А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989), страница 5

Прн высоких температурах коэффициент теплопроводности зависит от температуры: й = Й(и, х), и мы получаем квазнлинейное уравнение теплопроводности, например, о(т (Й(и, х) йгаои) = — Р(х, и), если мощность источников тепла также зависит от температуры (что имеет место, например, в случае тепловыделения за счет 2р Гл. х пгнцзлРительные сВедения химической реакции). В общем случае коэффициент теплопро- водности й и источник г" зависят не только от температуры, но и от градиента температуры: аи аи й = й (х, и, ягай и) = й (х, и,,, — ), (~'~' а '''' а* )' Для определения и = и(х) получается нелинейное уравнение.

Если процесс теплопроводностп сопровождается конвектив- ным переносоч тепла, что имеет место в двил1ущейся среде, то уравнение теплопроводности имеет впд й(т (й йтайи)+ тягай и — ди =- (6) а=1' гДе т = (ио Р„..., и„) — вектоР скоРости сРеды. Распределение электростатического поля описыва1от уравнения Максвелла РОСЕ =О, йгт0=4яр, 0 = ЕЕ, где Š— вектор напрявгенности электрического поли, П вЂ” вектор индукции, з > Π— диэлектрическая постоянная (которая может зависеть от т и дал'е от поля Е при очень сильных полях), р — плотность объемных зарядов. 1ЛВ условия го(Е == О следует, что существует потенциал и такой, чзо Е = — стай и.

Отсюда и пз уравнения й11 1) = 4яр следует й11 (е ягай и) = — 4яр. В однородной среде Ли =- -4яр/с. Если в проводящей среде имеется стзщнонареый ток с плотностью 1= )(х) и пет объемных источников тока, то й1т)= О. Так как го(Е =О и Е = — егай и, поскольку в силу закона ' Ома ) = СЕ, то для потенциала и = и(х) получаем уравнение й(т(октай и) = О, где о — коэффициент электропроводности; если среда однородна, о = сопэс>О, то Ли = О. 2.

Постановка краевых задач. Остановимся на формулировке краевых задач на примере уравнения Пуассона. Пусть С вЂ” конечная область р-мерного пространства х = (х„х„..., хэ) с границей Г. Обычно ставятся следующие краевые задачи. З Ь ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ МЛТЕМАТИЧЕСКОН ФИЗИКИ 21 +-") ( —:) «а=ьа ьа ь, + ~ Ых, ) г" (хм ха)г)х,—.-О. аз--аз аз а г Краевые задачи мон но свести к задачам о минимуме (в классе достаточно гладких функций) функционала, который, например, Требуется найти непрерывное в залшнутой области С+ Г ре- шение уравнения би = — 1(х), х ж С, удовлетворяющее на Г одному из граничных условии: а) и = р,(х) при х ж Г (первая краевая задача); (7) б) —.

== р,(х) при хен Г (вторая краевая задача); (8) ди да в) — + 0 (и — р~ (х)) = О п)эи х с=в Г (О) (третья краевая задача), где р,(х), )ь,(х), р,(х), о = о(х) > Π— заданные функции х, диода — производная по внешней нормали к Г. В случае уравнения (3) вместо ди!дп в б) илн в) надо под- ставить |с ди/дп. Мы не останавливаемся на формулировке условий, обеспечи- вающих единственность и существование решения краевых аадач, В дальнейшем всюду в книге предполагается, что рассматривае- мые задачи математической физики имеют все производные, нуж- ные по ходу изложения.

Физический смысл условий а) — в): а) — задана граничная температура, б) — на границе Г задан тепловой поток, в) — на границе происходит теплообмеп по закону Ньютона с внешней средой, имеющей температуру р,(х), Вторая краевая задача (задача 1!еймана) раэреншма прн вы- полнении условия ) р (х) о+)!( )Ы -=-О, г о где сйг — элемент поверхности, Нх= г(х,г1х,... г(ха -- элемент объ- ема. Это условно означает, что через границу Г вытекает столь- ко же тепла, сколько его выделяется в объеме С.

