А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989), страница 10

1. пгндв»гитквъньж сввдкния Если у( и у» — линеино независимые решения уравнения (1) (1) (44), то общее решение этого уравнения, очевидно, имеет вид у, = С,у»')+ С,УГ), где С, и С, — произвольные постоянные. Они могут быть найдены пз начальных или краевых условий, так как Л»»+„ч»0 для любых )и т. Общее решение неоднородного уравнения 2'(у») = — г» можно представить в виде у =С,у +С,у +у, (1) (1) где у» — частное решение уравнения Ы(у») = — Г». Произвольные постоянные С, п С, можно определить, напри- мер, из условий при ) = О, 1= 41 Уе = С)уе +С»у»» У1= С)У1 +С»У1 К)»э) (1) (1) если у, и у, известны (задача Коши).

Это возможно, так как у)~~ и у(') — линейно независимы и Л»зч»0. В случае краевой задачи у, )(„уз=)»1 постоянные С, и Се определяются .одно- значно, так как Ле, э Ф О. Если коэффициенты уравнения (44) постоянны (А, = а, С, с, В» Ь), то частные решения можно найти в явном виде. Будем искать частное решение уравнения (45) в виде у» д», где дФ ч»0 — неизвестное пока число.

После подстановки этого выраже- нии в (45) получим для д квадратное уравнение Ьо' — са + а = О. (46) е+ е' е~ — 4»Ь Оно имеет два корнями„э= 2 . В зависимости от вели- 2Ь чины дискриминанта Р ='с' — 4аЬ возможны три случая: И Р с* — 4аЬ>0. Квадратное уравнение имеет различные и действительные корни е+ У)З е — УТ) 2Ь ' Уе 2Ь которым соответствуют различные частные решения у» =у), (1)» у)» = дэ.

Так как »» Л„,+, =1„„„1= (д, — д,),",д„о, то у» и у» — линеино независимы. Общее решение уравнения (1) (1) (45) имеет вид »» у, = С)У1+ Сер„ где С, и С, — произвольные постоянные. з 3. Р»зностные уРАВнения .49 2) Р= с — 4ад =О. В этом случае до = д,=с/(2Ь) = д,— корни совпадают, а в качестве линейно независимых частных реп)» [о)» шеиий можно взять У» = до, У» = /сдо. Покажем, что у» = йд, в самом деле является решением урави) ",» пения (45): Ьу»+, — су~»Ю + ау»", = (Ь (/с + 1) до — с/сд, + а (й — 1)] д", ' = = до /с(Ьдо — сдо+ а) + до (Ьдо — а1 = до (Ьдо — а) = О, так как Ьдо — а = Ь (с/(2Ь))о — а = Р/4Ь = О.

Вычисляя определитель » )„» Л =!" 4 1= + О »,»+г = ~ »+) )+г ~ = до о о убеждаемся в линейной независимости до» и /сдо. Поэтому общее решение уравнения (32) в этом случае имеет вид у» = (С) + /сС») до до = с/(2д). 3) Р= с* — 4аЬ( О. Квадратное уравнение (46) имеет комплексно сопряженные корни д, = — ' -)- = р(созф+ (з)пф) = ре'о, с — Ь~~1Ц ) до= ь = Р(созф — (з1пф) = ре где р = р/ —, ф = агс19И вЂ”, 1= 'Ьс — 1. Частными решениями являются функции ~~ = р е " = р (соз (Ьр) + 1зш (/сф)), до = р»е ио = р»(соз(Ьр) — 1зш(Ьр)) или функции у~»') = р соз (Ьр), у»' = р» вш (Ьр).

Они линейно независимы, так .как зш(Ьр) и сов (Ьр) линейно независимы (Ь».»+, Ф 0); Общее решение имеет вид у„= (С, соз(ЬУ) + С, еш (яф))р', Пример 1. Найти общее решение уравнения у»+, — 2руо+ у,, = О, 4 Л. А. Сооорсниа гл. ь пгедВАРитгльнык сввденкя 50 Надо рассмотреть случаи: а) р ( 1. Тогда можно положить р =.Сова, аз'" О, так что у,+,-2созау,+у„, О. Полагая у, у"; получим квадратное уравнение д' — 2 соз ад+ 1 = О. Его дискриминант П = сов* а — 1 — зш' а < О, а корни равныднз=е, д,л =с . Частные решения: ~~и ь ~ма у),'~ = сов(йа), уР) = зш()са).

б) р)1, так что р=сЬа.'Полагая уь д~, получим для д квадратное уравнение д' — 2 сЬ а д+ 1 О, 1) = сЬ'а — 1 > О. Корни:унз=сЬа~зЬа=е, д,з =е . Частными решениями ~а ь ~за явлввтся функции у~~» сЬ (йа), у~~Р = зЬ (йх). в) р=1. В етом случае д' — 2д+1 О, д, ~=1, и частные решения уь = 1 уь = й, так что общее решение есть линейная функция у„С, +С,й. Пример 2. Вычислить интеграл 1А() = ~ '(ф)- ("Ф)ЫЧ„Ь=0,1,2, соз ф — сов ф о Заметим прежде всего, что 1з(ф) 0 1д(ф) = ~ йр = с Покажем, что 1, есть решение аадачи Коши для разностного уравнения второго порядка 1~+,— 2созф1ь+1,,=0, й=1, 2, ..., 1,=0, 1, н 'при произвольном фиксированном ф.

