Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 146

Следует, однако, подчеркнуть, что такая «естественность» пропадает уже в членах 1/с'. Для вычисления поправок 1/с' (и более высокого порядка) удобно, перенеся в (1) слагаемое(Š— еф) Ч'кг направо, сначала перейти согласно (4) к уравнению для шредипгеровской волновой функции. С рассматриваемой точностью получаем урав. некие и» г Š— еф 3 (Š— еф)» х — ! — + т1Ч» = 2т ~, 2тс' 8т'с" = (Š— еф) (1+, ) Чг. (6) Как и выше, в слагаемых, содержащих множителем 1/с", для выражения (Š— еф)Ч" можно воспользоваться «нулевым» прнближением и заменить его ка (и'/2т)Ч'.

В слагаемых ксе с 1/с' следует учесть и члены 1-го порядка, т. е. заменить г 1 1 (Š— еф) Ч' на 1Х вЂ” и' — — пв) Ч'. !. 2 8 'в' / После простых алгебраических преобразований уравнение (6) принимает вид уравнения Шрйдингера с гамильтонианом Й' = Й+ в, ~( — Й»+ еф), (и» еф)] (7) (который мы снабдили штрихом по отмеченному ниже обстоятельству), где и» пв пв 1 Й = — +еф — — + 2лв йтв«» 32твс«32твсв + — [и», (и», ефД. (8) Установлен»и«й вид оператора /)' в принципе решает поставленную задачу. Однако этот гамильтониан можно несколько ') Заметим, что в «нулевом» приближении Ч',„= Ч'. 840 упростить, имея в виду возможность выполнения унитарного преобразования, изменяющего выражение для гамильтоннана, но оставляющего неизменным физическое содержание теории.

Для этого заметим, что с рассматриваемой точностью, 1/с", во втором слагаемом в правой части соотношения (7) можно заменить и'/2т+еф на Н. При этом Н' с такой же точностью принимает вид Й ян Й+ (б 'з ~ [Й, [и*. еф[) ие т ехр [ — —,, [и', еф) [ Йехр ( з в [нз, еф)) . (9) Так как оператор Р = 1 [пз, еф) является врмитовым, а У = = ехр ((Е) — унитарным, то согласно (9) операторы Н и Н' связаны унитарным преобразованием и с одинаковым правом могут рассматриваться как гамильтониан частицы. Поскольку выражение для Н несколько проще чем Н', то более удобно использовать именно его. Как видно, релятивистские поправки к гамильтониану, следующие из уравнения Клейна — Гордона, уже в членах 1/с' отличаются от разложения оператора Й = язсз-1- теса -1- еф. ге! 15.16.

Ограничимся для наглядности случаем, когда энергия частицы близка к энергии покоя, и запишем е = тсз -1- Е, где (Е( « тс' Стационарное уравнение Клейна — Гордона для частипы в электростатическом поле ( — йзсзб + тзс~) Ч" = (е — еф)з Ч' при этом можно записать в виде йз (еф)з Е Е' — — Л+еф— 2лт 2тс' тс' 2тс' ) + — еф— 1Р=Ет, аналогичном уравнению Шредингера с эффективной потепциаль. ной энергией Е (еф)з Е' (ар)з (/эф = еф + — еф— тсз 2тсз 2тс' 2тс' ' ян еф— Как видно, в случае (еф(:э 2гас' в соответствующей области пространства (/,э < О, так что взаимодействие частицы с полем носит характер притяжения независимо от знака ее заряда.

