Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 148

В заключение заметим, что совокупность существующих экспериментальных данных свидетельствует о том, что нейтрино проявляет себя как частица с отрицательной спнральностью. 15.25. В системе координат К, в которой частица покоится и имеет энергию е = шст, ее спиновое состояние описывается Г Фэ'г биспииором и (О) ~ у где ф, — некоторый двухкомпонент. ~ВУ по формулам (1) н (2) получаем Его связь со средним значением вектора спина в системе покоя 1 ° частицы, Равным з = — ФепФо, легко Установить, если напРа- 0 2 О вить ось г вдоль вектора р и воспользоваться свойствами (т'. 3) матриц Паулы: щс~ зе, з, .т щсз з зе, : з , = зе, ° ( 5) Рзву1Р сравнить с 15,23. 15.26. имея в виду, что ангра — — их (р) ехр ~ †„ (рг — ег)~, Фх пх(Р) =( спр ~( пх(Р) = (Фь Фх + з ) ь в+~' Фх л находим Р,ь.у„,-пхпх-Фх,~~(+ 2в = е+ тсз Фью" бай что доказывает ортоюнальность рассматриваемых спиновых состояний релятивистской частицы, отвечающих различным зиачепням Х (при этом использована ортогональность Фх.фа=ба.ь двухкомпонеитных спииоров как с.ф.

эрмитова оператора пп). 853 Это выражение для бнспинора и(р) согласуется с видом общего решения уравнения Дирака, найденного в 15.21. В этом смысле существенным элементом полученною результата является установление того факта, что спинор Ф в биспиноре п(р) = ~ ) у ф'т Х во всех лоренцевых системах одинаков (с точностью до нормировки) н Равен Фв ИспользУЯ ноРмиРовкУ Фефе 1, полУчаем сРеднее значение вектора спина частицы в системе К', где она имеет импульс р, в виде 1 — и'Хи 2 в+ щсз сз Ответы на вопросы, поставленные в условии данной задачи, становятся очевидными, если учесть результат предыдущей за. /Ф 1 дачи. Согласно последней спииор ф в биспиноре и (р) Х описывающем одно и то же физическое состояние частицы с определенным импульсом, в различных ииерпиальных системах коор.

динат одинаков (с точностью до нормировочного ыножителя). /Ф'з В системе покоя частицы биспинор имеет вид и(0) = ~ ~ и со- (,0! ответственно иь(0)=~ у Но в системе покоя частицы уран. / Чзх 'т (,0/' кение (ап) фх = Ьрь эквивалентно (Хп) их (О) = Хих (О), (1) т. е. является уравнением иа собственные функции оператора Еп 2з п — удвоенной проекции спина на ось, направленную вдоль вектора и. Таким образом, наглядный смысл вектор и, фигурирующий в определении биспинора их(р), имеет не непосредственно в исходной системе координат, в которой импульс частицы равен р, а в системе, где она покоится, определяя направление, на которое проекция спина частицы имеет определен- 1 ное, равное Х/2 значение. Далее, вектор — ф'вр определяет 2 среднее значение вектора спина в системе покоя частицы (во избежание недоразумений подчеркнем, что в задаче рассматриваются состояния частицы с определенным значением импульса н именно поэтому имеет смысл говорить о системе покоя частицы).

В заключение заметим, что рассматриваемой задаче о классификации спиновых состояний частицы с определенным импульсом по квантовому числу Х можно придать ковариантную форму. Для этого введем оператор гпч — чз ч л = 'Узй — (Уз (У" + Узчз) ~ ) (2) ч чо — ач где ю =. (ч, чз) — некоторый единичный 4-вектор, так что тз = з чз з + ч, = 1, ортогональный 4-импульсу частицы р; = (р, (е/с), т. е. яр~ = чр — таз/с = О, а т, = (чз. При этом уравнение Лпх (р) = Хлх (р) эквивалентно уравнению (оп)фх=йфю где связь трехмерного вектора й с 4-вектором ч~ определяется тем условием, что в системе покоя частицы ю имеет вид ч~ = (й,0). Действительно, Хпа— (4) Далее, выразив ч, и, через компоненты (п, 0) с помощью преобразования Лоренца для 4-вектора: в т и +и =и + — пр где знаки 1, (1 соответствуют перпендикулярным и параллельным составляющим векторов по отношению к вектоРу Р/1Р~, получаем тз(в — щс*) Р тсз ср' + — т1 —— п.

в стор в+ тс' При этом, как видно, верхний спинор в биспнноре (4) совпадает с (пп) ф . Аналогично убеждаемся в справедливости соотношения ( с (пч) (ор) ~ с (ор) то е -1- тсз у х в -1- аист уз ф = — (оп) ф для нижнего спинора в (4). Из приведенных равенств и следует эквивалентность уравнения (3) уравнению (оп) фх — — Хф Заметим, наконец, что такая эквивалентность уравнений очевидна из следующих соображений. Введенный оператор Х является скалярным (точнее, псевдоскалярным) оператором по отношению к преобразованию Лоренца. Соответственно из ковариантности уравнения (3) вытекает, что выполнение его в одной из систем отсчета автоматически обеспечивает справедливость уравнения я в любой лоренцевой системе; а в системе покоя частицы уравнение (3) имеет вид (ип) фх йфх. 15.27. Решения уравнения Дирака, отвечающие определенным значениям импульса и энергии частицы, имеют вида), см.

