Грашин А.Ф. Квантовая механика (Грашин А.Ф. Квантовая механика.djvu), страница 9

Нетрудно установить прямую математическую связь между пространственнымн вращениями и оператором момента импульса. Рассмотрим для этого изменение радиус-вектора и волновой функции Ч'(г) при повороте на небольшой угол ЛО= (ЛО„, ЛО„ ЛО,), учитывая лишь члены первого порядка малости йо ЛО: г — г' = г — 1ЛО х г), (9. 1) Ч" (г) — Ч' (г — 1ЛО х г) ) = Ч" (г) — ( 1М х г) П) Ч' (г) = = (1 — (ЛО [гх Т))) Ч (г) == (1+(ЛОб)) Ч' (г).

(9.2) 45 Изменение волновой функции записано в (9.2) с помощью оператора бесконечно малого поворота (генератора) б = — [гх у). (9.3) Некоммутативность пространственных поворотов выражается в некоммутативности проекций генератора (9.3). Но с точностью до постоянного множителя генератор С совпадает с оператором орбитального момента импульса: 1. = )йб. (9. 4) Ч'(г, о) Ч"'(г, о) =~1+'У,(б6(бб + + <о / б ! о'>) ) ~ Ч" (г, о'). (9. 6) По аналогии с соотношением (9.4) этому дополнительному изменению волновой функции нужно сопоставить дополнительный момент импульса <о ! 5 ~ и'> .=- Ж <о ) б ( о'>.

(9.6) Величина (9.6) является матрицей оператора спина 5 в представлении 5,=Во. Оператор $ естественно назвать внутренним моментом илтульса, так как он обусловлен существованием дополнительной, внутренней переменной о. Его математические свойства должны полностью определяться перестановочными соотношениями типа (8.19), которые фактически характеризуют свойства пространственных поворотов.

Итак, для 'построения оператора спина можно использовать перестановочные соотношения 5„5в — 5„5„=185„ (9.7) рассматривая их в 5,-представлении как систему уравнений для трех матриц: <о' (5„( о>, <о' ~ 5„! о>, <о' ~ 5, ! о>. Не останавливаясь иа общем случае произвольного спина з, ! х получим спиновые матрицы для электрона (з = —,).

Матрицу Поэтому перестановочные соотношения (8.!9) должны столь же полно характеризовать свойства момента импульса, как правила умножения поворотов характеризуют свойства пространства. Для частицы со спинам поворот будет затрагивать также спиновый индекс о волновой функции Ч" (г, о), что можно записать с помощью некоторой дополнительной матрицы бесконечно малого поворота <о ~ б ~ о'>: <а'~5,~а> можно найти, не решая системы уравнений (9.7), но учитывая, что )а> является собственным вектором оператора Я;. й (а> — — для а= —, 2 2 ' 3,)о> = . *( —.)-""= — ' (9.8) Умножая (9.8) слева на вектор <о'~, получим: 2 (Π— ) (9.9) Заметим, что матрица оператора 5, имеет диагональный еид.

Это общее свойство любого оператора, когда в качестве базисных векторов берутся собственные векторы этого оператора. По этой причине можно сказать, что мы рассматриваем спнновый формализм в представлении„где оператор 3» диа гон ален. Учитывая условие самосопряженности (7.15), можно написать следующее общее выражение для двух других спиновых матриц: >=(Ь* с)'<а )~»(о>=(Д» ) * (9.10) Подставляя (9.9) и (9.10) в (9.7), находим входящие в (9.10) шесть коэффициентов: а=с=а=7=0, Ь =е'з, (3 = — (ем.

<,,~~ ~,> 2(01) <,,~~ ~,> 2(0 — 1) (9.11) Матрицы (9.9) и (9.11) без множителя — называют матрицами й 2 Паули. Сумма квадратов спиновых матриц имеет диагональный вид: з 4,(1 О) (9.12) Согласно равенствам (7.16) и (7.17) величина (9.12) является матрицей квадрата спинового момента 8'. Действие этой матрицы на базисные векторы (3.14) эквивалентно умножению на Ь е(5+1)= 4 Ь. Здесь 8 — произвольное действительное число (неопределенная фаза). Обычно полагают 8=0, что приводит окончательно к следующим спиновым матрицам: Это означает, что ~а> является одновременно собственным векторомоператоров5, и 8' с собственными значениями Фо и Й'з(э+1). Так непосредственным вычислением мы показали справедливость 1 формулы (3.4) для случая а= —.

