Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики, страница 2

1'лавной целью этой програлц мы является исчерпывающее описанис классов точных решений УГД в виде инвариантных и частично инвариантных лодмодееей. Для этого были разрабоганы аналитические алгоритмы отыскания наиболее широкой допускаемой УГД локальной группы Ли С преобразований базового пространства, групповой классификации У!'Д по входяшим в них произвольным функциям и паране~рвы, построения нормализованных оптимальных систем ОС подгрупп консчномерной группы Ли С, использования аппарата алгсбр Ли опсраторов. В частности, с уравнением состояния газа обшего вида УГД попускает ! 1-мерную группу С", лля политропного газа — группу С'з, а в случае показателя адиабаты; = 5,!3 — группу С'".

Вычисленные для них нормализваиныс оптимальные системы подгрупп состоят из 223 представителей в ()С", !342 в ()С'з и 1826 в ОС . Каждая подгруппа Н допускаемой группы порождает класс Н-решсний, описываемый упрошенной системой дифференциальных уравнений — факгорсистемой УГД по группе Н. Для возникающих массивов Н-решений введен ряд классификационных признаков, позволяющих описать подмножества Н-рсшений в более компактной форме. 11айдены существенно новые, подчас обладаюшие нсожиданцыми свойствами, Н-рсшсння, ранее не упоминавшиеся в классической литсратурс, Несомненна необходимость хотя бы беглого ознакомления с этими достижениями всех, кому нужны и полсзны сведения о симметрии УГД и ее использовании — читатезгям, слушателям курса лекций, ПРглисловиа ко атогому изданию прсподавателям и студентам, практнкам-вычислителям, научным работникам.

В первом издании сведения о симметрии УГД и се использовании содержались в з 8, 12 и в Приложении, но сообщались там лишь выборочно. В предлагаемом издании подвергнуты переработке разделы, относящиеся к понятию гипсрболичности возникающих систем диффсрсциальных уравнений, интегральным законам сохранения для автомодельных движений, описанию примеров осеснммстрнчных и околозвуковых течений газа. В б 18 добавлена задача о безударном сжатии, Заново написаны З 8, где дано общее представление о свойстве симметрии УГД и принцип его использования лля построения классов точных решений (подмоделей) и з 12, где прнвсден полный список всех инвариантных подмодслсй с тремя независимыми перемснными (ранга 3), получившими свои названия, а также примеры подмоделсй рангов 2, 1, О.

Полностью изменено добавленное к основному тексту Приложение, которое тепсрь солержнт краткое описание понятий н алгоритмов, связанных с использованием алгебр Ли дифференциальных опсраторов. Злесь также приведена нормализованная оптимальная система подалгсбр (223 прсдставителя) всех размерностей 1! -мерной алгсбры )!и, допускаемой УГД в случае уравнения состояния газа общсго вила. Немного расширен список рекомендуемой литературы.

Ввиду временного отсутствия единой монографии по симметрии УГД и се использованию даны ссылки на несколько основополагающих журнальных статей. Автор благодарит д.ф.-м.н. В. М. Тсшукова, д.ф.-м.н. Л.!'!. Чупахина и к.ф.-м.н. С. В. Головина за солсйствие н цепные замечания, послужившие улучшению текста, а такжс ииж. Э. 3. Боровскую за помощь при подготовке рукописи к псчвти. 22 октября 2002 г Предисловие к первому изданию Современная газовая динамика представляет собой обширную физико-математическую дисциплину, занимающую прочное место в фундаменте системы знаний о повсдсннн сплошных лсгкоподвижных сред.

Ес объектамн являются нс только непосредственно наблюдаемые газообразные и жидкие тела, но и твердые при обычных условиях материалы, ссли онн находятся под воздействием болыинх температур и давлений. Собственно газовая динамика выделяет н изучает свойство сжимаемости среды. Вместе с тем в реальных условиях проявление сжимаемости сопровождается другимн, во многих случаях не менее важными эффектами, такими как вязкость, теплопроводносзь, способность к химическим реакциям н т.д.

