Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 149

= — рЧ'„ так как Оу, = — узО. 15.30. Уравнения Дирака для двухкомпонентных спипоров в случае безмассовой частицы, т = О, имеют вид (сравнить с 15,21, и = 2в = з/з) дХ - с-- !3 — = сарр = — арф. (1) д! 3 дф - с = с'трХ = — — з рХ. д! з 858 Оии содержат два спинора ф н Х, описывающие спиновые свойства частицы с з = 1/2 по отношению к чисто пространственному вращению системы координат и независимым образом преобразующиеся при таком преобразовании (но не при преобразо. ванин Лоренца). Естественное обобщение уравнений (1) на случай частицы с произвольным спином з (и массой т = О) состоит в отождествлении в этих уравнениях ф и Х с двумя спииовыми функциями, отвечающими спину з н имеющими по (2з+ 1) компонент каждая; при атом под в следует понимать оператор спина величины з.

В случае спина з = 1 удобно воспользоваться векторным представлением, в котором компоненты спинозой функции являются декартовыми компонентами вектора (см. задачи $4 главы 3),а операторы компонент спина определяются соотношениями зуаь = — !епкпь Прн этом д з роз йг))гаь = — Ьвгы — а1 = Ь (го1 а)ы дк т. е. (зр)а=йго1а, и отождествив в уравнениях (1) ~р и Х соответственно с векторами д и )Ж, приходим к уравнениям 1 д — — д го1 Ж, — — — Ж = го14', 1 д с дт с дг представляющим часть системы уравнений Максвелла. Два других уравнения, б)ч8=0 н б)чЖ=О, выступают как дополнительные условия, накладываемые па векторы 8' и Ж. В классической электродинамике они приводят к попсречности электромагнитных воли, а в кваитовомеханическом аспекте соответствуют исключению состояний фотона с равной нулю спиральностью.

Заметим, что подробное изложение квантовой механики фотона содержится в книге (29). 15.81. Плотность тока и плотность заряда для дираковской частицы описываются выражениями (Х'т". 7) ) = есЧ"аЧ' ~!есЧгуЧг, р = еЧ"'Р— = еЧгучЧ' (1) (подчеркнем, что они справедливы как для свободной частицы, так и для частицы во внешнем электромагнитном поле), В нерелятнвистском пределе (энергия частицы в яз тсз) /Ч~ в волновой функции (бнспиноре) Ч'=( ) нижний спинор Ж Х удовлетворяющий уравнению дХ г- е Гй — = сп (р — — А) ~р — тсзХ + еАзХ, дт ~ с приближенно равен (так как при этом И вЂ” яз тсзХ) дХ з дг 1 г- е Х~ — и (р — — А) ф, т.

е. (Х).ь. (ф(. 2тс ч с Соответственно в. ф. частицы описывается выражением (2) 859 а комплексно сопряженная в. ф '-(* ( —..'. (--:") )')- =(р', 2 ( — р — — д) р"и). (3) Подставив выражения (2) н (3) в формулы (1), находим с точностью до членов порядка (!/с)з р = е%'Ч.' яе еф'ф, (4) ест'( )% = =..(,, ' (; ");.)(,~..и —.')) )- пф ~ф'о (о (Р - — А)) ф — «Р+ — д) ф'и) ф1 (5) Воспользовавшись соотношением а~о» = Ом+ )емш~ для матриц Паули, выражение (5) можно упроститтс г = 2 ~ф'огнь())ь —.4а) ф «))а+ — Аа) ф') оеогф~= е 2е - — ~ф'Ф,ф — (Ф,ф*) ф — — Ар'ф + + !в!и (ф ог))аф+ (Рьф*) огф) ~ и так как при этом ,„,1ф'~, ~ ф+( ~ ф')о!ф1 = в — ф*о!ф — (го! (ф'оф)), д "ь то получаем !ей ез, ей ) = — — (ф*Рф — (ф р') ф) — — Аф'ф + — го! (ф*оф), (6) 2т шс 2лт что совпадает с формулами (Ч!1. 4 — ЧП.

