Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа.djvu), страница 8

Поток молекул, на= ходящнхся в 1-м внутреннем состоянии, равен Л = — — ЮМЧсп 44 ГЛ. Ь КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА ГдЕ Е~ —— — )У,/)и' — КОНцЕНтрацИя Чаетнц В РМ СОСтаяНИИ, йГ,— плотность молекул в 1-м состоянии, й( †полн плотность молекул, Ю вЂ коэффицие диффузии молекул, который мы считаем не зависящим от состояния. Наличие градиента концентрации молекул на данном уровне обусловлено градиентом температуры, так что усГ= РТ' т, Д= — ЮРГГГТ дт' . дт ' Тепловой поток, связанный с переносом энергии на внутренних степенях свободы, по определению равен ~у =~~ ЕГ7';= — 'Ю)Ут7Т" — ~ х~е с; вн А, Г 1' дт.

Х Г'~ ° Ф где Еà — энергия возбуждения 1-го уровня. По определению средняя энергия возбуждения внутренних степеней свободы равна В = ~~~ Е,)н', )~~', йГ, —... ~ Е;С;. Величина с„= де(дТ представляет собой теплоемкость, обусловленную внутренними степенями свободы, Отсюда ~7,„= — ,'Ю(н'с,„т7Т = — и,„уТ, здесь и,„= Ю)Ус,„— коэффициент теплопроводности, связанный с переносом на внутренних степенях свободы.

Если температура на внутренних степенях свободы Т„н не совпадает с поступательной температурой Т, то выражение для коэффициента теплопроводности за счет внутренних степеней свободы несколько видоизменяется. Именно, в этом случае Задача 1.22. Определить изменение коэффициента теплопроводности газа, состоящего из двухатомиых молекул, за счет переноса на колебательных и вращательных степенях свободы. Воспользоваться приближением Чепмена — Энскога и моделью твердых сфер для упругого соударения молекул. Используем формулы (1.35);для коэффициента теплопроводности к„„, обусловленной упругими столкновениями молекул, и (1.4б) для коэффициента диффузии в рассматриваемом приближении.

На основе этих формул получим для отношения))4 (1,57) Здесь и„— коэффициент теплопроводности, обусловленный внутренними степенями свободы, с,„— связанный с внутренними сте- 52. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ пенями свободы коэффициент теплоемкости, который в данном случае равен сумме вращательной с,р и колебательной с„„тепло- емкостей. Средняя вращательная энергия для двухатомной молекулы равна Т, если считать, что эта величина значительно превышает асстояние между вращательными уровнями. Поэтому с,р =- 1. олебательная теплоемкость по определению равна с ° =д~ ~ (пыл+ л ) ЕХР ( — Г ) ~~~'.,ЕХР ( — ~ )1 л л (т) ехР( т) [1 ЕХР( т)1 Отсюда для коэффициента теплопроводности газа, составленного из двухатомных молекул, находим: „„, (1+4 ~1+," „, 1), где х= Ь . При этом соотношение (1.57) между коэффициентами теплопроводности и вязкости приобретает вид: Задача 1.23. Имеется одноатомный газ с малой примесью двухатомных молекул.

Определить изменение коэффициента теплопроводности, обусловленное диссоциацией молекул на атомы. Перенос тепла, связанный с диссоциацией, отвечает пере ходу молекулы нз менее нагретой области в более нагретую и диссоциации ее в более нагретой области газа. При этом каждая такая молекула переносит энергию, равную энергии диссоциации молекул Р, которая значительно превышает тепловую энергию атомов. Поток молекул равен = — Ю„УР—, где У вЂ” полная плотность частиц, У вЂ” плотность молекул, !2>„— коэффициент диффузии молекул в атомном газе.

Отсюда находим тепловой поток, связанный с тем, что каждая молекула переносит энергию В (с точностью до величин порядка Т/О): г1 „,=П~ = — ОЮ РМ ()р (<)Р), Согласно задаче 2.9 соотношение между плотностью молекул У и атомов У, имеет вид Ж,'~У„=~(Т)епгг(Г(Т) — степенная функция температуры). Отсюда с точностью до членов 46 гл. ь кинатичасков хгхвнвнив вольцмхнх порядка ТЯ имеем — — '- = — — ", уТ, а„„, — — йй.М„Я)'уТ. Это дает для коэффициента теплопроводности, связанного с диссоциацией молекул, который определяется соотношением а,„,= = — я„,оРТ; (1.58) Коэффициент теплопроводности одноатомного газа в рассматриваемом случае ! яох + яоос где и„— коэффициент теплопроводностн, обусловленный переносом тепла атомами в результате соударения между ними, х,„,— коэффициент теплопроводности за счет диссоциируемых молекул.

Раскрывая выражения для я„и хо„„сравним эти въь ражения, обозначив плотность атомов через Ж,: Поскольку ТЗ1Т))1, то из приведенной оценки следует, что даже при малой концентрации молекул они способны внести вклад в теплопроводность, сравнимыи ',с теплопроводиостью одноатомного газа. 2 3. Перенос импульса и тепла в газах Задача 1.24. Вывести уравнение переноса импульса в вязком газе. Для этой цели мы должны воспользоваться уравнением Эйлера (1.18), учтя в тензоре давлений вязкость газа.

