Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа.djvu), страница 6

ь кинетическОе уРАВнение волъцмАнА Сравнивая это соотношение с определением коэффициента теплопроводности (~у=- — кУТ), находим отсюда 5Т к= — . = тк1и ' Это точный результат, ибо при его получении мы не делаем дополнительных предположений относительно зависимости добавки к функции распределения от скорости. Однако приданном условии (к'" =-сопз1) приближение Чепмена — Энскога (1.35) дает тот же результат. Задача 1.15. Для смеси двух газов получить связь потоков частиц с градиентом соответствующих параметров. Введем молярную концентрацию частиц данного сорта с — отношение числа частиц данного сорта к полному числу частиц: с = М,/М, М,— плотность частиц первого сорта, М=М,+М,— полная плотность частиц.

На основе этого получим для первого члена левой части кинетического уравнения (1.30) и, ~~, — НЯ' ( у!п р, + ( — — — ) 7 1п Т1 = =- ~,~'," ~ 7 1п р + р 1п с+ ~ ~„' — ) Ч 1п Т1, так как У!пр,= — 7!НМсТ= 7!и р+ у!пс. Определим силу, которая действует на обьем газа и поддерживает его в равновесии. Пренебрегая вязкостью газа, воспользуемся для этого уравнением Эйлера (!.18).

Имеем М вЂ” „=0= — — М ~~ + — !СГ,+(1 — с)т",]+Мг", (м)Р где ( у означает усреднение по скоростям частиц. Здесь М— масса выделенного объема газа; р=-М,т,+М,гп,=-Мгп,— плотность газа (масса единицы объема); )Р„Р,— сила, действующая на частицы данного сорта со стороны внешних полей; т,=а,с+ + а,(1 — с), так что М/т,— число частиц в выделенйой части газа, обладающей массой М; Т" — сила, действующая на единицу массы газа, которая необходима для поддержания равновесия в системе. С учетом этой силы получаем для второго члена левой части кинетического уравнения (1.30) а)'и р, а!1" так что левая часть кинетического уравнения (1.30) имеет вид Р ~ г + ( ~ 5 Р К 1 и гг.

коэч гициенты пегеносл в глзлх зз .Здесь ">| Решение кинетического уравнения в данном случае выполним так же, как и в случае теплопроводности. Для функций О, = 1)»11>>'> получаем систему линейных интегро-дифференциальных уравнений >|> / | ~ 1)|>Д" (О;+ О, — О; — 0~) ( т>; — т>„! >(огя |(ггы (1. 40) г=>, г где 1:=1, 2, вектор с(> дается формулой (1,39), а Фг — — — с(>.

Решение уравнения (1.40) можно представить в виде 0; = В;г1+ +Т.>Ч!пТ (с(=с(>), причем в силу малости градиентов векторы В,, г., направлены по скорости частиц данного сорта п,. При выборе решений в виде О; = В, (сг) т>>с(+Ь; (и;) е>, Ч 1п Т оказываются автоматически выполненными условиями (1.29а, в), ибо функция распределения 1!» нечетна относительно т>, Воспользуемся системой координат, в которой отсутствует массовый поток частиц (р>т>„+ р т>г„— — 0).

Тогда вместо (1.29б) будем использовать условие т, ) 1',"О,т>, с(т>, + т, ) 1' >О т>, >(е>, == О. (1,42) Разложим функции В,, г., в выражении (1.41) по полиномам Сонина; Ю | В;= Х Ь; В,/г(иг), Л, = ~' 1, Я"„,г(и',). Выбор базиса Я|/, удобен, ибо условие (1.42) в этом случае сводится к простым соотношениям: сЬ,'»+ (1 — с) Ь,"' =- О, с1',"' + (1 — с) 1',"' = О. Вычислим среднюю скорость частиц данного сорта в системе координат, где отсутствует массовый поток. Имеем <т>;>.=,! ! 1>>" (В;/1+1,Ч 1п Т)т>; с(т>; —.— ~>' = — Г! Д|> т>, >1т>; ~ 1т>; г1Ь,"ЯД> (и',) + т>>Ч 1п Т1,"Б,,~г (и';Д = > > = — 1Ь(л>г1+ 1'иЧ!и Т1,.

