Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 147

В нерелятивистском случае первые девять операторов коммутируют с гамильтонианом свободной частицы Й« = р»/2пь В релятивистском случае ситуация несколько иная. Сохраняющаяся комчутатнвность оператора импучьса р с гамильтоннаном свободной частицы является отражением свойства однородности пространства, так же как коммутатнвность оператора суммарного момента частицы ! = 1 + з с Й вЂ” следствие его изотропин.

Однако в отдельности операторы 1 и а не коммутируют с гаиильтоннаном. Это означает, что в релятивистском случае имеется некоторая кинематическая корреляция между возможным спиновым состоянием частицы и ее орбитальным движением (сравнить с 15.23). Об этом свидетельствует также и некоммутативность оператора квадрата орбитального момента !» с Й. Тем не менее, согласно 1) н 8], спнральность по-прежнему является «хорошим» квантовым числом.

Коммутативность оператора отражения Р = [)1 с гамильтониааом свободной частипы является отражением зеркальной симметрии свободного пространства (неразличимости «правого» и «левого»). При этом ввиду отмеченной выше корреляции спинового и орбитального состояний час«хны оператор отражения уже пе сводится лишь к инверсии координат ], а «дополняется» преобразованием спинового состояаия частицы.

15.21. Решения уравнения Дирака для свободной частицы, соответствуюшие определенным значениям энергии а и импульса р, имеют вид Ч'р«(г, 1) = и (р, а) ехр ~ — (рг — аг)~, где биспинор и(р,е) удовлетворяет стационарному уравнению Дирака, см. (Ххг. 4), (сир + тсер) и (р, е) = еи (р, е), нли, для двухкомпонентиых спиноров, сор)(+ треф = еВ, и(р, е) =~ (3) сорЧ вЂ” тс'Х = еХ ' (х Х 1' Второе из уравнений (3) дает с е -1- тсе Рей (4) н после подстановки этого выражения в первое из уравнений (3) получаем (с учетом соотношения (ор)е = р'): сер' е -р енсе ш = (е — тс') ер, Отсюда следует, что е = Л дур»се + т'се .

Г!Ри этом спинор и остается неопределенным н может быть выбран произвольным образам, прачем двумя независимыми способами (длн каждого из двух различающихся знаком значений е). Таким образом, при фиксированном импульсе р существует четыре независимых решения уравнения Дирака вида (!), для которых биспинары и(р, е) равны и(р, е=Е)= / й'2 сор ), и(р, е= — Е)=1 сор, (5) Е+ енсе ер ~ — Е -(- енсе 2 I ! Ч рел и (Р е Л) ехр ех й (Рг Ш)) 'рл и(Р. е, Л) снр Х е+тсе л»г 847 где Е = + ъ( р'с'+ т'с' ~ )тс'.

Существование решений уравнения Дирака, отвечающих формально отрицательной энергин часпщы, ассоциируешься с состояниями античастицы, см 15.27. Именно в связи с «теорией дырок», сформулированной Дираком для наглядной интерпретации состояний с отрнцательной энергией, в возникла концепция с и т и ч с с т и и ы. Для конкретизации вида спинора и, а с ннм и в. ф. (!), (5), воспользуемся коммутативностью эрмитова оператора Л = Хр с операторами р и Н и введем полную систему с.

ф. Ч'р,л. При этом нз уравнения ЛЧ'рел —— ЛЧ"рел, где следует /а (ор)фл-йфд, или 1 2 и) фд-йф„, и —, й 2А[р[. [р[' (Б) Решения уравнения (6) были получены ранее в нерелятивистской теории спина, см. 5.3 и 5,20; напомним, что состояния частицы с определенным значением )г (с.з. )ь равны ~!/2) называют спиральными. В заключение отметим, что при зарядовом сопряжении спкральность ь не изменяется, см. 15.27 (в отличие от значеаий р н а, изменяющих знак; отмеченное обстоятельство наглядно проявляется в теории дырок). 15,22, Подставив в известные выражеаия (Х'тг.

7) 1= сЧ:"аЧ' - =!сЧгуЧг, р = 'Р'Ч' = — Ч"[РР (1) волновую функцию состояния дираковской частицы с определен- ным импульсом р и энергией в = ц р'с'+ тас~ ) гпсз Ч'р — — и(р, а) ехр~ — (рг — ет)~, 16 (2) где биспицор и равен (см. предыдущую задачу) 2е Х е+ шст получаем р = Ч"Ч' = и'и = ф"ф, ) = сЧ"аЧ.' = си"аи = (4) к в+пса си (ор) в+ а,г оф ф* [б (ар) + (ар) и[ ф. (5) в+ шса (значение У выбраяо таким образом, что нормировка биспннора и совпадает с нормировкой спинора ф, т.

