Овчинкин часть 3, страница 7

Рис. 28 3.31. В предыдущей задаче (l, = (?,. При каком условии частица не будет отражаться от потенциального барьера (ямы)? 3.32. Найти энергию электрона, при которой он беспрепятственно пройдет над прямоугольным барьером высотой У = 5 эВ и шириной 1= 1 А. 3.33. В ! 920 г. Рамзауэр обнаружил, что в сечении рассеяния а, медленных электронов на атомах криптона имеется глубокий минимум (резко увеличивается проницаемость атомов) при энергии 8 = О,б эВ (рис. 29). Этот эффект обусловлен волновыми свойствами электронов.

Считая, что для электрона потенциал атома является од- 30 номерной прямоугольной ямой глубиной У = 2,5 эВ, оценить радиус зтолн) криптона. См. также задачу 8.14. 3.34. Электрон находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме, изображенной на рис. 30, и имеет энергию я) = 1,5 эВ. Ширина ямы равна с! = 3 10 "см.

Найти высоту потенциального барьера 1/ и его проницаемость 1). За какое время т вероятность найти частицу в яме уменьшится в два раза? Отражени- 0,5 ),0 э,эв ем волновой функции на задней границе потенциального барьера пренебречь. Рис. 29 3.35. Электрон находится в одномерной потенциальной яме, изображенной на рис. 31. Энергия частицы равна й = 0,9999 эВ, а высота потенциального барьера 1У = 1 эВ. Найти ширину ямы, если уровень с указанным значением энергии является первым.

Оценить время жизни т частицы в яме. Отражением волновой функции на задней границе потенциального барьера следует пренебречь. ц(х) шх) 300и х )04 х и Рис. 30 Рис. 31 3.36'. Вывести для а-распада закон Гейгера — Неттола, связывающий период полураспада Тих с энергией Г) вылетающих частиц В соотношением 1п Т))з = А+ хе, где А шг) пи —— и  — постоянные. Считать, что потенциальный барьер (У(г) имеет вертикальную стенку при г= Я (радиус 4 ядра) и определяется законом Кулона при г> Я (рис.

32). Энергия вылетаю- 0 д шей а-частицы б(с1)0 (высоты барьера). Задачу считать одномерной. 3.37: В сканирующем туннельном микроскопе (изобретен Г. Биннингом и Рис. 32 Г. Рорером в 1982 гл Нобелевская премия 198б г.) регистрируется туннельный ток электронов йх через вакуумный зазор между поверхностью проводящего образца и установленной перпендикулярно к ней острой металлической иглой, Оценить, как изменится туннельный ток, если игла при своем поступательном движении параллельно поверхности образца пройдет над ступенькой высотой Ь = 1 А.

Работы выхода электронов из иглы А, = 4,5 эВ и об- з) разца Аз = 4,0 эВ. На иглу подано напряжение Р =+0,2 В относительно образца. Указан ие. считать, что до приложения напряжения уровни максимальной энергии электронов в материалах иглы и образца совпадают. 3.38. В сканирующем туннельном микроскопе регистрируется туннельный ток электронов ~У через вакуумный зазор между поверхностью проводящего образца и установленной перпендикулярно к ней острой металлической иглой. Работы выхода электронов из иглы А~ — — 3,0эВ и образца Аз=4,0эВ.

На иглу подано напряжение Р = — 0,5 В относительно образца. Оценить, во сколько раз изменится туннельный ток, если игла при своем поступательном перемещении параллельно поверхности образца п1юйдет над участком, работа выхода для которого больше на 15 ~ . При оценках считать, что электроны туннелируют сквозь одномерный потенциальный барьер, а электрическое поле между иглой и образцом является однородным. Величина зазора Ь = 1О А. См. указание к задаче 3.37. 3.39. В сканирующем туннельном микроскопе регистрируется туннельный ток электронов Р через вакуумный зазор между поверхностью проводящего образца и установленной перпендикулярно к ней острой металлической иглой. Лля повышения чувствительности микроскопа величина зазора модулируется посредством малых колебаний иглы вдоль ее оси с амплитудой колебаний а =0,2 А.

