А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989), страница 7

. 3 з. Раэноотныв тгавнвния ли Нусть надо решить уравнение — = » (х). Можно.приблил»ен»»э во заменить»»иЯх таким образом: ( ) ли и (х»+ Ь) — и (х») лх), ь »у»». Ь ~ Π— расстояние ме»»»ду точками х» и х, + Ь. Если обозначить х, + Ь х»+„и(х,) иь м(хц.,) = и„„то !!р»» Ь О это разностное вырал»ение стремится к ЫиИх. Отметим, что замена неоднозначна.

Можно было бы взять левую резкость лли полусумму правой и левой — центральную разность: ( †) Ни 1 и» вЂ” и» Ли»+ Чу» Нх )х=-т» 2Ь 2Ь Всюду здесь знак - означает соответствие или аппроксимааи» и, — и цию. Говорят, что вырал»екне — — — ' апкроксимирует ь л производную Ииl»»х. Ьд» Итак, рассмотрим уравнение — „= ~», где ~» =)(х»). В соответствии с определением это есть разностное уравнение первого порядка. Его можно записать в виде Лу» Ц, или у,+, у, + ЬД. Очевидно, что решение такого уравнения не вызывает затруднений. Заметим, что при замене дифференциального уравнения первого порядка мо»кно получить разностное уравнение второго порядка.

Например, таким образом: ,з и(х»т,) =- и (х») + Ьи' (х») + 0,5Ь» и" (х») + — и"' + 0 (Ь»), и(х»») = и(х») — Ьи'(х») + 0,5Ь'и'(х») — — и'" + 0(Ь»). Складывая эти два выражения, получим "+ '2+"'- = щ+0(Ь). Ьз ГЛ. Ь ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Отбросив 0(й'), получим приближенное выражение для и": с <)и ') и<+ — 2и<+ и< д Лэи< айи< <) — *< Э /< к 3 ь и 2» 1< 9 Из разложеиея иььь = и; + йи; + —. и; + 0(й ) выразим ааменив й< на вторую разностную производную.

Заменим в формуле (1) и; на /<, отбросим слагаемое 0(й') и умножим полученное уравнение на 2й. Тогда вместо дифферень циального уравнения первого порядка <ьи/<)х / получим разностное уравнение второго поря)(ка: /»Чу< — 2/»у< = — 2й|и Рассмотрим теперь свойства решений разностпых уравнений 3. Рааиостиые уравнения и неравенства первого порядка.

Рассмотрим разностное уравнение первого порядка: Ь/»у<+ ау, (2) Оно формально соответствует дифференциальному. уравнению первого порядка: Ь вЂ” +ли=/. йи а< Уравнение (2) можно записать так: Ь(ун< — у,)+ау,=/< или Ьу<+,— — су<+/<, с=Ь вЂ” а.

В общем случае Ь= Ь„а = аи с =си т. е. это известные функ,ции аргумента 1. Пусть Ь< чь О, тогда У<+< Ч У<+ фи Очевидно, что Ч,=с,/Ь<, ф<-/</Ь„Ь<ч»О. Отсюда видно, что решение определено однозначно, если аадано значение функции у при каком-либо 1. Пусть при ь = О задано у,. Тогда можно определить у„у,, ... и т. д. Пусть Ч< Ч= сонэ». Если <у<=О, то значения у, составляют просто геометрическую прогрессию. Если <р< ч» О, то Ун< = ЧУ< + Чь< = Ч(ЧУ«- + ф<-ь) + ф< = Ч У«- + ф<+ Чфн< Продолжая этот процесс, придем к формуле У<+1 = Ч'"Уо+ фь+ ЧЧ< ь + + Ч< 'ф<+ Ч'фо- 1 — Ч<»<У +' ~Р Ч<-»ф» (3) »=э э х РАэностные РРАВнения уравнепия у,+, — — д,у<+ <р„ неравеиствамп первого по- Нетрудно такн<е выписать решение < = О, 1, 2, ..., если д< чь сопэФ.

Иногда пркходится иметь дело с рядка: Можно эаписать исходное уравиение (6) по-другому, так что <<' будет при коэффициенте В<. В«)<юу« + (В, — А<)йу« — (С, — А, — В,)у, = — У<. Таким образом, уравнение (6) — аналог дифференциального уравнения второго порядка. Для его решения нужно задать два дополнительных условия, которыми могут служить значения функции у и разности первого порядка Ьу.

Если оба условия (значения функции у, и первой разности <Ау<) задать в одной точке, то получим задачу Вол<и, если же дополнительные условия заданы в равных (не соседних) точках, то полученная задача наэывается краевой. Пусть решается задача Коши и заданы при <=0 эначения у, и <иую у,— у„или, что то же, эадаиы у, и у» Зная 'у, и у» 3 А. А. Самар<имя у<+<(дую+1<, <=О, 1, 2, ... (4) (задано у„а д, )< известны), Как решать это неравепство? Мы можем решить уравнение о<+< ДР<+ <» Рю Ую (5) Покажем, что у, ~ и» Вычтем равепство (5) лз веравеяства (4): у<+< Р<+< ~~ д(у Р<) ~~ <? (у<-< — Р<-<) ~ ~Х <)'+'(ую — Рю) = О.

Отсюда у<+, ~ Р<+< для любого д, а и< выражается явным обраэом через д, и„)< по формуле, аиалогичиой (3). 4. Раэиостные уравнения второго порядка. Задача Коши. Краевые эадачи. Рассмотрим теперь разпостиое уравнение второго порядка. Удобна следующая форма записи' раэностного уравнения второго порядка: А<у<, — С,у, + В,у<ю„= — Р< 1= 1, 2, ..., А, Ф О, В< Ф О. (6) Преобразуем это уравнение.

