рассматриваемом приближении получаем (г/ Ч/Уо, положено а = 1) Еа (1/г/) ~ Ч/ЗУ« (л+ 2 ) + 8 + ' ' ' (ДЗ.8) Сравнение с точным выражением для спектра Е„=Ч/ЗУ, ~ + — '+ — '( /Зи, +1 — т/ЗУ,)~ (ДЗ.О) показывает и в этом случае высокую точность результата 1/Ф-разложения при значениях й/~1! так, при й/ 1 для основ. ного уровня Ео/Ео 1 026. в) Для потенциала (Уо ~ О, а » О, Ь ) 0) У(х) Уо(е ежа Ье "/а) о) Приведенное выражение для волновой функции справедливо лишь в области существенной локализации частицы (и неприменимо на больших расстояниях в классически запрещенной области; в этой области для в.

ф. можно воспользоваться квазиклассическнм выражением) . 874 РассматРиваемое 1/М-Разложение даЕт (Ы =.~/Уз, а= 1): Ел (1/Ы) — — УзЬ + 1 4 + ~/ — УзЬ (в+ — ) — — (л+ — ) + ... (Д3.10) Приведенные три члена разложения совпадают с точным резуль- 2 татом для спектра Ел = — 8 ЫУой~ — (2п+ 1)1, сравнить с [1, $23). 2, Рассмотрим теперь энергетический спектр связанных з-состояний частицы в центральном потенциале у(г). Вычисление его с помощью 1/)т'-разложения можно выполнить, если исходить из решения уравнения Шредингера для ЬГ-мерного пространства.

В Дг-мерном пространстве для сферически симметричных функций имеем') Ь/(г) =/ +, /. М вЂ” 1 гз= ~ха. г 1 — — т,"+ (Мз/Згз+ Рг !)(= Ет, 2 Выполнив разложение У,е в окрестности точки г, = (/)т/4Р)мз минимума эффективного потенциала: !/Ь= — Рд ! + — Рд!хт — 2Ри(зх + — Рях +..., 3 -!з 3 !з т з б ч 2 2 2 ') Этот результат легко получить, если воспользоваться соотношением Ь = б!ч игад и учесть, что йтаб /(г) = /'г/г и б(тг = Л'. 875 Поэтому уравнение Шредингера для з-состояний подстановкой Ч'=Х(г)/г~ с т= ()т' — !)/2 сводится к обычному одномерному уравнению Шредингера (ниже й = лг = 1): 1 (йг — !) (Ьг — 3) — —,ХЯ+(У„Ь(.)-Е) Х=о, У„= — „+У(,). (ДЗ.11) Прн больших значениях Ф благодаря квазнцентробежному барьеру й(з/гз волновые функции и энергетический спектр состояний вблизи минимума эффективного потенциала обладают свойствами, подобными отмеченным в пункте 1 для потенциала У = = Уа/(х/а) прн У,-~со н могут быть рассчитаны указанным там способом.

Для решения уравнения (Д3.11) при Ы » 1 с помощью разложения по параметру 1/Ы удобно сначала получить решение в виде разложения по параметру 1/ЬГ, где Мз = (М вЂ” 1)(Ы вЂ” 3) н уже в нем выполнить разложение по 1/М. Рассмотрим приложения изложенного метода к конкретным потенциалам. а) Для потенциала У = Рг уравнение (ДЗЛ 1) принимает внд где х = г — гз н Е = 4Р/Яз, получаем (поступая как и при выводе формулы (ДЗ.З)) Ео (1/У) = — РЕ Оз+ — 1/ЗРЕ / + — Ез/з+ ... (Д3.12) 3 ! 1 1з 1 Отсюда, имея в виду, что Е 4Г/(Уз — 4У+ 3) ж 4РУ з(1+ 4/У+ 13/Уз) (Д3.13) приходим к выражению для ввергни основного уровня в виде 1/У-разложения З гЕУ ж' Ео (1/У) = — ~ — ) Х 2 2 3 гручз/з — — — (1 — 0,17863У '+ 0,02906У з+ ...).

(ДЗ.14) 2 2 Положив У 3, получаем Ез 1,8549РзГз, что лишь на 0,05 % отличается от точного значения Еа (11(Рз/2)ыз = 1,8558гз~з (здесь †(1,= — 2,3381 — первый нуль функции Эйрн, А1( †(1,) =0; сравнить с 2.8). Отметим также, что применительно к одномерному потенциалу (/ = Г)х( формула (Д3.14) прн У = 1 дает Ез 0,8036Емз, в то арами как точное значение Ез 0,8086гчм. Столь высокая точность формулы (ДЗ.!4) определяется тем, что в данном случае параметр разложения можно оценить как м 1/5У.

б) Для потенциала (/ мг', поступая аналогичным образом, находим !згУзчж~! 4ч/б 44 Е,(1/У) 3„0 ( ~~ Г, + + ...1 16 ЗУ 27Уз и переходя как в (ДЗЛЗ) к параметру разложения 1/У, получаем Е / цз(У')ЮХ 8 (ч/3/2 — 1) 50 — 24ч/6 ЗУ 27 Уз Зицз(Уз/16)з)з(1+0 И93У 03255У з+ ) (Д315) параметр разложения м1/2У).

Отсюда, положив У = 3, имеем з 2,379аыз, что отличается от результата точного численного решения уравйения Ц1редиигера, Ез — — 2,394аыз, всего на 0,4 тз. в) Для кулоновского потенцнала (/ — а/г находим 2ез г 2 2 Ео(1/У) = — - ~! — - + — + ° ° ). У 1, У У 876 Переходя, как я вмще, к разложению по параметру 1/У, получаем Еа(1/У) = 2п»У-»(1+ 2/У+3/Уз+ ... ). (Д3.16 Здесь по сравнению с (ДЗ.!4) н (ДЗ.!5) сходнмость разложения азатягивается».

Это разложение можно чулучшкть», если воспользоваться параметром разложения 1/(У вЂ” 1). При этом ны. раженне (ДЗ.!6) принимает нид Ез(!/(У вЂ” 1)) = — 2п»/(У вЂ” !)з, что совпадает с точным результатом. Указанное изменение параметра разложения связано с тем, что оно при У = 1 обеспечявает епаденне на центр» (дает Ез = — ), возникающее в кулоновском потенциале з одномерном случае, см. 8.61, СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1, Ландау Л. Д., Лифшиц Б. М. Квантовая механика.— Мл Наука, 1989. 2, Блокинцге Д. И. Основы квантовой механики.— Мл Наука, 1983.

3. Давыдов А. С. Квантовая механика. — Мл Наука, 1973. 4. Соколов А. А., Тарное И. М., Жуковский В. Ч. Квантовая механика. — М.: Наука, !979. 5. Блюгин П. В., Криеченкое В. Д. Квантовая механика.— Мл Наука, 1976. 6. Мгссиа А. Квантовая механика. — Мл Наука, 1978. Т. 1, 1979. Т. 2.

7. Шифф Л. Квантовая механика. — Мл НЛ, 1957. 8, Коган В. И., Галицкий В. М. Сборник задач по квантовой механике. — Мл Гостехиздат, 1956. 9. Гольдман И, И., Криечгнкое В. Д. Сборник задач по квантовой механике. — Мл Гостехнздат, 1957. !О. Флюггг 3. Задачи по квантовой механике. — Мл Мнр, 1974, Т,Т. 1, 2. 11. Кронин Дтс., Гранберг Д., Тглггди В. Сборник задач по физике с решениями. — Мл Атомиздат, 1975. 12. Дирак П. А. М.