Однако если изменение состояния среды происходит достаточно быстро, за времена много меньшие характерных врсмен протекания диссипативных процессов, то свойство сжимаемосзя оказывастся определяющим и может быть выделено и изучено независимо. Поэтому газовую динамику следует рассматривать как науку, изучающую быстропротекаюшнс процессы в сжимаемых средах. Область пракгичсских приложений результатов и выводов газовой динамики весьма широка. Она охватывает процессы и явления, происходящие при движении в газе (воздухс) летательных аппаратов, снарядов и ракет, при истечении газовых струй, при протекании газа через газовыс турбины и компрессоры, лри взрыве и детонации взрывчатых вещсств, при распространении ударных волн и их воздействии на препятствия, при формировании кумулятивных струй, при волновых движениях на поверхности водоемов, при формировании погоды в атмосфере Земли и т.д.

Как и во всякой физико-матсматичсской дисциплине, в газовой динамике выделяются экспериментальное и теоретическое направления. Опираясь на результаты экспериментов по прямому наблюдению и регистрации параметров газолинамических процессов, теоретичсскал газовал динамика имеет своей основной целью предсказание хода явлсния путем анализа его матсматичсской модели и применения подходящего расчетного метода. Необходимость в охвате широкого круга газодинамических лвлсний привела к тому, что теоретическая газовая динамика образовала самостоятельную научную область со своей разветвленной системой понятий, с оригинальными метолами исследования н конструкциями решений классов конкретных задач. Богатство теорстической газовой динамики заключено в большом !о Пгедиоловия к пгквомт и'ьзхнн!о количестве различных математических моделей и подмоделей, в разнообразии применяемых математических методов, в многочисленных до конца решенных задачах, в ценности ес выводов лля пракгичсских приложений.

Исторически становленис теорстичссхой газовой динамики послужило нс только пониманию и описанию общей структуры происходящих в сжимаемых средах физических процессов. Газовая линамика оказала также заметнос влияние па развизис математики, главным образом сс части, связанной с теорией лнфференциальных уравнений. Она влохнула жизнь в цслыс математические направления — теорию разрывных решений дифференциальных уравнений, теорию уравнений смешанного типа, тсорию квазиконформных отображений. Она стимулировала развитнс теория сингулярных интегральных уравнений, группового анализа диффсрснциальных уравнений„функционально-аналитических и топологичсских методов исследования краевых задач.

Опа обогатила математику рядом важных понятий, таких как вырождение типа дифференциальных уравнений, сильный и слабый разрывы в решениях, градиентная катастрофа, сильная и слабая нелинейности, инвариантное и частично инвариантное решения, автомо;!сльное решение и т. п. Основоположниками теоретической газовой динамики слсдует считать немецкого математика Б.римана !1826. !866), впсрвые давшего теорию явлсния образования и распространения сильного разрыва в решениях дифференциальных уравнсний газовой динамики, и замечательного русского ученого-механика С. А.

Чаплыгина 11869 — )942), разработавшего носящий нынс его имя мстод исследования установившихся течений газа. Важные экспсримснтальные данные по эффектам сжимаемости при течении газа, послужившие основой для последующих теоретических обобщений, были получены еше в Х1Х вске многими исследователями, в частности, французскими учеными-инженерами Сен-Венаном, Гюгонно и Жугс, русским ученым-артнллсристом Н. В. Маиевским, австрийским физиком Э. Махом.

Развитис тсоретической газовой динамики в текущем столетии связано с целым рядом имен выдающихся учсных, математиков н механиков, таких как Л. Прандтль, Т. Карман, А. Бузсман, !'. Гудерлей, К. Фридрихс, М. А. Лаврентьев, Л. И. Седов, С. А. Хрисгианович, М. В. Келдыш, А. А. Дородницын, Ф, И. Франкль и многих других, внесших признанный вклад в методологию исследования и конструкгивные подходы к рсшснию акзуальных газодинамических задач. Принципиальной особенностью газодинамических процессов, создающей значи гольные трудности для теоретического исследования, является их нелинейность, проявляющаяся в вссьма разнообразных и нногла неожиданных формах. Отсюла и идет многообразие методов анализа и конкретных закономерностей, когорые нс укладываются в какую-либо одну стандартную схему.