15.21, -'=(~,) "" "'- вв~щсз и е з (1) — я — (рг-ы> х з) Обращаем внимание на соответствие таких обозначений использованным ранее в случае бесспиновой частицы, см. 15,1. 855 учитывая выражения для биспинора их(р) и оператора й, иахо. дим где в 'и р с +и с )тс. При этом решение Ч' имеет 22 24 2 + физический смысл волновой функции состояния частыцы с ым.

пульсом р н энергией в. Решение ЧР, отвечаюшее формально отрицательной зиергии н импульсу — р, не имеет непосредственного смысла в. ф. состояния частицы. Такое решеные сопоставляется античастице, причем в. ф. античастицы Ч'+ = СУ получается в результате применения операции зарядового сопряженыя С к функции рр,, Это преобразование при используемом выборе (Х'гг.б) матриц Дирака записывается в явном виде следуюшим образом: Ч с р СЧ у2у«Ч 2 4( ()) (2) или более подробно, с указанием биспинориых индексов: <~с )и (узу4)аа (~ й)З = (узус)оа (~ )» ))»З = (узус)аз ()а| ( )» (узус())а» (Ч )» (уз)а» (Ч )» (3) (здесь использовано, что () у,, ()з 1, й»З=))а»). Воспользовавшись соотношениями ,'„~, м'„)~ -р (р о' = (ор, — ор, ор), пзо — ооз, согласно (3) находим в.ф.

состояныя античастицы, соответствую- щего «нефизическому» решению РР»з уравнеыия Дирака: в р р р г рч'с Сь С.с~ р — гкр выражение (4) в виде что по форме совпадает, естественно, с волновой функцией аналогичного состояния частицы с импульсом р н энергией е.

Волновая функция состояния античастицы с определенной спнральностью Ч'+ ь удовлетворяет уравнению 1 — (ЛП) Чге" еь )еЧ'е+ Эеш П = РГ( р(, нз которого следует 1 — (нн) Ч~е ь = )нре, эь (6) 1 — — (нп) Х„~ = йуех во избежание недоразумения подчеркнем, что спинор Хр ( ветствует решению уравнения Днрака с импульсом — р; поэтому 1 оператором спиральности для него является — — (нп)) . Это 2 означает, что прн зарядовом сопряжении Чгг =СЧг квантовое число слиральность сохраняет свое значение (в то время как импульс н энергия изменяют знак; отмеченное свойство спираль- ности наглядно проявляется в «тсорнн дырок», в которой античастица интерпретируется как дырка среди заполненных состояний частицы с отрицательной энергией).

76 11 16.28. Коммутативность эрмитова оператора уз = — ~ О) ГО нхс гамильтонианом Н сар с ~ ) Р безмассовой диракомн О) ской частицы очевидна: [уе, Н) = О. Для выяснения физического смысла с. з. Р оператора уе найдем общие с.ф. Ч', „коммутирующих друг с другом эрмнтовых операторов Н, р, уе. Эти функции ннеют вид в Рн Ч вЂ” „(рг-ег1 Чгрен— - с )е, в=~рс (!) ре" (, — пр„) е эн (сРавннть с 15.2Ц, пРнчен из УРавнеииЯ Уа'Р, „= РЧг, „следУет с с --пази-Рави -Фзн=р-нрав« (2) 857 Учитывая установленную выше связь спинора фе в в. ф. анти частицы со спииором Х в (решении Ч'„уравнения Дирака (Р р= — (нзу„,'), замечаем, что уравнение (6) эквивалентно уравнению Отсюда рз = 1, т. е.

собственные значения равны р = ~! (что, впрочем, очевидно заранее, так как ув 1). Имея в виду соотношения (2) и равенство (ор)' рз а'/сз, замечаем, что уравнения "тв"явяв — — !ь'Рвсн н (дп) Рван — — — р —,) тупея, (3) !в где и = р/Р, эквивалентны друг другу. Отсюда следует физический смысл величины †)ге/(з( как удвоенного значения 2Х спиральности состояния.

Таким образом, для решений уравнении Дирака с положительной энергией в = рс ь 0 имеем р = — 23, а для решений с отрицательной энергией (сопоставляемых античастице) уже р = 23; в связи с данной задачей см. также !5.27 и 15.29. т 15.29. Так как Ря = Р, то эрмитовы операторы Ря = 1 — (1 ~ уз) являются проекционными, см. 1.31. Имея в внлу 2 установленную в предыдущей задаче связь с.з. оператора уз со спиральностью Л, замечаем, что оператор Р~ проектирует на состояния: со сппральностью Х~ = †!/2, действуя на решения уравнения Дирака с положительной энергией, и с Хт.= +!/2— в случае отрицательной энергии (т. е.

для состояний, сопоставляемых античастиие, сравнить с 15.27). Оператор Р проектирует на состояния с противоположными значениями спиральности. В заключение заметим, что противоположность по знаку значевий спиральности частицы и античастицы, сопоставляемых с.з. р матрицы уз, связана с тем, что уравнение У,Ч' = РЧ' «ри зарядовом сопряжении прпнлмает вид уз'Р.