Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа.djvu), страница 9

Точное решение задачи позволяет найти числовой коэффициент в выражении для силы трения, которая равна г" = блг1п,г,. (1.62) Эта формула носит название формулы Стокса. ! Задача 1.27. Определить скорость падения в газе макроскопической сферической частицы под действием силы тяжести. При падении частицы сила трения газа, определяемая его вязкостью, уравновешивается силой тяжести частицы. Используя а.~~с .„„, .а,-,, паЫ = 6пгаа)о.1 Здесь па — масса частицы, д — ускорение свободного падения, г,— радиус частицы, о — скорость ее падения, Ч вЂ” коэффициент вязкости газа.

Введем плотность частицы р, так что и == а/аг,'р. С учетом этого из приведенного соотношения получим для скорости падения частицы: 99яаа 0 —-- 9ч Эта формула справедлива для макроскопической частицы, размер которой велик по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа (г, >) Х). С другой стороны, сама скорость падении должна быть относительно небольшой, чтобы были малы соответствующие этому движению числа Рейнольдса. Здесь у=т1(р„— кинематическая вязкость газа, так что р,— массовая плотность газа. Последнее условие ограничивает радиус зо гл. ь кинзтнчаскоа гглананив вольцмхнх частицы сверху / ~~2 зыз В частности, для падения капли воды в воздухе при нормальных условиях это условие дает: г,<:6.10 ' см. Задача 1.28.

Пылинка сферической формы брошена в поток газа, движущийся со скоростью о,. Выяснить, по какому закону скорость пылинки будет релаксировать к скорости потока. Силой тяжести, действующей на пылинку, пренебречь. Масса частицы М, ее радиус г„вязкость газа равна ть Для выяснения искомой закономерности необходимо решить уравнение движения пылинки, которое имеет внд На М вЂ” = бпгд (о,— и). ш Здесь о,— скорость пылинки в направлении потока газа, правая часть уравнения представляет собой силу трения, которая дейст- вует на частицу и определяется формулой Стокса. Решая данное уравнение с граничными условиями о=О при 1=0 и п=о, прн г== оо, получим =, [1 — ехр ~ — Ч, Полученное соотношение справедливо для макроскопической час- тицы, размер которой значительно превышает длину свободного пробега молекул в газе.

Задача 1.29, Установить связь между перепадом температуры в разрядном промежутке, ограниченном двумя параллельными бесконечными пластинами, и тепловыделением в нем. Теплоотвод осуществляется за счет теплопроводности газа. Для нахождения искомой связи необходимо решить уравнение теплового баланса, которое в рассматриваемом случае имеет вид — (х — )+р=О. Здесь к — теплопроводность газа, р — тепловыделение в единице объема, х — координата.

Пусть расстояние между пластинами равно Ь. Выберем начало координат на плоскости симметрии, так что разряд сосредоточен в области — Ц2(ха 1.!2. При этом в силу симметрии задачи р(х)= — р( — х), так что Т(х)=-Т( — х), Это дает йт~ О Кроме того, поскольку разрядный ток на стенках равен нулю, то р (Ь/2) О. о 3. ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА И ТЕПЛА В ГАЗАХ Наряду с этим из физических соображений следует, что тепловыделение убывает по мере удаления от центра разряда. Учитывая это, зададим функцию р(х) в виде р((х)= р, ~1 — ( 1 ) где ( =- Т.(2. Решаем уравнение теплопроводнасти с указанным выражением для р(х) и заданными граничными условиями.

При этом в силу симметрии задачи рассматриваем только область х) О. После первого интегрирования имеем и'о Рох — х — =р,„х— Ех ' (т+1) (т Это дает для теплового потока на стенки о): Ет( , т д х ( р( о(х х у о т+ Второе интегрирование приводит к следу(сщему соотношению: то Рсрт(т+З) 41 т+З 2(т+!) (т+2) 2 т+2' Го о где ҄— температура на стенках, Т,— температура в центре области разряда. Проанализируем полученное соотношение.

Правая часть соот- ношения зависит от профиля распределения тока в разряде, кото- рый определяет профиль тепловыделения. Эта зависимость харак- теризуется множителем (т+3)/(и+ 2). Если тепловыделение равно- мерно в объеме (т = по), то этот множитель равен единице. В другом предельном случае, когда разряд сжат к центру (и =-О), этот множитель равен 3(2.

Отсюда видно, что в реальной ситуа- ции рассматриваемый множитель равен 5(4 ~ 1)4, т. е. для разных реальных профилей разрядного тока может меняться в пределах 209о от среднего значения. Выбрав значение этого множителя равным 5(4, представим искомое соотношение в виде г, хЙТ= — „ Еде 16 " го, Зададим температурную зависимость теплопроеодности в рассматриваемой области температур в гиде степеней функции: х (Т) (Т», Й = о(1)п х(о()п Т. Тогда приходим к следующему ссстггшенню между перепадом, ~емператур в разрядной трубке и тепгоеыделеннсм в ней: Тох (То) — Тоох (Тоо) 5 уЛ Е 1п хы 1и Т 16 ' йз 3 3, ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА И ТЕПЛА В ГАЗАХ распределения электронов в разрядной трубке неконтрагированного разряда имеем (см, задачу (6.1))] Ф, «,(, (2,4р/и,), где Уо(х) — функция Бесселя. Если считать, что тепловыделение пропорционально плотности электронов, н аппроксимировать функцию Бесселя в области р < г, зависимостью М, 1 — (р(г,)'", то в рассматриваемом случае получим лз=1,5.