В георстичсской газовой динамике особешю остро стоят проблемы алекватности модели явлению. Для большинства практически важных газо- Пввднс,ювил к пвгвомг издлнию динамических задач до сих пор нет теорем существования, единственности и устойчивости решения. Поэтому и числснные методы, получившие тспсрь с развитием быстродействующих ЭВМ новые возможности их применения, во многих конкретных случаях оказываются нс обсспсченными надлежащим обоснованием и часто связаны с затратой больших усилий и средств при их разработкс и реализации.

Все зто вместе †многообразие явлен, фактов и мстодов, и трудности анализа — привело к тому, что в газовой динамике сложился целый ряд самостоятельных направлений со своими школами, литературой и преемственностью. Несомненно, что это обстоятсльсз.во накладываст определенный отпечаток и на преподавание газовой динамики в различных университетах.

Здесь явно ощущается отсутствие лостаточно простого и вместе с тем единого учебного пособия, опираясь на которое можно было бы развивать и надстраивать дальнейшие этажи стройного здания газовой динамики. В настоящих лекциях делается попытка восполнения этого пробела. Лекции посвящены систематическому изложению основных математических моделей, конструкций и методов нсслслования, служащих для теоретического анализа газодинамических явлений. Как учебное пособие, они составляют солсржание обязательного или специального годового курса лекций, который вмсстс с упражнсниями должен быть изложен за 60-70 учебных часов.

Это жесткое требование наложило отпечаток и на отбор материала, и иа способ изложения. В первую очередь, это выразилось в том, что предпо ггение было отдано точным математическим результатам, которые возможно получить в рамках строго сформулированной математичсской модели газовой динамики. Приближенные методы, как правило, лишь намсчсны, и потому для обоснования получаемых выводов экспериментальный материал не привлекался. Прн прочих равных условиях, за основу взята дедуктивная манера изложения, нозвол1йошая нс только избежать многих повторов, но и выдвинуть на первос моего предмет исслсдовання при смещении сго методов на второй план.

Отбор фактически излагаемого материала опирался на принцип фуш1аментальной универсальности, согласно которому от каждого рассматриваеьюго факта требуется, чтобы он содержал новый элемент знания с достаточно широкой областью применения. О предметном содержании настоящих лекций можно судить по оглавлению книги. Почти всеь преподносимый материал можно найти в ряде известных учебников и монографий, приведенных в спискс ли~ературы.

Нстрадиционными являются, пожалуй, лишь фрагменты, касаюшисся теорсзико-группового подхода к точному молслированию и построснню классов частных решений. В связи с этим умсстно заметить, что в насгоящсс время совсршснно ясна нсобходимосгь включения элементов группового анализа в преподавание прикладных дисшшлнн. Польза этого заключаегся 12 ПРВДИЕЛ()ВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗНЛНИЮ нс столы(о в возможности нролемонстрировать тсоретико-групповой метод исследования на конкретном материале (хотя и это довольно важно), сколько в выработке у изучаюшсго острого ощущения ценности свойства инвариаитности рассматриваемых объектов при предсльно возможной рационализации их изучения, 11ри этом существенно подчеркнуть, что всякое упрощающее моделирование бывает полезно имснно в силу того, что оно придает объекту дополнительную инварианпюсть и тем самым позволяет исследовать сго более простыми средствами.

Что же касается основной массы фрагментов, то данный в лекциях нх персчень, конечно, не исчерпывасг всего богатства фактов газовой динамики. Очевилио, однако, что удовлетворить всс претснзии по этому поволу в указанных выше рамках лекционного курса невозможно; тел( нс менее автор выражает готовность прислушаться к любым рекомендациям этого рода.