Работы выхода электронов из иглы А, = 3,0 эВ и образца Аз= 2,0 эВ. На иглу подано напряжение Г = + 0,5 В относительно образца. Какова амплитуда колебаний туннельного тока ЬгУ = (гу„,„, — уи„и)/2, если .7и„, = 1 нА? При оценках считать, что электроны туннелируют сквозь одномерный прямоугольный потенциальный барьер. Поле между иглой и образцом можно считать однородным.

См. указание к задаче 3.37. 3.40. В 1988 г. появилось сенсационное сообщение об осуществлении холодного ядерного синтеза дейтерия, растворенного в металлическом палладин. Можно считать, что при этом ядра дейтерия взаимодействуют друг с другом по закону Кулона, если расстояние между ними г удовлетворяет условию 71, = 2 10 'з см < г< 5 1О ~ см = Ям При большем расстоянии между ядрами энергия электрического отталкивания 11 = 0 за счет экранирования ядер дейтерия электронами проводимости.

Определить вероятность реакции синтеза д+ д при столкновении дейтронов внутри палладия при комнатной температуре за счет туннельного эффекта. Считать, что реакция синтеза происходит при г < Яь 3.41. Рассчитать коэффициент прозрачности барьера деления тяжелых ядер, аппроксимируя его параболическим барьером (такая аппроксимация реально отражает форму барьера деления тя- желых ядер) х ) ~'в 1 — ~) при ~х~ <и 0 при )х) > а, 32 à — и" 1рис. 33) и выразить его через «квант» Ьо» = И:, соответствую ющий кривизне барьера. Энергия возбуждения ядра равна б, Смотрите также задачи 9.41 и 9.42.

3.42. Частица массой т находится в одномерной потенциальной яме //1х) с непроницаемыми стенками У(х)~„ о — — а» и «колодцем» »ьь на дне (рис. 34) о — У приО<х<и, Е/ >О, о О при и < х < Ь. Для стационарных состояний с энергией О < с < Уо определить отношение / максимально возможных плотностей вероятности нахождения частицы при х < и и и < х < Ь. Найти в случае //о=с»с резонансные значения энергии, при которых величина/ сильно возрастает. 3.43'. При вращении сосуда со сверхтекучим гелием в объеме образуются линейные вихри (рис.

35). Скорость атомов гелия в вихре а = К/г, где г — расстояние от оси, К вЂ” константа, называемая интенсивностью вихря. Найти минимальное численное значение интенсивности вихря. -а — ! ! а х Рис. 33 Рис. 35 Рис. 34 3.44. В жидком гелии П при температуре ниже Х-точки могут сушествовать вихревые нити.

Вокруг вихревой нити жидкость движется по окружностям, причем момент количества движения атомов гелия относительно оси вихревой нити подчиняется правилу квантования Бора. Найти поле скоростей вокруг вихревой нити. 3.45. При прохождении нерелятивисткой частицы с энергией с над прямоугольным барьером высотой У = (3/4)с коэффициент отражения по мощности оказался равным я = 9/25. Определить минимально возможную ширину барьера в единицах соответствующей ему дебройлевской длины волны.

У к а з а н и е. Воспользоваться известным из оптики условием, что при отражении от оптически менее плотной среды фазы отраженной и падающей волн совпадают. 3.46. При прохождении нерелятивисткой частицы с энергией с над одномерной прямоугольной ямой глубиной // = — Зс' коэффици- ент отражения по мощности оказался равным !х = 9/25. Определить минимально возможную глубину ямы в единицах соответствуюшей ему дебройлевской длины волны, У к а з а н н е. Воспользоваться известным из оптики условием, что при огра;кении от оптически более плотной среды фазы отраженной и падающей волн отличаются на л. 3.47.

