А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989), страница 3

Естественно выбирать такие методы, которые для решения задачи с заданной точностью требуют минимального машинного времени. Время решения задачи должно быть разумным, измеряться минутами илн, если речь идет о единичных расчетах, несколькими часами. Расчет должен стоить возможно дешевле. Время решения задачи зависит от алгоритма, от вычислительной машины и качества программы. Последнее учесть при априорных оценках качества 'алгоритма очень трудно. т1исло логических действий тоже трудно оценить независимо от машины. Поэтому сравнение вычислительных алгоритмов прн теоретическом исследовании проводят обычно по числу арифметических операций Д,(е).

Поиск экономичного алгоритма, для которого число операций минимально, осуществляется в. классе допустимых алгоритмов (например, имеющих одну н ту же аспмптотику для (),(е) при е- 0). В этом и состоит основная задача теории численных методов. Прн теоретических исследованиях алгоритмов обычно сначала предполагается, что вычислительный процесс является идеальным, т. е. вычисления ведутся с бесконечным числом .

знаков. Однако на ЭВМ вычисления ведутся с конечной скоростью и с конечным числом знаков, допустимы не все числа, есть машинный нуль и машинная бесконечность. Если в процессе вычислений получается машинная бесконечность, то происходит аварийный останов (авост). Вычислительный процесс может оказаться неустончивым, т. е. ошибки округления могут неограниченно нарастать, что делает алгоритм непригодным для практических расчетов (прнмеры таких неустойчивых алгоритмов приводятся в гл. 11 данной книги).

Реальный (т. е. пригодный для ЭВМ) вычислительный алгоритм должен быть устойчивым н не допускать в процессе вычислений слишком больших промежуточных аначений (прнводящих к авосту). Из сказанного ясно, что идеальный вычислительный алгоритм мелеет быть оптимальным по числу Д,(з) и совершенно непригодным для вычислений на ЭВМ. . Поэтому надо искать оптимальные реальные вычислительные алгоритмы. Вычислительный эксперимент — это пе разовый счет по стандартным формулам, а прежде всего расчет серии вариантов для различных математических моделей. Пусть, например, надо найти оптимальные условия некоторого химического процесса, т. е. найти условия, при которых быстрее всего идет реакция.

Решение.задаче зависит от ряда параметров (например, от температуры, давления, от состава реагирующей смеси и др.). Чтобы Вввдянне найти оптимальный режим работы, надо провести расчеты для различных значений этих параметров, т. е. решить ряд вариантов. Конечно, возможны ситуации, когда алгоритм нужен для одиночных расчетов. Постановка задачи об оптимальном алгоритме зависит от характера его использования (в одновариантком пли многовариакиом режиме). Мы пе останавливаемся здесь на вопросах, связанных с программированием, организацией и проведением вычислений па ЭВМ.

Отметим лишь, что деятельность по программированию должна быть тесно свяаана с разработкой численных алгоритмов. Задачи математической физики сложны и алгоритмы для их решения — громоздки. Их надо делить на блоки, «модули». Далее, процессы разной физической природы часто описываются едкими и теми же уравнениями (например, процессы диффузии, теплопроводности и намагничивания). Разные физические задачи могут иметь одну и ту же математическую модель, хотя у каждой аадачи есть своя физическая специфика. О другой стороны, математическая модель в процессе проведения вычислительного эксперимента может существенно меняться несколько раз, и это требует изменения алгоритма (точнее, отдельных его частей) и, следовательно, программы.

Отсюда возникает необходимость создания комплекса программ (пакета программ), построенного на модульном принципе и позволяющего оперативно проводить вычислительный эксперимент и решать классы задач разной физической природы. Зто — актуальное направление в программировании и решении больших задач математической физики, оказывающее воздействие на работу по созданию численных методов.

Для численного решения задач математической физики обычно применяется метод конечных разностей илп метод сеток. Оп позволяет свести решение дифференциальных уравнений в част иых производных к решению систем алгебраических уравнений. Данная книга посвящена теории разностных методов (схем) для решения типичных задач математической физики. В теории численных методов есть два главных вопроса: 1) построение дискретных (рааностных) аппроксимаций длэ уравнений математической' фпаики и исследование априорных характеристик качества этих аппроксимаций, что сводится прежде всего к изучению погрешности аппроксимации, устойчивости и связанной с ними точности полученной разностной схемы; 2) решение разностных уравнений прямыми или итерациопными методами, выбираемыми из осображений экономичности вычислительного алгоритма.

Характерная черта численных методов — их множественность. Каждому уравнению можно сопоставить бесчисленное множество раэностных аппроксимапий, имеющих одни и те л~е асимптотяческие (т. е. по порядку относительно шага сетки я) характе- вввдвшш рвстики (один и тот же порядок точности, одинаковый по порядку объем вычислений и т. д.). В этом состоит основная причина появления большого числа разных схем для основных уравнений математической физики. Естественно стремление найти наилучший метод, который позволял бы получить искомое решение с заданной точностью за минимальное машинное время.

Поиск таких численных методов на некотором множестве допустимых методов и есть основная цель теории. Для поиска наилучшего (оптимального) метода (выбор которого зависит от класса решаемых задач) применяется постепенное сужение множества допустимых методов путем последовательного включения требований аппроксимации, устойчивости, экономичности и др. Важную роль играет общее требо- . вание: разностяая схема (дискретная модель) должна как можно лучше моделировать (приближать) свойства исходного дифференппального уравнения.