ни 34 ГЛ 1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬЦМАНА На основе этого вычислим диффузионный поток — поток частиц данного сорта в системе координат, где отсутствует поток газа как целого (массовый поток). Имеем /= Ж1 <о1> — с(М1<т21>+М, <т22>) =- 12с(1 — с) (<т21> — <и,>) = Р21 М1 м, Л22 В случае отсутствия градиентов температуры и давления имеем только диффузионный поток, который по определению равен 1 = — Ю„М 2рс. Поскольку в этом случае х(=Ус, то коэффициент разложения функции В Ю .

™22 (2121 2221 ~22 2 Коэффициент пропорциональности между потоком ~ и градиентом 42 1п Т носит название коэффициента термодиффузии Ю, С помощью этих коэффициентов поток частиц данного сорта удобно представить в виде .1 = — ЮНУСА — ЮТ71п Т. (1.43) Как видно, коэффициенты диффузии и термодиффузии выражаются через первые коэффициенты разложения функции распределения по полиномам Сонина. Поэтому решение кинетического уравнения дает возможность определить коэффициенты диффузии и термодиффузии. ! Задача 1.1й. Получить выражение для коэффициента диффузии в приближении Чепмена — Энскога. Будем следить за движением группы выделенных пробных частиц, плотность которых мала по сравнению с плотностью частиц газа.

Поэтому столкновениями между этими частицами можно пренебречь, концентрация их мала и диффузионный поток равен У= — Ю П1,, (1. 44) здесь Ю вЂ” коэффициент диффузии, Л'1 — плотность пробных частиц. Кинетическое уравнение (1.30) для функции распределения пробных частиц с учетом их диффузии имеет вид х2Д21 у 1 ~ ЦД Ц ) ~ в х2 ~ 1 1у 1 где Д21 — максвелловская функция распределения пробных частиц, 11 — функция распределения пробных частиц с учетом диффузии, 12 — максвелловская функция распределения частиц газа. Пусть градиент плотности направлен по оси х.

Умножим полученное уравнение на импульс пробной частицы в этом направ- $2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ 35 где а = ез,— е,— относительная скорость столкновения, п*(п)— диффузионное сечение столкновения пробной частицы с частицей газа, р — приведенная масса пробной частицы и частицы газа. В приближении Чепмена — Эискога представим функцию рйспределения пробных частиц в виде Подставляя это выражение в правую часть соотношения (1.45) н считая в первом приближении, что й(о,)=сопз1, получим: дЛ' Мы использовали соотношение п,=зз„„+ ' а', где 億— ж1+ лн скорость центра инерции, т„гп,— масса пробной частицы и частицы газа, Здесь скобки означают усреднение с максвелловской функцией распределения, причем было использовано, что (зз„ „> = О.

Из этого соотношения находим величину й: зтт~ НАМ (рхги~)' Поток пробных частиц в рассматриваемом случае равен т1 дх Подставляя сюда выражение для величины й и сравнивая полу- ченное соотношение с определением коэффициента диффузии, для коэффициента диффузии в первом приближении Чепмена — Энскога можно записать (Зт' ЗУ Тз И'Сдзо*(д)) М 81У У2зо (1,46) — ! г / Ф~' и — — ~ ехр ( — — ) ю'о*(ш) ~йе, 8 д (, 2 о где п*(ю) =- ) (1 — соз9) ГЬ вЂ” диффузионное сечение рассеяния прн столкновении атомов разного сорта, в=д~~/2Т~р — приведенная относительная скорость столкновения, М вЂ” плотность частиц газа. ленин Мп, и проинтегрируем по скоростям.

В левой части соотношения получим Т вЂ . Учитывая полученный в ней резуль-- дх, дх тат, представим искомое соотношение в виде Т вЂ” '= — р~ Ц,йдп*(д) г(п, Гдп., (1.45) Гл н кинетическОе уРАВнение БольцмАИА зб В случае модели твердой сферы о=о*=НЕ'„так что ! Задача 1.17. Получить выражение для коэффициента диффузии в случае, когда частота столкновений частиц не зависит от скорости столкновений. Будем, как и ранее, считать, что плотность пробных частиц мала по сравнению с плотностью частиц газа. Тогда поток пробных частиц равен lх д = з 4 "1х~ дЖ1 где х — направление, в котором медленно меняется плотность пробных частиц. Используем выражение для средней скорости частиц (1.26а), полученное в задаче 1.11 прн рассматриваемом предположении: ич ((Р1х) — <и1х>~) д!и Жт 1х иу дх где ч =- Жйо*(д) — частота столкновения пробной частицы с части цами газа (д! — плотность частиц газа, о'(д) — диффузионное сечение столкновения частиц).

