Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа.djvu), страница 7

При нахождении данного выражения мы учитывали, что (Фй. На основании этого выражения получаем для коэффициента вязкости т1= 4Т ( и~и~~С'(и) 1<о)!(е ( иАС(и) ~~о!Г(е 15,! Используем для функции С(и) разложение (1,50). Тогда !1=- — = Э С ) г'МЕ хБ М(г)Г(г=ТГ4С„(!.51) 4Т 2Ж !3 р'и ~ т о т. е. коэффициент вязкости выражается через нулевой коэффициент разложения функции С(и) по полиномам Сонина. Кинетическое уравнение для вязкости (1.48) будем решать тем же методом, что и в случае теплопроводности. Умножим уравнение (1.48) слева на тензор Ям, (и') идн где использовано обозначение и, =- и,и,— '1ои'б,, и 1 чь1, и пРоинтегРиРУем по скоРостЯм. Введем обозначения: р =- ~ иГАНГА! '" Я~, (и') !(м = )Ч ~ и,'иАБом (и') е "' = и' Г(и — -- — 6, и 4 и у„=- ~ ~"'Р" М.

(и') и; + Ф (и~) и !— — Я(м (и' ) иох — Я, (и',! ) йнх11 е — е, (ГЫБИН, (и') иГА с(и с(и,. По индексам 1 и й (! ~й) здесь суммирование не производится, Для коэффициентов разложения (1.50) получаем систему уравнений ро =-,)~ ~с„Тор. о коэффициенты пеРенОсА В ГлзАх Интересующий нас коэффициент с„найденный в результате реше- ния этой системы уравнений, равен / л — 04 ..~ ' л.л.,) 711 ° ° ° 710 где детерминант Р„=....., а детерминант Рло получается из детерминанта 700 701 ° ° ° 70» 710 711 ° ° 710 7ло 701 ° 7лл в результате вычеркивания нулевой строки и з-го столбца. Согласно приближению Чепмена — Энскога при решении данной системы уравнений с хорошей точностью можно ограничиться первым членом разложения в знаменателе.

Поэтому в первом приближении Чепмена — Энскога интересующий нас коэффициент с, равен ра у с, == — = —. тао 4тоа' Вычислим величину — ~ ~101)10>( + ' ' ) и Используя симметоию подынтегрального выражения относительно замены и, и и„м1', а также симметрию относительно замены и . и', и, и1', приведем это выражение к виду оо1 <о> 7.= 4 ) ~м1)тм(п; +; — ) — ';)'(~ — ~ (о( о(мо( Проведем вычисления в системе координат, в которой полярная ось г соответствует индексу (, а направление х отвечает индексу Й. Введем приведенные относительную скорость тео = и † и скорость центра инерции Π— — (и+ и1)т2.

Так как о(ма о(й = =о(твотО (и=О+ —, иа=б — — ), получим ..=й "' '" ~(Р.+Ф) ( .+Ф)+ +( — ) ( .— "')-( +-;)('+Ф)— — (6,— ф)(а„— ф)~ ) ' — ' ь ( а= — — ~)' ')1 (шхшх — шхшх)' ш~(п «то~Ж 40 Гл. 1. кинетическое ЕРАВнение Больцмхнх )тп' = тп'соз'0+ йн! 1и'0, где 0 — угол рассеяния, й — единичный вектор, перпендикулярный тп, который с равной вероятностью может принимать любое направление в плоскости,~перпендикулярной тп.

Получаем (ов,ю„— а,'и„') ' = 2в,'ы>'„— 2Н1„н1,ю„'ио' = = 2в„'в,' з1п'0 — 2ю'з)п'Ою„ж,й„й„ здесь черта сверху означает усреднение по углам относительной скорости то и по азимутальному углу рассеяния. Таким образом, = — )/ — ~ !'1о11',"оо (ио„н1,' — Н1ою„в,й„й,) а,н1 о(и Ю, где о;= ~ (1 — соз'0)о(о. Далее )и)1" = —,ехр'( — и' — и) = —,'ехр 1 — 20' — — ) . Проинтегрируем по о(б и нооойв. Получаем о о о о = 12 )/ — 51оо,(п'п,'— п„п,й,й,), где о = — ~ ехр ( — — ~ юоо (Н1)дю, а п — единичный вектор, направленный по тв, Усредняем по углам — 1 ! !5 ' " " о о 30 ' Отсюда 5А" „Гт— 7оо = — — — ~' — "о 5РН и коэффициент вязкости 5 у' пТт 24оо (1.52) В частности, в случае, если рассеяние атомов изотропно и сечение рассеяния не зависит от относительной скорости столкновения до=-о!опг,'1(соз9 (модель твердых сфер), для коэффициента вязкости получаем 5 ~ГТщ Гв )о (!.53) где те!' — относительная скорость движения частиц после рассеяния.

Имеем 12. КоэФФициенты пеРенОсА В ГАЗАХ Из полученных результатов (1.35), (1,52) можно найти важное соотношение, связывающее коэффициенты теплопроводности и вязкости: н = 15п/4т. (1.54) В газовой динамике температуру обычно измеряют 1в градусах. Для перехода от энергетических единиц температуры, которыми мы пользуемся, к градусам мы должны умножить коэффициент теплопроводности на переводной множитель Йв †постоянн Болъцмана. При этом соотношение (1.54) примет вид Я = 5сгп/2гп, СР = '/,Йв. Соотношение (1.54) и (1.55) между коэффициентами теплопроводности и вязкости справедливы, вообще говоря, лишь в первом приближении Чепмена — Энскога. Однако поскольку приближение Чепмена — Энскога дает практически надежный результат, эти соотношения выполняются с хорошей точностью. Задача 1.19.