Для системы координат, представленной на рис. 1.2, часть тензора давлений, пропорциональная вязкости газа, равна Р'. = — Ч вЂ”. о"'ох хо дх При этом для условий, представленных на рис. 1.2, отлична от нуля только компонента сиорости в направлении х, а сама скорость изменяется только в направлении г. Пользуясь тем, что тензор давлений симметричен, получим общее выражение для этой величины, не связанное с выбором определенной системы координат. Общее выражение для тензора давлений с учетом его симметрии имеет вид / оооо оьоо дооо ~ Р;,=- — и ~ — + — +абох — ~, 1дхо дх; ' дх( ~' $3. ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА И ТЕПЛА В ГАЗАХ где по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Это выражение переходит в ранее приведенное при услови ях р ис.

1.2. Для нахождения коэффициента а мы воспользуемся следующим физическим соображением. Рассматриваемый механизм вязкости обусловлен трением между соседними слоями газа, движущимися с разными скоростями. Атомы или молекулы, переходя в соседние области газа, переносят туда свой импульс, что-и вызывает трение.

Если газ затормозить как целое, то рассматриваемый механизм вязкости будет отсутствовать. Это означает, что след вязкой части тензора давлений равен нулю ~~~~Р;!=0). Используя это, получаем а= — — 213 и Р)а — — т! ( — + — — — 5» — ) . ! даа, даоа 2 дао! Х (1.59) (,дхх дх; 3 ' дха) ' Включим в тензор давлений давление газа р в соответствии с формулой (1.2!) н найденную вязкую часть (1.59). Это дает Р РА — — — Рб ы+ Р!а. Подставляя это выражение в уравнение Эйлера, получим уравнение переноса импульса даат ~~ау ! др Ч д'аоу ! дааоь д! оа дхъ +тУ дхТ тл! дха ЗааМ т!дхудха м где обозначения те же, что и в уравнении (1.18) и по дважды повторяющимся импульсам подразумевается суммирование.

В векторной форме это уравнение имеет вид д! +(Еаау) "а+,утУР— !у АЕ>а 3 А, 7 61У Еао — — — О. (1.50) Уравнение (1.50) носит название уравнения Навье — Стокса. ! Задача 1.25. Вывести уравнение !переноса тепла' для движуацегося газа, в котором перенос тепла происходит за счет теплопроводности. Для одноатомного газа при условии, что занимаемый газом объем в процессе развития системы сохраняется, это уравнение может быть получено из более общего уравнения (1.20).

При рассматриваемых условиях задачи выведем это уравнение из простых физических соображений. Пусть в †средн энергия, которой обладает частица газа при заданных условиях. Выделим небольшой объем газа У и напишем для него уравнение баланса энергии, учитывая, что эта энергия уносится тепловым потоком д через поверхность выделенного объема. Поскольку энергия, запасенная в единице объема, равна е)у' ()у' — плотность частиц), то уравнение баланса энергия 48 ГЛ. Ь КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА для выделенного объема имеет вид где 5 †поверхнос, ограничивающая выделенный объем, и знак минус в правой части отмечает тот факт, что выход тепла через поверхность уменьшает энергию, запасенную в данном объеме.

Воспользовавшись теоремой Гаусса †Остроградско, приведем данное уравнение к виду Поскольку искомый интеграл равен нулю для любого выделенного объема, то выражение внутри скобок равно нулю. Это и дает уравнение для переноса тепла: дŠ— (БУ) + 6)У ИУ = О. Раскроем выражение для теплового потока.

При рассматриваемых условиях задачи тепловой поток состоит из двух частей. Одна из иих связана с теплопроводностью и определяется формулой (1.33). Другая обусловлена тем, что имеется поток частиц Фг,, причем каждая частица несет в себе энергию е. Это создает тепловой поток а)ув,.' Подставляя обе составляющие теплового потока в уравнение переноса тепла, преобразуем его к виду — йт ( — + тх,т(тт ) — ЬТ вЂ” 6.

При выводе этого уравнения мы использовали уравнение непрерывности (1.16). В частности, если движущийся газ сосредоточен да ~ в замкнутом объеме, то — = с, где су — теплоемкость, прихо- дТ ~У дящаяся на одну частицу при постоянном объеме (для одноатомного газа си=-3)2). В этом случае уравнение переноса тепла принимает вид с У)У ( — '+ п,т'Т ) — и оТ = О. (1.61) ! Задача 1.26.

Определить силу трения, действующую на сфе. рическую макроскопическую частицу радиуса г„которая движется в неподвижном газе с постоянной скоростью в,. Перейдем в систему координат, где частица покоится, а газ натекает на нее со скоростью Тт,. Тогда на поверхности частицы скорость газа равна нулю, вдали от нее — равна тт„и имеется переходная область газа, где его скорость меняется от нуля а 3. ПЕРЕНОС НМПУЛЬСЛ И ТЕПЛЛ В ГЛЗЛХ до н,.

Переход молекул между струями газа, движущимися с разными скоростями, создает силу трения, которая действует на газ н соответственно на макроскопическую частицу. Для вычисления этой силы необходимо знать распределение по скоростям для струй газа, обтекающего частицу. Далее мы проведем оценку для искомой силы. Искомая сила трения определяется вязкостью газа, причем согласно определению коэффициента вязкости т1 (см. задачу 1.20) давление газа на единицу площади поверхности составляет а) дп„(дг, где т — касательное направление к поверхности шара, г — направление по радиус-вектору, и производная берется на поверхности шара. По порядку величины это давление равно т~оа!г,. Умножив данную величину на площадь поверхности шара, получим оценку для силы трения, действующей на движущуюся в газе сферическую частицу: Чоага.