Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа.djvu), страница 4

Получим уравнение непрерывности — д1 +й! ЯМ=О, (1.15) 20 ГЛ 1 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА Это выражение приведем к виду оооо ( дМ оооо) 1дооо . доох 1 дР о Р— ( — + — оо) + Мл"о 1 — + о — + — — — — 1 + 2 ~ дГ дхо 1 ог 1 д( 'О дхо оооо дхо ло ) ~М(оо(о оо) )~ 1 д ~М, (м(о — оо) Я дооо до О +Р— + — =О. АА дхо дхо Выражения в фигурных скобках, согласно уравнениям переноса массы (1,16) и импульса (1.14), равны нулю. Вводя температуру газа Т = <'/от (о — о,)'>, получим уравнение для переноса энергии †уравнен теплопроводности Задача 1.9.'Получить уравнение Эйлера для невязкого газа.

В идеальном невязком газе нет корреляции между движениями в разных направлениях. Поэтому тензор давлений (1.!7) имеет вид Р„=-6„МАЕ <(оо — ооо)'>,1 где М вЂ” плотность частиц, ло — их масса, то,— средняя скорость газа. Учтем, что в системе координат, где газ покоится как целое, функция распределения частиц сферически симметрична. Это дает, что давление во всех направлениях одинаково.

Используя определения давления р = Мпо <(о„ вЂ” о„,)'> †-- Мат <(о, — о,,)'> = Мло <(о, — о„)'>, получоем для тензора давления РТА = Рб!А (1.21) Подставляя это выражение в уравнение Эйлера (1.18), преобразуем уравнение Эйлера к виду доо ! Р— +(тоо1') тоо+ — '~Р— = О. ! Задача 1.1О. Вывести уравнения переноса импульса и энергии для ионов, движущихся в газе в постоянном электрическом поле. Кинетическое уравнение для функции распределения ионов при учете упругого рассеяния иона на атоме, согласно (1.5), имеет вид М доо доо( где Š— напряженность электрического поля, М вЂ” масса иона, чо, от,— скорости" иона и атома до столкновения, то', то,' — их ско- о 1 сВОпстВА кинетического уРАВнения 2! рости после столкновения, )(В) — функция распределения ионов, ор(В) — максвелловская функция распределения атомов, л1 — плотность атомов.

Считаем, что функции распределения 1(о), 1Г(В) нормированы на единицу. Умножнм кинетическое уравнение на МВ„ и проинтегрируем по скоростям ионов. Получиы — еЕ = ~ М (о,' — В„) 1(В) 1р (В,) 12' ~ о — о, ) о(а о(о о(22Р Слева мы имеем импульс, получаемый ионом в единицу времени от поля, справа — импульс, отдаваемый ионом в единицу времени атомом газа. Упростим выражение в правой части уравнения.

Имеем 1В т Р 2о Ф "+ 1.Мй" '='о+т+Мй ' — '=а+М(й' — й') где т — масса атома, оо — скорость центра инерции сталкиваю2цихся иона и атома, а, а' — их относительная скорость до н после столкновения, причем при упругом столкновении д — д'. Пусть Π— полярный, Ф вЂ” азимутальный углы рассеяния. Тогда н"'=й'созО+йдгипО, где Ф вЂ” единичный вектор, перпендикулярный я'. Так как 2О 2К вЂ” ° 1 - " = м и 1(112 О то — ( — В„) оЮ вЂ” я, (1 соз О) о о еЕ = 12)Ч ~ ~ (22) 1р (В1) ЯЯоп* (ф 1(е о(22„(1.22) где 12 = поМ/(т+ М) — приведенная масса иона и атома, о'(д) = ~ (1 — соз О) о(о — транспортное сечение рассеяния иона на атоме.

, 2 Для вывода уравнения переноса энергии умножим кинетическое уравнение на Мпо/2 и проинтегрируем его по скоростям иона. Получим Е =~И~)р((,) '' " )уа11 о(22,1122, ГдЕ П1 — дрсйфОВая СКОрОСтЬ ИОНОВ. ПОСКОЛЬКУ О=по+ + а; е'=-22 + а', то Во — В' = — Е1 (ег — я"). Так как О1+ М Во+ М 22 — ) (я' — я') Э=а'(1 — О), о 22 гл, ь кинетическое тгявненив вольцмяня то получаем соотношение еЕш= ~ 1'(а) ~Р(а,) вайа'г(айч~п (1.23) причем а„=-(Ма+та,)!(т+М), я'=ю — а,. Соотношение (1.22) описывает обмен импульсом, соотношение (1.23) описывает обмен энергией между ионом, атомамн и электрическим нолем. В левую часть соотношения (1.22) входит импульс, который в единицу времени передается от поля иону, в правую часть — импульс, отдаваемый ионом в единицу времени атомам газа.

Левая часть соотношения (1.23) представляет энергию, получаемую в единицу времени ионом от поля, правая часть этого соотношения — энергия, которую ион отдает в единицу времени атомам газа. Задача 1.11. Определить среднюю скорость ионов, движущихся в газе в постоянном электрическом поле.