При построении оператора спина электрона были использованы лишь общие свойства пространственных поворотов, поэтому данный метод применим к случаю произвольного момента импульса 3. Исходя из перестановочных соотношений .1„Մ—,г„,г„= 1И„ (9.13) можно получить не только явный вид (21+ 1) х (2/+ 1) матриц <и' ~,)„(и>, <и' ! Л„! и>, <т' ~ Х, ! т>, (9,14) но и общие формулы (3.1), (3.2) — см. приложение В. Универсальный спектр физических переменных У=Ь'1(1+1), у,=йп, которые характеризуют момент импульса, обусловлен, таким образом„общими свойствами пространственных вращений. Обратим внимание на то, Ото момент импульса рассматривают в представлении, где одновременно диагональны два оператора У и 1, (операторы квадрата момента н его проекции на ось г). Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, соответствующие базисные векторы записывают иногда в виде ~1, и)=)т), т.

е. выписывают явно два квантовых числа 1 и и в качестве индекса состояния. й 10. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ ИМПУЛЬСА Изменение волновой функции Ч'(г, о) при вращении записано в формуле (9.5) с помощью суммы двух генераторов, которым соответствует сумма орбитального и спинового моментов частицы (полный момент импульса) 1.+3=1. (10. 1) Мы имеем дело здесь с частным случаем сложения двух моментов импульса, которые описывают состояние частицы. Рассмотрим общий случай, когда состояние микрообъекта определяется двумя независимыми моментами з1п' и Ум.

Независимость двух моментов выражается математически в коммутативности проекций этих моментов: фо, УЯ =0;(,1=1,2,3. (10.2) В качестве полного набора физических переменных могут быть взяты квадраты моментов и их проекции: (Уп)2 82 (! ( 1) Ло й (~ ) =Ь ),'(),'+ 1),' ~.' =Ь-.".

(10.3) Состояние микрообъекта описывается векторами 11„т„)„т,> = ! 1„т, > ! 1„т,>, (10.4) представляющими произведение собственных векторов каждого из моментов импульса. При заданных 1, и 1, имеется (21,+1) (21,+1) различных векторов (10.4), отличающихся значениями чисел т1 и т2' Легко убедиться, что векторы (10.4) являются также собственными векторами оператора !(1) ! !(2) который является проекцией полного момента импульса микро- объекта: 1 "п() ! Д(2> (10.8) Собственные значения оператора (10.5) равны Х, =(2т =Й(т,+т,). (10.

7) Оператор квадрата полного момента 12 (1(1))2+ (1(2))2 ! 2 (1(1> 1(2>) (10.8) коммутирует с операторами (У'>)' и (У'>)', поэтому квадрат полного момента может иметь определенное значение одновременно с квадратами каждого момента (У'>)2 и (1('>)2.

Однако векторы (10.4) не являются собственными векторами оператора (10.8), так как отличны от нуля недиагональные матричные элементы третьего слагаемого в (10.8). Собственные векторы оператора (10.8) можно образовать из некоторых линейных комб(;наций векторов (10.4), причем в силу линейности оператора (!0.5) они будут одновременно и его собственными функциями. Таким образом, наряду с полным набором (10.3) для описания состояния можно использовать полный набор следующих величии: 2 ('1 ) !1 (!1+ !)2 ('1 ) ~ !2 (!2+ 1) Р =(422! (!+1), 1, =-(4)т. (10.9) Соответствующие векторы состояния являются линейными комби- нациями векторов (10.4) вида !1„!2; 1, т> =,'~~ ) 1„и„!'„т2>(1„т„!'„т,(1, т>, (10.10) 49 где коэффициенты <1„т„)2, т,~1, и>, определяющие вклад различных векторов (10.4) в (10.10), называют коэффициентами Клебша — Горданп.

Этн коэффициенты определены для целых и полуцелых значений квантовых чисел 1„1„1, причем фазовые множители у векторов (10.!О) выбирают так, чтобы коэффициенты были действительными числами. Из (10.10) следует, что коэффициенты Клебша — Гордана являются матрицами преобразования от прадставления, в котором заданы проекции двух моментов, к представлению, в котором заданы полный момент и его проекция. Как это видно нз равенства (10.7), коэффициенты Клебша— Гордана отличны от нуля только прн (10. 11) т=т,+и,.

Поэтому суммирование в (10.10) производится фактически по одному независимому квантовому числу, например т,. Возможные значения числа 1 для заданных 1, н 1, можно определить, исследуя возможные значения числа т. Из (10.11) следует, что максимальное значение т=1,+1,. Оно осуществляется в единственном состоянии, которому соответствуют кваятовое число 1 =1, + 1, и вектор состояния ! 11 12) ! 121 12)' Следующее значение т=1,+1,— 1 соответствует линейным ком- бинациям двух векторов типа (10.4) !!1 12 1) ) 122 12) ~ 12, 12>11„12 — 1>.