А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989)

А. А. САМАРСКИЙ ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ИЗДАНИЕ РРЕРЬЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ Дон»ирна Госрдарстввниим иииитвтом СССР по народнаиу образованию е иачестве рчебново пособия Вяя атудентов еисаиюс рчебиия аиввдвииб, обрчаюивитяя ро специаяьности вПриивадная матвматина« МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ 1888 ВВК 22Л93 С17 УДК 519.63 (0,75.8) Учебное издание САМАРСКИЙ Александр Акареееич ТЕОРИЯ РАЗНОСТББГХ СХЕМ Заведующий редаккией А. С. косов. Редактор И. М. Боко»а Художественный Редактор Г.Б.

Боль«сика. технический Редактор и. ш. Акаельрае КоррсктарЫ и. Б. Скоорккка, Б, Б. Сорокина ИБ М 41218 поди свпо к печати с пи»помпнаов 24ло.вж формат еохоогге. Бумага тип 2 Гарнитуре оемкионанивя. Печать офсетная. Уся. пе«, н. 58.5. Усп. кр:атг. 58,5 уа.-изп.и. 38,99. тирам 475о вкз, заказ 7Р 37, . цена 1 р. ео к. Ордена Трудового Красного Знамеяя и»иатеньство «Н«укв» Главная рен««сия фисико-иатеиати«есной литературы мусы Мое~ вв Б-71, Ленийскнй проспект, 15 Четвертая типография издательства *Наука».

звзв77 Навосисврск, 77, ул. Станиславского, 15. С ~6921 6669-148 „3, 653(62)-89 13В1Ч 5-02-0 14576-9 Нвд»тельство «Наука». 40) Главная реявкиня фн»ико-математической литературы, 1989 Самарский А. А. Теория разиостиых схем.— 3-е изд., нспр.-МЗ .Паука. Гл. род. физ.-мат. лиг., 1989.— 616 с.— 13ВИ 5-02-614576-9. Содержит систематическое изложение основных вопросов теория равиостпых схем, возникающих прп решении вадач для уравнений математической фивики. Главное внимание уделяетсп изложению принципиальны вопросов теорви, иллюстрируемых па простых задачах математической физики для уравнений второго порядка, имеющих в основном параболяческий илк эллиптический тип.

З.е издание, исправленное. Длн студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математкка» и «Физика», а также для научных работников †математик, фнаиков и механиков. Тзбл. 6. Ил. 19. Бпблиогр. 17 назв. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию ! !рслислозие к йсрзому изданию Нзодевве . Г л а в а 1. Предварвтельвые сведеыыя $1. Твпвчные задачи матоматвческой физики $2. Развостные уравнения . Г л а в а 11.

Освоввые понятия теЬрвы раэиоетыых схем $1. Развоствая аппроксимация простейших дифферевцвачьныт операторов $2. Устойчивость развоствой схемы . $3. Некоторые сведеывя о математвческом аппарате тооркк развоствых схем $4. Разноствые схемы как операторные уравнения. Общие формулировки Г л а з а 1П.

Однородные разыостяые схемы $ 1. Однородные схемы для уравнения второго порядка с перемеянымк коэффыциентамв $2 Консерватыввые схемы $3. Сходпмость в точырсть однородных консервативных схем $4. Одпородвые развоствые схемы на неравномерных сетках $5. Другие задачи $6. Разностная функция Грива $7. Схемы повышенного порядка точвоств . .$8. Методы построения развостяых схем $9. Коэффвцвсвтвая устойчивость !'л а з а 1Ч. Развоствые схемы длк ураввеввй чллвпигческого тяпа $1.

Разпостная задача Дыркхле для ураввевия Пуассона $2. Припцяп максимума $3. Устойчивость к сходвмость раэвосткой аадачв Дврвхле $4. Некоторые свойства раэвоствых эллиптических овераторез $5. Схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона Глаза Ч. Ревностные схемы для ыестецыоыарвых ураввеввй с постолывымя ыоэффкцвевтамы $ !. Одномерное уравнение теплопроводыости с постояввымв коэффвциектами . $2.

Асвмптотвчесжая устойчивость $3. Схемы для уравнения теплопроводкоств с несколькими простравствеввымв перемеввымы $4. Нестацвоварвое ураввение Шредингера $5. Уразвевые ыереноса $6. Развоствыс схемы для уравнения колебаний струпы Глава Ч1. Теория устойчввостя раэвостяых схем $1. Опораторво-развоствые схеыы $2. Классы устойчивых двухслойных схем . $3. Классы устойчивых трехслойныт схем . 1 ° 5 6 9 18 18 29 60 60 68 97 136 136 141 150 157 165 181 187 193 205 2Н 211 226 232 236 250 257 257 279 289 296 300 320 320 331 353 ОГЛАВЛЕНИЕ Г л а з а УП1. Ревностные методы решения нелинейных ураввенвй математической физики............

413 $1. Разпосгные методы решения кзааилвнейного уразнезмя теплопрозодностп................ 413 $2. Консервативные разностные схемы вестационарной газовой двнамикп . . . . . . . , . . . . . . . 427 Гл а за 1Х. Экономичные разноетные схемы для многомерв матема1мчеекой физики $1.