Плотность ионов много меньше плотности частиц газа и мало меняется на длине свободного пробега ионов, частота столкновений ионов с частицами газа не зависит от относительной скорости соударений. Кинетическое уравнение для функции распределения ионов по скоростям ~ в пренебрежении неупругими столкновениями имеет вид —,",+ р~+'Š— д1 =1„Е, (1.24) здесь х †направлен, в котором изменяется плотность ионов, <а„> †средн скорость иона в этом направлении. Теперь умножим уравнение на Ма„ и проинтегрируем по скоростям ионов. Эта операция для всех членов, кроме первою, была проделана в предыдущей задаче. Используя ее результаты, получим на основе указанной операции (<Ма',> — М <а„>') д ' — еЕи = — ИМ <Яй а'(й)>, д !пав; где а — скорость иона, М вЂ” масса иона, Š— напряженность электрического ноля, г'„— интеграл столкновений ионов с частицами газа.

Поскольку характерный размер изменения плотности ионов велик по сравнению с длиной свободного пробега, то функция распределения пропорциональна плотности ионов в рассматриваемой точке пространства. Считая, что, зависимость функции распределения от координат определяется плотностью ионов Фп преобразуем кинетическое уравнение к виду (1.25) $2. ХОЗФФициенты пеРенОсА В ГлзАх ~и <о >= — (<М4> — М<и >') '+ЕЕ . д!пУ; В частности, если напряженность электрического поля и градиент плотности направлены в одном направлении, то Л4 (<пх> — <и >~) д!и У;+ еЕ Ит дх ГГт ' (1.26а) ВГслучае, когда эти два вектора оказываются перпендикулярными друг другу, УГ <и.> д!ПУ; (1.266) пт дх й 2. 1<оэффициенты переноса в газах При малых градиентах плотности частиц данного сорта, температуры и направленной скорости частиц возникают потоки частиц, энергии и импульса соответственно, которые пропорциональны этим градиентам.

Коэффициенты пропорциональности между потоками и градиентами носят название кинетических коэффициентов или коэффициентов переноса. При этом коэффициент диффузии Ю вводится как коэффициент пропорциональности между потоком частиц 1 и градиентом концентрации с частиц данного сорта: где У вЂ” полная плотность частиц. Если концентрация частиц данного сорта мала (с((1), т. е.

если эти частицы являются малой примесью в газе, то выражение для потока частиц этого сорта принимает вид ,1'= — вйх'Уо где йГ, †плотнос частиц данного сорта. Коэффициент теплопроводности х вводится как коэффициент пропорциональности между тепловым потоком !у и градиентом температуры: !у = — и'х Т, Коэффициент вязкости !) является коэффициентом пропорциональности между силой трения, действующей на струи движуще- где п †единичн вектор в направлении оси х, р †приведенн масса иона и частицы газа, д †относительн скорость соударения, о'(д) †диффузионн сечение рассеяния иона на частице газа.

Согласно условию данной задачи частота столкновения иона с частицами газа ч = Удо*(д) не зависит от относительной скорости соударения. Учитывая это и то, что средняя скорость частиц газа равна нулю, получим 24 Гл. и кинетическое уРАВнение ВольцмхнА тося газа, и градиентом направленной скорости движения газа. Пусть скорость газа п„направлена по оси х и изменяется в направлении г (см. рис. 1.2).

Тогда возникает сила, направленная по оси х и стремящаяся выровнять скорости соседних слоев. Эта сила пропорциональна дп,„/дг и приложена к площадке хд, перпендикулярной к направлению градиента. Вводя силу г", действующую на единицу площади слоя, определяем коэффициент вязкости 21 посредством соотношения Р= — т1— д222 да (см. также задачу 1.20). Явления переноса как стационарный процесс можно рассматривать в случае, когда макроскопические параметры газа заметно изменяются на расстояниях 7., значительно превышающих длину свободного пробега ) частиц в газе: А,'7 ~(1.- (1.27) При выполнении этого условия времена, за которые будут выровнены макроскопнческие параметры в разных областях газа, значительно превышают столкновительные времена молекул газа, за которые устанавливается равновесная функция распределения молекул.

Поэтому имеется область времен, за которые устанавливается локальное термодинамнческое равновесие в каждой области пространства, но сохраняются неизменными градиенты макроскопических параметров и соответствующие им потоки. Практически эта область времен оказывается достаточно широкой, и именно в ней обычно рассматриваются процессы переноса„С математической точки зрения такое ограничение соответствует разложению по малому параметру (1.27). ! Задача 1.12. Получить кинетическое уравнение, описывающее явления переноса в одноатомном газе при наличии только упругого соударения частиц газа.~ Равновесие в рассматриваемой системе устанавливается за времена, за которые частицы газа перемещаются на расстояния порядка 7., и в силу условия (1.27) эти времена значительно превышают время соударения частиц газа (характерное время, через которое происходит очередное соударение пробной частицы с частицей газа).