Определить Гкоэффициент теплопроводности, в т-приближении. т-приближение основано на представлении, интеграла столкновений в виде 7„=- (1 — )хм)/т. Здесь 1"' — равновесная функция распределения, т †эффективн время, которое порядка времени столкновения между частицами, Если система выведена из состояния равновесия, то кинетическое уравнение имеет вид — — Т=1'+Се- ", аг рм 51 т т. е. т~ оказывается характерным временем,',за которое гсистема возвращается в равновесное состояние.

В случае, если в газе имеются градиенты температуры, уравнение (1.31) для отклонения функции распределения от равновесной 1 — 1кч(1+0) принимает.вид ФД'иР~ 51, . ВФВ Отсюда ° /тч2 5 А Е=- — ( — ' — — ) ер)пт '1 2Т 2) и поток Гтепла Г шя .г аФ(Ъ~ Г ив~ 5 з 9=) 2 п~г( = — 6 — '— рт ( — — — ) Р" Де=- — к'рт,) 2т13 ~ 2т 2) Коэффициент теплопроводности равен 42 ГЛ. Ь КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬЦМАНА Если считать, что т не зависит от скорости столкновения частиц, то х.=- 5ТТХ(2т. Полученная оценка помогает понять физическую картину явления теплопроводности. Поток частиц газа из данной точки пространства и в нее порядка ЛЪ, где о-'у Т~т — характерная тепловая скорость частиц в газе.

Однако частицы газа, уходящие из данной точки и приходящие в нее, обладают разными средними энергиями. Разность температур в данной точке и в точках, расположенных на расстоянии порядка длины свободного пробега частиц Л, откуда в данную точку приходят частицы, порядка ЛодТ. Поэтому поток тепла, стремящийся выровнять температуры в разных точках газа, оказывается порядка ЛГиЛадТ вЂ” Юэот уТ, а коэффициент ~теплопроводности х ЛЪ'т Гх' ТТ~т. Задача 1.20. Определить (коэффициент вязкости в т-приближении (см.

задачу (1.19). Пусть имеется градиент скорости по оси х в направлении г (рис. 1.2). Тогда коэффициент вязкости определяется соотношением азоах Г = — 1)— дг где Р— сила, действующая на единичную площадку в направлении оси г. Кинетическое уравнение (1.5) в т-приближении имеет вид Г(1! о711о' = — —— и так как 1 1=ЛГ ( — ) ехр ~— 1О, / т '11/а Г Ха(Х вЂ” Ра)11 (~т) ( и то получаем Ха (гх "а) д1'ох НМ 111 1 Тдг11 1111 ~ъх хгох (ох оо) 1111 дг Т Сила Р равна передаваемому импульсу через единицу площади в единицу времени.

Поток частиц через данную площадку равен ЛГо„а переносимый каждой частицей импульс лг(о„— о,). Отсюда ~=~. (.—.И( =~. (.—.))и ( = = — — '" ( — х гп (о — оо)о ТГ111 г(е. $2. коэФФициенты пепеносА В ГАЗАХ Таким образом, коэффициент вязкости, выяисленный в т-приближении, равен у Моа ~1ил — ио)о,а,о>д 4Т 1" т 1п — оо1'1,~ра~д„ 15,1 4Та Если считать, что т не зависит от скорости столкновения частиц, то Заметим, что отношение между коэффициентами теплопроводности и вязкости в т-приближении, если т не зависит от скорости столкновения, равно к!Ч = 5~2т, что в полтора раза меньше отношения, получаемого в первом приближении Чепмена — Энскога.

В случае модели твердых сфер (т 1!и) это соотношение еще сильнее нарушается: ос/т1 = = 5/4лз. Отсюда видно, ято т-приближение можно использовать только для оценки результата, Использованный здесь простой под- у-~ оа ход позволяет понять физическую при- л роду данного явления. Поток частиц Рис 1.2. РаспРелелеиие поля из данной точки пространства и в нее скоростей в потоке газа пРи наличии вязкости. порядка У Р' 7!и. Однако в данную точку пространства приходят частицы, отстоящие от нее на расстоянии порядка длины пробега.

В этих' точках импульс частиц, связанный с их направленным движением, отличается от импульса частиц в данной тояке на величину порядка лз — Х. Таким образом, поток импульса в направлении. г, о"'аз который стремится выровнять скорость направленного движе- — доао ния в различных тояках, оказывается порядка У Р' ТопХ вЂ” '" . да Отсюда следует полученный выше результат, т. е. коэффициент Задача 1.21. Определить изменение теплопроводности газа, связанное с внутренними степенями свободы молекул, считая, что константа скорости перехода между внутренними степенями свободы молекул при их столкновении значи-. тельно меньше константы упругого соударения молекул, Перенос тепла в данном случае осуществляется переходом возбужденных молекул из более нагретой в менее нагретую область, где они и отдают свое возбуждение.