6) нсрелятивнстской теории для плотности тока частицы со олином з = 1/2, имеюшей заряд е и магнитный момент р = ед/2шс. 15.32. Учитывая явный вид матриц Дирака (ХЧ.5) н тензора электромагнитного поля 35» О Ры = — Ры= 13'ь Рш = в~а!реп ~',й 1,2,3, — Яз рфе !Ю» Ме . 35» О М» — 13» !егы — !4г» О рассматрнваемый гамнльтониаи легко преобразовать к Э сир — м))лМ .(- 1~~3ай( -(- глаза. (1) Прв атом волновое уравненне И вЂ” Ч' ОЧг приводит к след д! дуюшим уравнениям лля двухкомпонеитиых спиноров !р н в биспииорной волновой функции Ч' = ~ у /р~ Х' д И вЂ” р = сор Х + язсзв + !нпй'Х вЂ” нпср, д! д !» — Х = и ф — тсзХ вЂ” !ипй р + о)йх. д! Для перехода к нерелятнвистскому пределу, когда энергия частицы е сэ ягсз, следует, как обычно, выделить из волновой -гжс г(а функции множитель е (, т.

е. записать ее в виде Ч': ) н учесть неравенство ~х~ (!» д Ч ~-)ЕЧ') «пгсз)Чу), Ч'=(<~) (З) в выражении И вЂ” Чг = е ! язсзЧг+ И вЂ” Чгэ( д -гжсзгаГ - . д д! д! (Š— характерная величина энергии нерелятнвнстской частицы). При этом второе нз уравнений (2) принимает внд 2тс'Х вЂ” ипЖХ+ И вЂ” Х = (сор — !ноЕ) ф. д! Из приведенных соотношений с учетом предполагаемого неравен- ства (нЗВ) ~ гпсз следует 1 / (х Х~ — (ор — — ой') ф 2пзс ч с (5) д„1 / (и Ч/ рл И вЂ” ф = — !чпр + — об'уз зчор — — пЕ ) ф — иаМф. (6) д! 2яз ~ с ~~ с (заметнм, что (Х) «!р), кан и в случае свободной нерелятивистской частицы). Далее, подставляя (5) в первое из уравнений (2) (предварительно выделив из спнноров ~р и Х множитель с-гт"г!а), по- лучаем Записав здесь пр = ы,))п пс = азд'з и воспользовавшись соотношением и;оз = 6м + (зм|ш для матриц Паули, находим (пр) (пЮ) — (пй') (ар) = (р8) — (6'р) + 1 [р8] и — 1 [8'р] и, причем (р8) — (Ер) = — И б)ч 6', [ рй'] — [8'р] = — И то1 8 — 2 [Юр] пг — 2 [8'р] (так как го18 = — дрй/сдй то слагаемое с го1Р можно опустить как более высокого поридка малости по 1/с; в стационарном случае оно обращается в нуль тождественно).

Учитывая эти соотношения, равенство (пр)з = рз н пренебрегая слагаемым оз (ст/с)з, приводим уравнение (6) к виду И вЂ” Р = — ф — кпаф + — (ч — — 6!ч 8 — [8*Р] и) Ф. (7) д рз к Г й д1 2гл лгс 'ч 2 В пренебрежении «малым» спинором 2 в волновой функции Ч', это уравнение является уравнением Шредингера с гамильтоннаном рз к г й ц = — — кайр+ — ~ — — 61т 8 — [8р] и), (8) 2лз лтс ч 2 сравнить с гамильтонианом Паули (ЧП. 1).

Отсутствие в Н слагаемого еА, означает, что описываемая им частица является нейтральной (Аз — скалярный потенциал внешнего электростатического поля), а наличие слагаемого — кпМ указывает на то, что частица имеет магнитный момент, равный р — = к. Последний, третий член в выражении (8) описывает спин. к орбитальное взаимодействие. При этом слагаемое — — [8р]п тс в этом взаимодействии является естественным квантовомеханическим обобщением энергии взаимодействия двнж)чпегося клас. сического магнитного диполя с электростатическим полем, обсуждавшимся в 13.60.

Гаыильтоннан (1) и его псрелятивистский предел (8) используют для описания нейтрона в электромагнитном поле. Выражение — м'руту г"т применяют также для описания взаимо- 2 действия с электромагнитным полем аномального магнитного момента м' заряженных частиц со спинок з = 1/2. При этом взаимодействие нормальной части магнитного момента, равной ей/2шс, как и заряда е частицы с полем, описывается выражением †з + еАю Соответственно релятивистское волновое 862 уравнение для такой частицы в электромагнитном пол таил о поле имеет ви Сй — ср = ° са (р — — А) -'г тса() +еАн+ — '() р ~'йг учун «и ) (са (р — — А) + тсср) и = еи, ыс сас сра(г, С) =не =( )е /ср'1 Х или для двухкомпоиеитных спиноров (е — тс ) ср = си (р — — А) Х, с (в+тес) к= си (р — — А) ср.