Метод переменных направленив (продольно-непер ма) для уравнения теплопрозодности $2. Экономвчные фактвризозанные схемы $3. Метод суммарной аппроксимации Глаза Х. Методы решения сеточных уравнений . 4 1. Прямые методы $2. Двухслойные итерационные схемы $3. Поеереченно-треугольный метод . 4 4.

Нтерацнолные методы переменных направлений $5. Другие итерацзояпые методы Дополпеяве . $1. Некоторые сзедення вз функционального анализа 9 2. Некоторые зарнапты метода прогонки 4 3. Задачи Бвблпографсческнс номмептарни . Латернтура Осяовные обозначения, принятые з книге Предметный указатель ых задач 442 саная схе- 477 515 515 540 567 580 592 592 597 601 609 612 613 615 Г л а н а т'П. Однородные схемы для вестацвонарных уравнений матезштвчеепей фвзвии с переменными возффвцвентами...

378 $1. Однородные рааностные схемы для уравнения теплопронодности с перемеявыми козффвцнентамн,..... 378 9 2. Однородные ревностные схемы для уравнений гиперболического тина........ '....... 407 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ За время, прошедшее после выхода первого издания этой книга, в теории раэностных методов получен ряд важных результатов, относящихся: 1) к разработке методов построения разносткых схем для линейных и нелинейных многомерных задач математяческой физики (вариационно-разностные методы, метод опорных операторов и др.); 2) к изучению точности разностных схем на негладких (обобщенных) решениях; 3) к разработке новых методов численного решения разностпых эллиптических уравнений и др.

Однако, поскольку сначала предполагалось стереотипное первпздапне книги непосредственно с матриц, то автор вынужден был ограничиться лишь внесением минимального числа исправлений для устранения опечаток и неточностей, Для обеспечения учебного процесса .по специальностям «Прикладная математика» и «Вычислительная математика» необходимы учебные пособия разного типа и уровня. В последние 5 лет автором вместе с сотрудниками подготовлен ряд книг. Вопросы, связанные с решением систем линейных алгебраических уравнений вообще и разностных уравнений в особенности, детально рассматриваются в книге А.

А. Самарского и Е. С. Николаева «Методы решения сеточных уравнений»' (М.: Наука, 1978), где изложены прямые методы и дана общая теория итерационных методов решения систем линейных уравнений, а также различные специальные методы для разностных уравнений.

В книге А. А. Самарского и Ю. П, Попова «Разностные методы решения задач газовой динамики» (второе переработанное издание, М.: Наука, 1980) излагаются методы построения и исследования разностных схем для одномерных и двумерных задач газовой динамики н магнитной гидродинамнки, а также методы решения нелинейных уравнений для неявных схем. Она идейно опирается на книгу «Теория разностных схем» 'и иллюстрирует особенности численного решения нелинейных задач математической физики.

Находится в печати книга А. А. Самарского «Введение в численные методы»; она написана на основе лекций автора, читавшихся в течение ряда лет для студентов 2-го курса факультета вычислитель»к)й математики и ннбернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. 5 мая 1982 г. Москва А. А.

Самарский ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДА11И10 Быстрое развитие численных методов решения задач математической физики вызывает необходимость изложения теории разпостных (или сеточных) методов на современном уровне в форме, доступной для широкого круга читателей. Данная книга, являющаяся учебным пособием, содержит изложеяие основ теории разностных схем и применения этой теории для изучения числеппых алгоритмов решения на ЭВМ типичных задач математической физики.

В ней дается по возможности элементарное и систематическое изложение основных принципиальных вопросов теории, иллюстрируемых па простейших задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений параболического, эллиптического и гиперболического типов. Рассматриваются прежде всего те схемы (или их простейшие модели), которые представляют практический интерес, т. е. пригодны для решения конкретных задач па ЗВМ. Основное внимание уделяется написанию разностной схемы и теоретическому (априорному) исследованию ее свойств (погрешности аппроксимации, устойчивости, сходимостп и точности), а также вычислительным алгоритмам для решения разпостных уравнений, получающихся при сеточпой аппроксимации.

Формулируются конструктивные принципы (такие, как требования однородности и консервативности, суммарной аппроксимации и др.), которые теоретически обоснованы для линейных и проверены па практике для нелинейных задач. Эффективность общей теории рааностных схем, в особенности теории устойчивости (гл.

Ч1), проиллюстрирована на большом числе примеров, причем дал~е для простейших уравнений с постоянными коэффициентами общая теория дает неулучшаемые результаты. Поскольку мы рассматриваем лишь схемы для дифференциальных уравнений второго порядка, то при решении получающихся разностных уравнений (как в одномерном, так и многойерном случаях) используется лишь алгоритм одномерной прогонки (для систем алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей). Следует отметить, что для теории разностпых схем типично предположение о том, что решение исходной задачи для дифференциального уравнения существует и имеет нужное по ходу наложения число производных, обеспечивающих максимальный порядок аппроксимации.