е. и*и = ф*ф; напомним, что и' = й) (ф', )(*) = У (ф', ф" —,1, (ир)' = р )» е+ тс' )' Отсюда, воспользовавшись соотношением а (ар) +(пр) а = [пгаа+ ааа ) р„2Ь, ра 2рг следующим из свойств матриц Паули, имеем 2 зНз ] = сЧг аЧ.' = — Рч)')р = — ч)")р = тр')р = Рт е+ пгсз е (6) где т — скорость классической релятивистской частицы, обладающей импульсом р. В заключение обсудим вопрос об операторе скорости т дираковской частицы.

Формальное вычисление согласно (И.4) ком. мутатора [17, г] дает 1 т=г= — [Н, г]=са. й (7) В связи с этим равенством напомним, что введение оператора 1 = — [Н, Д как оператора производной по времени физичей ской величины 1' (для которой д)/д1= О) в иерелятнвистской теории связано с использованием соотношения, см. [1, $9], — „', (1)с— м (ф= — „' ~ Ч [Й, ]]тд (8) р сар + юсзЬ + е + 26 )т) - т%' + ~, )9) при этом Р+ = Р+. Воспользовавшись свойствами матриц а и ])) аа„+ааа,=26, [)а +аг]) О, 0 агава ч) ) 11агрз+ гаг 11 а+ и р ч а аааг 0 ) 28 в. ж.

гюшпвва в лз. и непосредственно следует из него в случае отсутствия каких- либо существенных дополнительных огравичений иа в. ф. Ч' состояний системы. В случае релятивистской частицы, удовлетворяющей уравнению Дирака, как раз и возникают подобные ограничения. Они связаны с тем, что непосредственный физический смысл волновой функции состояния частицы имеет лишь суперпозиция положительно-частотных решений уравнений Дирака (сравнить с 15.! для бесспиновой частицы). Такую суперпозицию Ч'+ можно выделить из уже произвольного решения уравне. иия Днрака с помощью проекционного оператора Ре для решений с положнтельвой энергией: находим соотношенне срРч.аР.ь = — „Рч, е Теперь, сделав в выражении (8) подстановкн ) -ь г, Ч'-ь Ч'+ ж Рч.Чг+, У сар (- шсз() (е) (Чг+ ( Реса Рт 1 Чг+) = (Чг+ ( — „Р+ 1 Ч'+) е = (Чг+ ( —.! Чг+), в (1» приходим к естественному соотношению в сзр)й между операторамн скорости, нмпульса н энергии свободной релятнвнст.

ской частицы (в частности, в импульсном представленнн получаем т = сзр/е(р)). 15.23. Волновая функция рассматрываемого состояння имеет вид Чг = и (р) ехр ~ — (рг — ег)~, 'ай где биспннор и(р) равен / / е+ птсзЗ и(р)=У! / -.У спр, У ~х/ ~ — ФУ в+ исз и' 2е (см. 15.21; использована нормировка и и = ~р*~р = ». Среднее значение вектора спика вычисляется по формуле и'и (" —.::,.)(")( -р )- уз „с сз — ~р" ~ о -1- —, (ар) и (ор) ~ ф = 2 ( (в+ тса)а уз р'сз — р'~п+ 2 ( (в+ тсз)з азов ~, р=(б, б, р).

(» н выполнив, воспользовавшись соотношеннем (!0), следующее преобразование: ный спинор. В системе К', движущейся относительно системы К со скоростью — Ю частица имеет скорость ч н импульс р = шч)(/! — (о/с)з, а ее спиновое состояние описывается биспннором и(р), выражающимся через и(0) по известной формуле преобразования Лоренца для биспииоров: и (р) — и' = Яи (О), 1 Х В В 3 = ехр ~ — — апВ) = сй — — аЬ вЂ” ан 2 / 2 2 (1) (1 0= — о), (2) где п = — «/о — единичный вектор скорости системы К' относительно К.

Воспользовавшись соотношениями „0 150 о/с рс 2 1+ 1/1 — 15«0 1+ ч/! — (о/с)' в(р) + шс» а(р)+ шс 2шеа подчиняются независимым уравивкиям. Более того, атн спипоры преобразуются независимо друг от друга и при лоренцевых преобразованиях (сравнить с 15.25). Таким образом, при и = 0 каждое из уравнений (!) в отдельности является релятивистски инвариантным уравнением — уравнением Ведая. Однако такое уравнение пеиивариаитио относительно пространственной инверсии, в отличие от уравнения Дирака.

Это связано с тем, что при инверсии спиноры $ и т( «переставляются» местами, как это следует из преобразования чг' = РР' = /5"Р' с учетом вида матрицы 5'. Отмеченная неиивариантность уравнений (1) проявляется в том, что описываемые их решениямп состояния частицы с энергией е = рс » 0 отвечают определенным, но протввоположным по знаку значениям спиральиости )ь равным +1/2 и — 1/2 соответственно для спиноров 5 и т) (античастица имеет противоположное значение спиральности, при этом каждое из уравнений (1) СР-инвариантно).