В связи с этим заметим, что в релятивистском случае в одном и том же сильном электростатическом поле могут существовать связанные состояния как бесспиновой частицы, так и ее античастицы, см. [31). ай( 15.17. Стационарное уравнение Клейна — Гордона, соответствующее временнбму уравнению (ХЧ. 2) с е42 = Бее~/г и А = О, может быть записано в виде Еее,е (гЕее!) 1 ре б+ ' ~ф..= Ч", (1) 2кч тсаг 2тсага э а' 2т аг где е = Ч4 Рос + т с, тождественном неРелЯтивистскомУ УРав- 22 24 нению Шредингера с эффективной потенциальной энергией (зависящей от полной энергии е частицы) Бее,е (Лее,)4 тсгг 2тсзге (2) Так как интерпретация волновой функции свободной частицы в виде плоской волны в релятивистской и иерелятивистской теориях одинакона, то общий подход к задаче рассеяния в не- релятивистском случае, основанный на решении стационарного волнового уравнения, имеющем требуемую асимптотику иа боль.

ших расстояниях (плоская + расходящаяся волны, см. вводные замечании к гл. !3). 4144 (г) его~™ + 1 езаг г -ь Р~ г а соответственно и многие результаты теории рассеяния нсрсля. тивистских частиц непосредственно переносятся (или легко обобщаются) на релятивистский случай. В частности, амплитуда рассенния в борковском приблиткении описывается прежним выражением (ХП1.

6): = — — (4 У фе 'чгп' г, йц= р — ре. (3) в — 2пй2 4 э Для первого слагаемого в выражении (2) первое из условий (4) требует выполнения неравенства ! Еее,в ! йр 7 ее о — !« —, или —.« — <1 тазг ~ тг ' йс с (ое = рс', (е ! е) (5) 342 Более внимательным следует быть при выяснении условий применимости борновского приближения.

Отмеченная выше аналогия уравнения (1) и у.Ш. предполагает использование для описания состояний свободной частицы (на больших расстояниях) ее импульса (а не скорости илн энергии). Поэтому известные условия (ХП1. 7) применимости борновского приближения в рассматриваемом релятивистском случае принимают вид ! и,ф ! «, ) иэф ) « —,. (4) (как и в нерелятивистском случае; необходимым условием применимости теории возмущений является ограничение Л С 137).

Возможность применения теории возмущений для второго слагаемого в эффективном потенциале (2) ограничивается вторым из условий (4), требующим (Еее,)з А' г Лез хз — — или гх — ) м. 1. тсзга глгз ' ' !х Йс г) (б) Как видно, это более слабое условие, чем предыдущее (5). Теперь заметим, что прн вычислении амплитуды рассеяния по формулам (2) н (3] вторым слагаемым в выражении (2) следует пренебречь.

Зта связано с тем, что оно второго порядка малости по параметру Хя, т. е. вносвт такой же вклад, как и пеовое слагаемое в (2) во втором порядке теории возмущений и поэтому находится за пределами точности рассматриваемого приближения. Учитывая высказанные соображения и используя значенве интеграла — е г(с=в 1 гчг з 4п Г находим амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния бес- спнновой частицы в электростатическом кулоноаском пале: 22ее<е ага г Все, хз 1 йзсздз ' аа ((( (,2о.р,! з1п (Е(2) ' 2лйз 3 где эффективная потенциальная энергия ее 1 (Г ф= —, р(г) — — з(ер(г))з (2) (общие соображения по поводу формул (1), (2] и условий применимости барновского приближения в релятивистском случае см.

в предыдущей задаче). В ультрарелятввистском случае, когда а ги рс-ь со, вторым слагаемым в выражении (2) можно пренебречь и амплитуда рассеяния оказынается равной ) яв — — ! ~р(г) е " г( г — — гр(в). ер —.з ер 2пйзс ~ 2нйас 843 сравнить с формулой Резерфорда нерелятинвстской теорие.

15.18. Амплитуда рассеяния заряженной бесспиновой частицы в электростатическом поле с потенциалом гр(г) в борнов. ском приближении описывается выражением Соответственно сечение рассеяния описывается выражением «р*рм о = ~ (( (з «М = — „» з ~ ) $ (4) )' Ирз 4пйвсз о (3) ( мй» напомним, что ЫЯ = — з Нд~) . Р При Р -». «о верхний предел интегрирования в (3) можно положить равным бесконечности, так что сечение рассеяния о(е) при е -» оо является постоянной величиной (в нерелятивистском случае оно убывает и «о Е ' -» 0 при Е -» «о, см. ! 3 2).