с (1) Исключая спинор Х нз этой системы, получаем (е' — т'с') ср = с, (и (р — — А) ) ср. (2) Это ураннеиие, воспользовавшясь соотношением (и (р — — А)) = (р — — А) — — прй, Я = го1А (см., например, 7.10), можно записать в виде отличающемся лишь заменой Е на (е' — т'с')/2тс' от уравнения Паули для частицы со спином з = 1/2, имеющей заряд е и магнитный момент Р = ея/2тс. Уравнение (3) для случая однородного магнитного поля Рйа было решено в 7.9.

Прн выборе векторного потенциала А = (О, ррах, О) решение уравнения (3) 863 (напомним, что для частицы со свином з = 1/2, имеюнхей заряд е н магнитный момент Р, «разбиение» последнего на нормальную и аномальную части определяется соотношенвями ей ч Р = Рнорм+ Ранам Рнорм = Ранам 1С вЂ” — ). 2тс ' 2тс /' 1З.ЗЗ.

Энергетический спектр и соответствующие бнспинорвые волновые функции стационарных состояний частицы определяются из решения уравнения Дирака в магнитном поле (е — заряд частицы) имеет вид 2 я о 2 1 е/ьуро рг в — те 2тс 1ьйв (л+ — ) — — а + — ~, лр о ох 2! 2тс г 2т~' л=б, 1, ... Х Нл ( — ( г — М )) фо (4) (е)эоо / дс во= а= ч/ тс ' !/ ) е(дуо где постоянный спииор ф является собственной функцией оператора а, отвечающей с.з. а, = ~1 (подчеркнем, что ось г направлена вдоль магнитного поля).

Второе из уравнений (1) определяет снинор )(„р ргт, а тем яргог' самым и в. ф. Ч'ар р о рассматриваемых состояний. аррроо, Заметим, что в нерелятивистской теории квантовое число з, = а,/2 определяет проекцию спина частицы на ось г. В релятивистском случае а, утрачивает этот смысл, так как спинор йлр р о Уже не ЯвлЯетсЯ с.

ф. опеРатоРа а, а соответственно " а г г и в. ф. Ч'л р о не является собственной функцией оператора 1 про р 0 зг= — Ха. Тем не менее, имеющее место в нерелятнвистской теории для дираковской частицы вырождение уровней поперечного движения по значениям а„см 7хй согласно (4) сохраняется и в релятивистском случае. Выражение (4) дает два значения энергии, различающиеся знаком.

Одно из них, в ) тс', непосредственно представляет энергетический спектр частицы; другое, а ~ — тсо, соответствует античастице, имеющей уже положительную энергию (сравнить со случаем свободной частицы, рассмотренным в 15.27). При этом энергетические спектры в магнитном поле частицы н античастицы одинаковы — очевидный физический результат (сравнить со случаем бесспиновой частицы в магнитном поле, рассмотрен. ным в 15.11).

15.34. Гамильтониан дираковской частицы во внешнем электростатическом поле //= сир+ тс'5+а~Аз(г) /то+)г. )г=е~Ао= Уев~/г. Рассчитаем дифференциальное сечение рассеяния частицы со. гласно формуле теории возмущений для переходов в непрерыв- где, как обычно, 1щ = рз — рь Воспользовавшись соотношениями (Π— угол рассеяния) (нр,) (ор,) = дыр гангах = дыры (бы + 1агя!пд = Р~Рз+ ! [Рай~]п = Р' соз Π— !Р' в(п 8 пч1 ч [р!рз]![[р!рз]! ч = 1, ! г с( г 4п пй е чг г йа рз з!пз (О/2) ' преобразуем выражение (5) к более удобному виду: п2ее~йз йаре ~/о (в+ тот) з1пе(8/2) К с7 ((е + шс')з+ рас' соз Π— !рзс' з(п 8 от) фг (6) Формулы (3), (4), (6) определяют дифференциальное сечение рассеяния. Оно зависит от энергии частицы, угла рассеяния, а также от спнновых состояний частицы до и после рассеяния, описываемых спинорами фь ь Не интересуясь поляризационными явлениями при рассеянии, выполним в дифференциальном сечении усреднение по спиновому состоянию частицы в падаюшем пучке, предполагая его неполяризованным, и суммирование по независимым спиновым состояниям рассеянной частицы (ниже эта операция обозначена чертой над матричным элементом).