Электрон находится в основном состоянии в одномерной симметричной прямоугольной потенциальной яме с шириной 2а = 10 А с потенциалом !/( ь со) = О. Отношение вероятностей обнаружить частицу внутри и вне ямы равно а=0,1. Считая, что изменение волновой функции внутри ямы мало, определить энергию связи электрона и глубину ямы (в эВ). 3.48. Нейтрон находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с шириной а = 1,3 10 'з см, ограниченной с одной стороны бесконечно высокой стенкой.

При этом !/ = 0 при 0 < х < а, а при х» и потенциал !/ равен постоянной конечной величине 1/ы Отношение вероятностей обнаружить частицу внутри и вне ямы равно а = О, !. Считая, что максимум волновой функции достигается вблизи границы ямы, определить энергию связи нейтрона. 3.49. Микрочастица находится в прямоугольной потенциальной яме заданной ширины. Одна стенка бесконечная, а вторая — конечная, высотой !/в.

Энергия частицы в яме в = 3!/в/4. Во сколько раз надо квазистатически «сжать» яму при неизменной высоте, чтобы частица стала свободнои2 3.50. Микрочастица находится в одномерной потенциальной яме заданной ширины. Одна ее стенка бесконечно высокая, а вторая— конечной высоты !/в. Энергия частицы в яме 4 = !/а/2. Во сколько раз надо квазистатически изменить высоту ямы при неизменной ширине, чтобы частица стала свободной! 3.51. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с шириной а = 4 А (!/(О) = »», !/(и) = !/„= ! эВ) в состоянии с энергией 4=0,88 эВ.

На яму накладывается постоянное электрическое поле Е = 3 1Оз В/см, направленное в отрицательную сторону оси х. Оценить возникающую при этом ширину уровня энергии. Считать, что энергия уровня не меняется при наложении поля. 3.52. Элект!юн находится в одномерной симметричной прямоугольной потенциальной яме с шириной 2и = 4 А (//( — и) = !/(а) = = !/в = 1 эВ) в состоянии, энергия которого 4 = 0,8 эВ, На яму накладывается постоянное электрическое поле Е = 3 1Оз В/см, направленное в отрицательную сторону оси х.

Оценить время, через которое электрон покинет яму. Считать, что энергия уровня не меняется при наложении поля. 34 а 4. Атом водорода и водородоподобные атомы 4.!'. Частица находится в центральном поле силовою центра с потенциальной энергией !/ = — С/г', где С вЂ” положительная постоянная, а г — расстояние от силового центра. Исходя из соотношения неопределенностей, показать, что при к > 2 возможны стационарные состояния частицы со сколь уюдно большими по абсолютной величине отрицательными собственными значениями полной энергии.

Частица при этом условии будет переходить на нижележащие энергетические уровни — произойдет ее впадение» в точку г= О, т, е. на силовой центр. Если же хс 2, то наиболее низкий энергетический уровень будет иметь конечное значение полной энергии, т. е. падения на силовой центр не произойдет. Пользуясь этими результатами, объяснить возможность существования атомов, например атома водорода. 4.2. Показать, что в пределе, когда главное квантовое число и в атоме водорода стремится к бесконечности, движение электрона переходит в классическое движение па круговой орбите. 4.3. Классические формулы следуют из квантовых в пределе высоковозбужденных состояний (т.

е. при и- со). В атоме водорода, как и в задаче Кеплера, потенциальная энергия б/(г) м . Исходя ! Г из квантовых формул для уровней энергии !?„= — Йу/ид и радиусов состояний гя = ии~ электрона в атоме водорода, получить для больших и третий закон Кеплера. 4.4. Показать, что среди сферически симметричных решений уравнения Шредингера для водородоподобного атома, конечных при г = О и обращающихся в нудь при г = оя, имеется экспоненциальное решение е "'.

Найти постоянную а и энергию атома в рассматриваемом состоянии. Что это за состояние? 4.5. Найти объемную плотность вероятности нахождения электРона в водородоподобном атоме для основного состояния'). 4.6. Найти радиальную плотность вероятности нахождения электрона в водородоподобном атоме для основного состояния.