Это связано с тем, что согласно (2) взаимодействие частицы с электростатическим полем возрастает при увеличении ее энергии. Применимость борновского приближения в рассматриваемой задаче определяется первым из выражений (4) предыдущей задачи а требует выполнения неравенства (э~р«( Ы: Дс/а, где и а — характерные значения потенциала и радиус его действия. В «сильном» электростатическом поле, при нарушении этого условия, борновское приближение неприменимо, Однако вывод о постоянстве сечения рассеяния при з -» «о сохраннется и в этом случае. При этом сечение рзссеяния может быть рассчнтаво по квазикласснческой формуле .(( ( ~.з...)..]~... о д 2 тр с =е — гпс 2гп — — д+(Г(г) у зр= з тр («до=а гпс)' 2ш тождественном по форме нерелятивистскому уравнению Шредигь гера. Ввиду такой аналогии для амплитуды рассеяния можно ие- 844 представляющей обобщение результата 13.51 на рассматриваемый релятивистский случай (для такого обобщения в формуле из 13.31 надо заменить И(г) на У»э и вместо Дй подставить Р ж е!с, см.

предыдущую задачу). В заключение отметим, что для справедливости полученных результатов требуется, чтобы потенциал иа больших расстояниях убывал быстрее, чем о» 1/гз! в противном случае сечение рассеяная обращается в бесконечность, как и в нерелятивистской теории, нз-за расходимости интеграла в выражении (3) на нижнем пределе (за счет малых углов рзссеяния). 19.19. Стацнапарное волновое уравнение для релятивистской бесспиновой частицы во внешнем постоянном скалярном поле можно записать в виде посредственно воспользоваться известиымн результатами нерелятивистской теории (сравнить с 15.!1). В борновском приближении ( (О) — — ~~ и (г) е-' * (У = — — б (4). в Соответственно сечение рассеяния (сравнить с предыдущей задачей) л з/ьз о, глз о (е) = —,, 4нй Рс )Й(о)( 4 в ультрарелятивистском пределе (р, ж е/с) определяется выра. жением ттсз Г ! о (е) ж — ~ ) (! (4) (з одз со —.

4яй'е' з е' ' о (П П (р, Й)=О; 2) (!ь Й) (Еь сир) = саь((ь ))ь) = есзгыаар! ~ О; 8) (), Й)=((,(ь Й)=(,(Гь Й)+(гь Н(,= = !свел!аз ((гйс+ РД) М О; 4) Так как и (Еь ()) = О' то с Р! гт! Рз, мь! рь !сз!ым!Рь !сзныпьд! 845 Условие применимости борновского приближения: (Гс ~ Дрс/та, где (гь а — характерная величина потенциала н радиус его действия. 15.20. Гамильтоииаи частицы Й = сор+ глсзр, см.

(ХУ. 4, 5). При вычислении коммутаторов удобно воспользоваться результатом 1.4 и учесть то обстоятельство, что два оператора, один из которых (р, ! и т. д.) действует на пространственные переменные, а другой (а, 2 и т. д.) — на спиновые, коммутируют друг с другом. 3) 2~=(О )( )=(~,) =( ) = 3, поэтому 1, 3 оператор в' = — Еа = — и, очевидно, коммутирует с Н. 4 4 Воспользовавшись значениями коммутаторов 1), 2), 4), находам б) 0«, Й]=О; У) Ц', )У]=О; 3) [ХР, Й] = [тп Й] Р,. + Е,. [б,, Й[ = 2!а,ыа!баб! = О, 9) Так как 7р = — р1, то [1, Й] = [1, сир] = — 2спр(! 1О) [Р, тс Я =. О, [Р, Й] = 97, сар] = с[!(ар — сарйЙ= О; О 1 11) [у«, Й] = 2тс« ~ ] (и для частицы с массой т = О 'х,— 1 ОУ' этот коммутатор равен нулю).