Реально распределение электронов может быть только более резким, что дает 0 < и < 1,5 и соответственно 1,6« — 2,0, Выбирая значение этого сомножителя, равное 1,8, получим, что с точностью, равной примерно 10%, справедливо соотношение г ~ яг(Т=-0,9дг,. то о Введем Р=2пг,д — мощность, которая выделяется на единице длины разрядной трубки. Получим г , бТ Кое<7о) — Тоон(то о) 0 14у Е!п хнГ!и Т( Го о В частности, при малом перепаде температуры, ЬТ=Т,— Т„(<То, эта величина равна ЛТ = 0,14Уо)я.

Задача 1.31. (Задача Релея.) Газ находится между двумя бесконечными параллельными пластинами, находящимися на расстоянии С и при разных температурах Т, и Т, (Т, > То), На каждую молекулу газа со стороны внешнего поля действует сила Г, направленная перпендикулярно к пластинам в сторону от первой пластины ко второй. Выяснить, при каких условиях неподвижное состояние газа будет устойчивым. При достаточно высокой разности температур теплоотвод от одной пластинки к другой будет осуществляться за счет движе.

ния газа — конвекции. Выясним, когда такое движение возможно. Для этого будем считать, что скорость движении газа и связанное с ним изменение температуры малы по сравнению с характерными значениями этих величин. Тогда, рассматривая конвективное движение как возмущение, накладываемое на неподвижный газ, мы сможем определить, при каких условиях возможна конвекция. Гл. ь кннетьческое уРАВнение БольцмАнА Возьмем за основу стационарные уравнения: уравнение непрерывности для газа о(1ч Л'е, = О, уравнение Навье — Стокса (1.60) (Е р)~Е + Чр Ч лаю Чягодмччо( Р О ео ео м,ч м,ч м,ч м и уравнение для переноса тепла (1.62) с~же, РТ =- х ЛТ.

Здесь )у — плотность газа, е,— скорость направленного движения газа, р — давление газа, Т вЂ” температура, о) — вязкость, к — теплопроводность газа, М вЂ” масса молекулы газа. Представим каждую из величин в виде А=А,+А', где А, отвечает неподвижному газу, А' создается за счет конвекции. В нулевом приближении, считая при этом е,=О, получим — — — =. О. ЬТ =-. О.

о. м,ч м Решение второго уравнения~ дает для распределения температуры в неподвижном газе причем ось х направлена перпендикулярно плоскости пластин, так что вторая пластина соответствует х= О, первая †= Ь. В следующем приближении из уравнения непрерывности имеем: )о'об!чео+е,7)о'о=-О, и так как плотность неподвижного газа постоянна (что= 0), то это уравнение сводится к условию не. сжимаемостн газа: б!ч е, = О. (1,с3а) В уравнении Навье — Стокса воспользуемся разложением чр о 'Юро о Чр !Чро!у Р! Чр ~ М Мл' М ММ ' МН М1Ч М М М!Ч МН~' , ~дУ~ ! Т' Далее Л(' = Т.' ( — ) (! = — У, (Т вЂ” температура в неподвижном (,дт) (р газе), ибо возмущейия создаются медленными движениями, в процессе которых при отсутствии внешних сил в системе поддерживается постоянное давление, и уравнение состояния р = МТ.

Учитывая это, получим уравнение Навье †Сток в виде чр' — ',Лео — р'Л1о —,, — О. (1.63б) Уравнение для переноса тепла (!.62) в первом приближении может быть представлено в виде (1.63в) $ 3. пеРенОс импульсА и теплА В ГАзАх Решая полученную'систему трех уравнений и выясняя условия существования решения, мы сможем определить и условия, при которых реализуется конвенция. Приведем систему трех полученных уравнений 11.63) к одному уравнению.

Применим ко второму уравнению операцию 61у. Учитывая первое уравнение, получим РАо дТ' Ар = Т дх' При этом здесь и в дальнейшем будем считать, что 1Т,— Тр))Т»(~1, т. е. температура неподвижного газа в рассматриваемой области мало меняется. Поэтому зависимостью плотности и температуры газа от координаты, а также зависимостью от координаты для величин к, р1, являющихся функцией температуры, можно пренебречь по сравнению с зависимостью от координаты для величины Т', которая заметно изменяется при смещении на расстояние порядка Ь. Применим к уравнению для переноса тепла операцию Л.

Подставив найденное выражение для величин Лпо„ в уравнение Навье — Стокса, получим ~ дл ЧХЬ дх + с у 1Т вЂ” Т ) Л Т' — гг»оТ'=О. Применяя к этому уравнению операцию Л и выражая Лр' из полученного ранее уравнения, найдем окончательно (й ) Т' АРТ~ где буквой )с обозначена ',безразмерная комбинация параметров задачи сухо»о (Тр То) ЕР 11. 64) хчТ й Эта величина носит название числа Релея.

Как видно, число Релея является характерным параметром, определяющим осуществимость конвективного движения. Только эта безразмерная комбинация параметров задачи входит в уравнение, описывающее конвективное движение. При рассматриваемых условиях поставим граничные условия задачи, согласно которым на границах и,„= О, Т' = О. Кроме того, на границах отсутствуют касательные силы. Поскольку дору доо» касательная сила равна Ч вЂ” или Ч вЂ” , то следует потребодх дх дсоо ох»о» вать, чтобы на границе — = — О. дх дх Дифференцируя уравнение 61у тр,=О по х и пользуясь этими досох соотношениями, находим — '," = О. Таким образом, граничные дхо 56 гл. ь кинетическое уРАВнение БольцмАИА условия задачи следует представить в виде: при х=О и х= 7.