Для практики необходимо формулировать общие принципы, эвристические приемы и правила для получения раапостных схем заданного качества. Такими принципами прежде всего являются принципы однородности (единообразия) и консервативности разностпой схемы. Консервативность означает, что разпостная схема выражает некоторый закон сохранения (уравнение баланса) на сетке. Консервативность однородных схем является необходимым условием сходимости в классе разрывных коэффициентов для стационарных и нестацконарных задач математической физики.

Для линейных уравнений свойство консервативности разностпой схемы обычно эквивалентно требованию самосопряженпости разностного оператора (см. гл. П1 и 1Ч). Для нелинейных уравнений, например уравнений газовой динамики, эффективным конструктивным принципом является принцип полной консервативности разностной схемы (см. 3 2 гл. У111). Основные понятия теории разностных схем — погрешность аппроксимации, устойчивость, сходимость и точность разностной схемы — вводятся в гл.

П данной книги. Эти понятия иллюстрируются на примерах схем для обыкновенных дифференциальных уравнений. Уже здесь намечается переход к общим формулировкам, не испольаующим информации о конкретном виде рааностного оператора. Основной вопрос теории — о точности схемы — сводится к изучению погрешности аппроксимации и устойчивости схемы. Изучение устойчивости схемы сводится к получению априорных оценок решения разностной задачи через входные данные вадачи, что является большой самостоятельной проблемой, требующей специального рассмотрения. С другой стороны, и вопрос о погрешности аппроксимации пе является тривиальным. Уже простейший пример схемы на 14 ВВЕДЕНИЕ неравномерной сетке для уравнения второго порядка показывает, что погрешность аппроксимации желательно оценивать не в норме-С, а в более слабой норме специального вида (в негативной норме).

Отсе»да возникает необходимость получения априорных оценок для решения разностной задачи череа правую часть в слабой норме. Такого-вида оценки получены в гл. 1П и использованы'для доказательства сходимости однородных рааностных схем в классе раарывных коэффициентов. С необходимостью пересмотра понятия погрешности аппроксимации и, тем самым, понятия схемы мы сталкиваемся в гл. 1Х з связи с построением экономичных схем для многомерных задач математической физики. Введенное в $ 3 гл. 1Х понятие суммарной (по 8) аппроксимации носит конструктивный характер и позволяет легко написать экономичные схемы для различных задач. В книге есть примеры, показывающие различные подходы к понятию устойчивости разностных схем.

Так, в гл. У, посвященной разностным схемам для нестационарных уравнений с постояннымн коэффициентами, изучается асимптотическая устойчивость разностных схем для уравнения теплопроводности— свойство, присущее дифференциальному у()авненню. Теоретические вопросы возникают в гл. П вЂ” '»г в связи с изучением конкретных разностных схем для уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов.

В гл. П1, в связи с изучением однородных разностных схем для обыкновенного дифференциального уравнения, ставится типичная задача теории разностных схем: задано исходное семейство разностных схем (в данном случае семейство задано, если заданы шаблонные функционалы), требуется найти в этом семействе схемы нужного качества. Эта задача решается в гл.

1П с использованием конкретного вида схемы, и ее решение приводит нас к консервативным однородным схемам. В гл. У1 излагается общая теория разностных схем. Для построения общей теории разностных схем естественно освободиться от предположений о структуре разпостных операторов, об .их явном представлении. Это приводит к определению разностных схем как операторных уравнений (аналогу сеточных аппроксимаций для эллиптических и интегральных уравнений) и операторно-разностных уравнений (разностных по аргументу г с операторными коэффициентами), которые являются аналогами разностных схем для нестационарных (эволюционных) уравнений математической физики (например, параболического и гиперболического типа).

Операторы схем являются линейными операторами, заданными в некотором абстрактном линейном нормированном пространстве Н», зависящем от векторного параметра Ь (аналога шага сетки по х (хо л„..., л»)) с норкой !Ь! ) О. Итак, рассматриваются два типа схем~: ввкдвнив Операторная схема имеет вид последовательности (по параметру я) операторных уравнений первого рода Ау=(, где А А,: Н» — Н» (оператор А» зависит от й и действует из Н» в Н»), ) = 1»ы Н» — заданный вектор, у = у»ш Н» — искомый вектор.

Операторио-ревностная двухслойная схема записывается в следующем каноническом виде: к»+» В +Ау'=- <р', 1=-0,1, ..., задан у»яН», где т — шаг сетки по г: 8~ )т, 1 О, 1, ...; А, В: Н,— Н. и зависят от Ь, т и„вообще говоря, от гь у'= у»,.(г»)»в Н» — искомая, а ~р'= <р», »(г~)»и Н» — заданная функции дискретного аргумента»»=ут со значениями в Н, (индексы й, т ния(е опускаем). Многослойные схемы (т.,е. схемы содержащие значения уй) для нескольких моментов»»ь»ыо 8ы», ...) могут быть сведены к двухслойным схемам, у которых А и В являются операторными матрицами. Центральным разделом теории разностных схем является теория устойчивости, Исследованию устойчивости'раэностных схем посвящено огромное количество работ, значительная часть которых основана на применении спектральных методов н содержит трудно сопоставимые и малоэффективные, результаты, как правило, использующие предположения о структуре разностных операторов.