Частота столкновения т в рассматриваемом случае не зависит от скорости соударения Используя приведенные соотношения, получим для коэффициента диффузии пробных частиц в газе: хн ~и~((их) Аих) ) (1.47 НУ (. ) Это соотношение получено без дополнительных предположений и справедливо в общем случае, в том числе и при условиях, когда функция распределения сферически несимметрична (движение заряженных частиц во внешних полях). В случае, когда невозмущенная функция распределении близка к максвелловской (движение пробных частиц в газе при условиях, близких к равновесию), это соотношение принимает вид Ю = Т!ри. Оно совпадает с результатом первого приближения Чепмена— Энскога, если в формуле (1.4б) считать, что частота столкновения частиц не зависит от относительной скорости соударения.

! Задача 1.18. Определить коэффициент вязкости одноатомного газа при наличии только упругих соударений между его атомами. Рассмотрим направленное движение газа, в котором отсутствуют градиенты температуры и давления. В этом случае левая часть Ээ. козьфицианты пвганосл в глзлх зт кинетического уравнения (1.30) принимает вид дйм Ф ~ (г/ — ~м) (гл — ~ол) дЪл чм м (рл — ~ел) чм дгол т дгц ~ т ч" "-длт гчмо - —. Здесь индексы (, й характеризуют соответствующие проекции векторов, причем по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Для функции распределения )™ было использовано выражение (1.28). Воспользуемся уравнением Эйлера, согласно которому дгов ! др и дх; р дхл' Поскольку давление постоянно в пространстве, второе слагаемое в полученном выражении равно нулю. Представим левую часть кинетического уравнения в более симметричном виде: дйм иэ 1 (' диц дуол 1 2 а 1 и — = р и~ил — — 6.л ) ~ — + — ~+ — и б(т е ~ (', ' длч 3 ' )(дхл (дх;) 3 где и, = (о; — ом) г' т(2Т.

Из уравнения непрерывности имеем: йт Жп,=й й1 е,+и,'(7Ж =О, и так как по условию задачи градиенты давления и температуры равны нулю, то йч и,=- О. Учитывая это, получим для кинетического уравнения в рассматриваемом случае = ~ )х0'ф (9'+ 9л — 9 — 9,) ! а — и, ! йт бе,. (1.48) Решение этого уравнения следует искать в виде причем тензор С;л построен на векторах ср Тензор Сгл симметричен, так что он является комбинацией тензоров огпл и 6;„. Однако чтобы соотношения (1.29а, в) оказались выполненными, он должен быть пропорционален следующей комбинации этих тензоров: и' С,„= С (и) (пгцл — — 6;л), и =Ь~т)2Т (а — е,).

Отсюда 9= — С(п) (прил — 3 6~ ) (++ — '). (1.49) Представим С(п) в виде разложения по полиномам Сонина: С(и) = ~ ~с Я,,~,(и'). (1. 50) Удобство выбора базиса Я,~, обусловлено тем, что коэффициент вязкости в этом случае выражается через первый коэффициент 38 ГЛ. 1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА разложения. Покажем это. Тензор давления ! ГА Сгп (о! ооо) (ол ооА)) может быть представлен в виде суммы (ЙУ е,=0) где р — давление газа, т! — вязкость газа. С другой стороны, имеем в случае 1~й Р!А — —. ~ (о! — о„) (о,— о„„) ( Г(е = о / ио Х 1 дон доо!Х = — 2Т ~ и и 1!о' !(е С(и) ~и и — — Ь ! А ! 3 !~,/ (,.дхг дх! ( дх;о о ибо в сумме по индексам 1 и 1 отличны от нуля только те слагаемые, для которых 1=-1, 1=-Ф илн 1=й, 1=1. Для других слагаемых при интегрировании по углам получаем нуль.