Уравнение (3) эквивалентно интегральному тождеству (урав- нению баланса тепла) ~ й —. г(о+ ~ 1'дх -- О, г о где С' — произвольная подобласть (с границей Г') области С. Если, например, в случае двух измерений взять С' =- (а, < х, < < Ьп о, < х, < Ь,1, то уравнение баланса примет внд Рл, ь пгедВАРитзльные сведания 22 для задачи Ьи б1ч(йягаби) — си =-1(х), х 1н 6, и1г =О, имеет вид ди 2 т (и] = — ~' ) й ( ~ ) Их+ ') дич)х — ~1и Нх, Нх = Ихфхз... схв.

аег С с с В .одномерном случае (р т) эллиптические уравнения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, б есть интервал 0(х(1, Г состоит пз двух точек х=О и х 1, так что 6 С+ Г = (О ~ х ~ П. Дифференциальное уравнение (5) имеет вид — (й(х) —.) — с(х) и = — Р(х), 0(х(1. При х = 0 и х = 1 ставятся краевые условия: а) и (0) = )г„и (1) = (г,; аи а'и б) й — = р, при х= О, — й — „= и, при х= 1; аи в) й — — с1и = — р, при х= О, а'и — й — — с и = — р при х= 1.

за 2 т Кроме того, возможны любые комбинации краевых условий а) — в) при х = О, х = 1. 3. Уравнения параболического типа. Типичным представителем уравнений параболического типа является уравнение теплопроводности, описывающее нестационарный процесс теплопроводности. В нзотропной среде это уравнение имеет вид с — = Ьи + ~ (х, 1), х ен 6, Г ) О, (10) где р Ьи = й)т(ййгаби) = ~~ з (й(х,1) з ), (И) ~а Й = й(х, 1) ~ 0 — коэффициент теплопроводности, с с(х, 1) ) 0— теплоемкость единицы объема. При 1 0 задается начальное условие и(х, 0) = и,(х), хж г., а на границе à — одно из краевых условий (7) †(9). В дальнейшем основное изложение проводится для первой краевой задачи: и= к(х, 1) при х~ Г, 1>0.

В случае однородной изотропной среды, когда Й(х, 1) = Й сопз$, с(х, 1) = с = сопзС, уравнение теплопроводности ваписы- $ ь типичнын зАдАчи мАтемлтическои Физики 23 кают так: ди г — г Ь вЂ” 1 дс — = агдги + ) (х, 1), а = —, д' г' (12) где а' — коэффициент температуропроводности.

Меняя масштаб для И и х„, а=1, 2, „р, всегда можно добиться, чтобы коэффициент при Ли был равен едияице. Так, например, в одномерном случае ='=а' д "г +((х, 1), 0~*~1, дг д,*г введем новые переменные х хЛ, с=а*И' и для фушции и = — и(х, И) получаем уравнение д, = —.+~(~ 1) О( (1 11 ( г здесь 1 (х, 1) = —, ~ ~ гх, —, 1 Таким образом, без ограничения общности вместо уравнения (12) можно писать — и Ли + 1 (.г, (), х ы 6, ди и(х О) и (х), хж(, и(г =(г(х д), хы Г, 1~ 0.

В случае неоднородной и анизотропной среды в уравнении (10) меняется лишь оператор Ь: (лад (г 1) д )~ (13) а,д=г а причем матрица (Й„г) удовлетворяет при любом х и И условию эллиптич ности. Если коэффициенты с и Й зависят от температуры и, то уравнение теплопроводности (10) в пзотропной среде имеет вид Р с(и х,8) дг — ~д~~ ~д (й(и,х,1) д )+1(х,г,и).