Введем Ьу< = у<+, — у<. Тогда уравнение (6) примет вид В<ЬУ, — А<АУ« — (С, — В, — А<)у< = — Р<. (7) Заметим, что Ьу< — «у< = йу« — )<у«- = Ь у -< = у<+< 2у<+ у<-» Лу« — Л'У<, + ЛУ» С учетом этих формул уравнение (7) можно преобразовать к виду А<А<у« + (В, — А,)<4У< — (С, — А, — В<)у, = — Р„А< Ф О. 34 тл.

х пгвдвьтнтВльныв Сввдвння можно определить последовательно значения у, при» 2, 3, . Сот» — А»г»» — Р» У»+» = * В, В»Ф О. » Если заданы у, и у„то задача разрешима и притом единственным обрааом. Но для уравнений второго порядка в математической физике наиболее типичны краевые задачи, когда дополнительные значения заданы при разных », например, при » = О задано у, и при» =,)(» задано у„, т. е. требуется найти решение у», 0 < (< И, уравнения (6), если , (8) У» Ии У» Ра~ где )»„)»» — заданные числа. Множество точек (узлов)» О, 1, 2,,, )ч' называется сеткой.

Б граничных узлах сетки»=0 и» Л могут быть' заданы не только' значения функции, но и значения первой равности или линейной комбинации функции и первой равности. Общее условие можно записать в виде уе = х~у»+ )»о у» хгу»-»+ Кь (8') Подставляя у, = у,+ Ау, в первое из условий (8'), получим х»ЬУ, — (1 — х»)у. = — р,. (8") Случай х, = 0 означает; что в граничном узле $ = 0 задано значение функции у, (так называемое граничное условие первого рода). Если х, = 1, то задано значение Ьу, (граничное условие второго рода).

Б случае х,чь О, х,чь 1 в точке » 0 аадана линейная комбняация функции и первой разности (граничное условие третьего рода). Основной интерес представляют разностные краевые 'задачи. Большое достижение вычислительной математики состоит в том, что для огромного количества задач математической физики вычисления строятся таким способом, что на каждом шаге приходится решать такие трехточечные уравнения, как (6) с условиями (8'). Эта задача является классической, к ней сводятся многие сложные задачи теории вычислительных методов. Матрица такой системы уравнений является трехдиагональной. Она имеет вид » — х О ...

О О О ... О О О А, — С, В, ... О О О ... О О О О О ... А» — С» В» ... О О О О О О О О О . Ал- С»-» В»- О О О ... О О О ... Π— к $ х Рлзностныв уз<<винник Ее порядок равен»У+1, если заданы краевые условия второго или третьего рода. Для системы уравнений (6), (8) имеем матрицу (»У — 1)-го порядка. У этой матрицы от нуля отличны только .коэффициенты, стоящие па 3-х диагоналях — главной и двух соседних. Для систем линейных уравнений с матрицами такого типа ость эффективный метод решения — метод исключения Гаусса, который приводит к формулам прогонки, излагаемым ниже.

5. Метод прогонки. Рассмотрим задачу:. А,у,, — С,у<+ В<у,„, = — Го» = 1, 2, ..., »У — 1, (9) у» = к<у»+ (»»< У<» = »»»У»»-»+ )»»< причем А»та О, В<т=О для всех»=1, 2, ..., )»» — 1. Надо указать простой способ решения этой системы. Идея заключается в сведении разностного уравнения второго порядка к трем разностным уравнениям первого порядка, вообще говоря, нелинейным.

Предположим, что имеет место рекуррентное соотношение (10) у, = а+,у+, + р»+» с неопределенными коэффициентами а, и ()<. Выраясение у,, = а»у»+ (»< подставим в (9): (А,໠— С<)у<+ А»()»+ В<у<+, = — г"'<. Воспользуемся соотношением (10): ((А»сс» — С<)а».,»+ В<) у»+»+ Аф»+ (А<໠— С<)()<+» — У<. Это уравнение выполнено для любых ув если (А»а» — С<)а,+, +В» = О, А»р»+ (А<໠— С<)6»».<+г» О.

Отсюда получаеь» рекуррентную формулу для а,+,. В» а»+ —, А, »'=1,2, ...,»'»» — 1, » а»» (предполагаем, что знаменатель в (11) отличен от нуля; условия, при которых это выполнено, выясним ниже) и рекуррентную формулу для вычисления (1<+».

А»3»+ У» р+» с — аА»» — — 1,2, ..., »т — 1. (12) С» »А» Мы исходили из соотношения (10). Если коэффициенты а< и 6< известны и известно значение у»», то, двигаясь справа налево (от»+1 к»), мы определим после- довательно все у». Уравнения для а<, 6< — нелинейные, они свя- зывают значения этих функций в двух соседних точках. Для а, ()< задача решается слева направо, для у» — в прогивополож- 3" гл. ь пгвдэагительныв сввдвння 36 ном направлении. Для каждой из функций а, 5, у надо решать задачу Коши. Чтобы найти начальные аначения для этих функций, используем граничные условия. Так как формула ИО) справедлива прп» = О, 1, ..., )() — 1, то при (=0 имеем у» = а»у» + р»; с другой стороны, у, = х,у, + р,.

Поэтому ИЗ) И4) а,=х„ Ф»-р» Таким образом, для функций а» и ()» получим задачи Коши: для а- И1), ИЗ), для () — И2), И4) (формулы прямой прогонки). После того, как функции а» и 5» найдены для всех 1 1, 2, ... ..., )У, необходимо найти граничное значение у . Оно определяется из решения системы уравнений У»» Хгуе-»+ Ре» Уи-» = аеук+ (Ь» откуда, если 1 — а„х, чь 0 (см.