(11) ~а Весьма часто встречаются задачи, для которых с и й зависят только от температуры, с с(и) >О, й =й(и) >О. В этом случая можно ввести новую переменную и г = ) й (й) г(й + сопз1 о гл, ь пгвдвьгиткньнык сввдхния 24 и преобразовать уравнение (14) к виду Ф(~) ~~ = йи+1(х~ь) 'Р(~) = ь( („)) В частности, при й=(сои", с = сой имеем о с, с у'и+( ~и+о о о иио1 ~р (и) о и,и и о ( ) пи+1 Возможна и другая замена: и и =' ) с(й)Ый, Й(и) — = — —, ди Ь (и) ди ди с (и) ди о так что э дс = 2й ди ("() ди )+1 () с(и(о)) а он а Такие способы замены широко применяются в вычислительной практике.

ди Уравнению — =с)(т()сйгайи)+1 соответствует интегральное уравнение баланса тепла в области С' = С с границей Г': со с, 1 ~ =~ 1(~йф Ь+~ 11~ ~ (, о с, с, г' с, о где 1, и 1,)1, — произвольные числа. Здесь и= — йдиlдп — по- ток тепла по нормали к поверхности Г'. В одномерном случае имеем ь 'о ь 'о ь 1[и (х, $ь) — и (х, й1)) Их= ) )с †, ~ Иг + ) сЫ ) 1 дх. о Юь и~ 8~ а 4. Уравнения гиперболического типа. Мы будем рассматри- вать уравнения второго порядка, а также системы уравнений первого порядка. Уравнение второго порядка имеет вид р —,, = Еи+~(х,(), х~б, 1)0, р)0, (15) до где Еи — один из эллиптических операторов (11), (13), с коэффициентами„зависящими от х и с, пли Ьи = Ли. Для однородной среды имеем р —, =(сАи+~(х,(), р)0, )с)0, (для уравнения колебаний мембраны р — плотность, а й— З Ь ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 25 Натяжение мембраны) или, после замены переменных, д и — = Ли + 1 (х, С).

На границе Г задаются краевые условия одного из указанных выше типов (7) — (9), например, и=)о(х, С), х~и Г, С) О, а при С = 0 — два начальных условия и(х, О) = и.(х), ди/дС(х, О) = й,(х), х ш ох. В одномерном случае простейшим уравнением гиперболического типа является уравнение колебаний струны: — =а' — + С(х,С), 0<х<1, ди о ди дС дх (где а — скорость распространения колебаний), которое после замены независимых переменных может быть записано в виде дои дои — = —, + 1(х,С), 0<х<1, С)0, и(0, С) = рг(С), и (1, С) = р,(С), С~ )О, и(х,О) = ио(х) д (х, 0) = ио(х), 0<х<1. (16) Этому уравнению соответствует интегральное соотношение (уравнение баланса) ~( — и + — йС) Цу(~, ) ЫС, г ЗР д и дои до дх эквивалентно системе уравнений первого порядка ди ди до дх ' ди ди до дх' где' Г' — любая замкнутая кривая, ограничивающая область о' на плоскости (х, С).

Если существуют непрерывные вторые производные д*и/дС' и дои/дх', то отсюда следует дифференциальное уравнение (16). Для этого следует в качестве о' выбрать прямоугольник со сторонами длины Ы и Лх, параллельными осям ОС и Ох соответственно, разделить уравнение баланса на ЛхЛС и перейти к пределу при 6С - 0 и Лх- О.

Однородное уравнение гл. х пввдвагительвьгк сввдевия которой соответствуют уравнения баланса ! (и Их ! г И!) -- О, 1 (и Их + и й) = О. !" !! )[рими[нзм слстомы ураэлсллй гиперболического типа может влужить система уравнений Ламе динамической теории упруыюти — = р Ьп + (Х + [й) йгаб б и и + 1„ д$ где Х сопз1>0, )й=сопз$~0, н — вектор смещения. В двумерном случае система уравнений Ламэ принимает вид ди г ди й ай й д и й = — (х + 2[й) й + )й й + (х + Р) аи ди + 1м *1 ди ди ди ди а'и, й — ()" ! )й) а а + !",' +(А+2р) —,+1йй 1 й дий дийй где и, и,(х, 1), и, и,(х, !) — компоненты вектора смещения и (и„и,), а 1 (1и 1й) 5.