51 в 3. РАзностные уРАВнения Рассмотрим выражение (сов ((й+ 1)ф) — сов ((й+ 1)«рН + (сов ((я — 1)«Р) — сов ((й — 1)»р)) = 2 соз (Ьр) соз ф — 2 соз (йф) сов «р = 2 (соз (ЬР) — сов ()оф)) соз «р+ 2 (сов «р — сов ф) сов (Ь~). Отсюда следует, что Г (сов «р — ооо»р) сов»»ф, 1»фд + 1» д — — 2 сов «р 1» + 2 1 аф = о = 2созф1»+ 2) соз()»ф)»дф = 2сов ф1», )»)1, о т.

е. 1»+» 21»сов»р+1», =". Как следует нз примера 1 (случай а)) 1»(ф) =С, сов (Ьр)+ Сов»в(Ьр). Начальные условия при 1» — О, й=1 дают С,=О; С, сов»р+С, здв»р = я, С, = —." н, следовательно, 12. Формулы «разноснюго дифференпвровавия» произведения и суммирования по частям. Выведем формулу, являющуюся сеточным аналогом формулы дифференцирования произведения двух функций: — (и(з) д»(к)) = и(х) — + о(я) —. »д »Ь »ди Пусть у» и Р» — проиввольные сеточные функции аргумента »=О, ~1, ~2, ... Тогда справедливы следующие формулы вразностного дифференцирования» произведения: ДД(у»Р») = У»»ДР»+ Р»+»ГДУ» = У»+»НР»+ Р»») У»» (»)7) т(у»в ) = у,,то, + Рту, = УРР, + у»,туь где 1»у» у»+» — у» — правая разность, а Чу» = у, — у», — левая разность, так что Ру»+» = »«»у» Эти формулы проверяются непосредственно: у»»»»Р»+ у»+ Ау» ь= у»(в»+» — в») + у»+»(у»+» — у») у»+»в»+» — у»в» = Иу в»).

йо гл. 1. пгвдвогительные сВедения При проверке формул для Ч(у<и<) достаточно учесть, что Ч(у<и<) д(у« и« ). Важную роль в теории разностных уравнений играют сеточные аналоги формул интегрирования по частям о о ) и Р о)х= НР< — ) иг Ых. О О Рассмотрим функции у» УП), Р< и(1), заданные .на сетке (( О, 1, 2, ..., Ж). Введем суммы О<-1 о< (У, )= ХУ<оь (У ~1= ХУ~ о < 1 < 1 <О-1 (У> Р) = Х Уоч< «=о о — аналоги интеграла) ВР«х= (и< о)о:Покажем, что справедлива формула суммирования по частям (у, Ди) = — (и, ЧУ1+ рви„— у,и,. (48) В самом деле, подставим взятое из (47) выражение у ДР Д(уоз ) — Р,,Чу<о< в сумму Л-1 М-1 Е-1 (У ДР)= Х У<ДР<= Х Д(У<о<) — Х Р<+1РУ<+1= < 1 <-1 < 1 я = у<ого< — Угв< — ' ~ Р<< УУ« и о Гдз Г' 1+1.

УЧнтЫВая ЗатЕМ, ЧтО у< У<+(У< — Уо) У<+Чу< получаем М (уо ДР) = уя«л — уоо< Х В<<<у< = (Р< ду1+ уяпл Р<уо. <-1 Если у< обращается в нуль в граничных узлах сетки $ О и $ .)Ч: У, О, У» О, или У, О, Во=О, то подстановка обРащается в нуль и формула суммирования по частям принимает вид (У, ДР) — (Р, ЧУ), (49) Полученные тождества используются для преобразования разностных выражений. Кроме того, они часто применяются, например, при вычислении различного рода конечных сумм и рядов.

1'а РАЗностные уРАВнения 53 н Пример 1. Вычислить сумму 8н = ~2'„~ 12. »-1 Положим у»=», Ао» 2', так что о<+» = Р» + 2 = Х 2 + Ра = 2 — 1+ оь. < ь»+1 ь а Выберем о< =1 — 2а+' так, чтобы иа+» =О. Тогда формула сум- мирования по частям дает и и я+2 й '= 12< = Х у<»<о» = — Х <а<у» + ун+ он+ — уао = < 2 <-1 и+2 ° — 3 (2 — 2 ~')= — 2(2~~' — 1)+ 2 + (Л»+1)=()у — 1)2я+2'» 2, < Н-2 Пример 2 Ян=,~ (а. В этом случае у<= 1, йо»=а, о<аа 'чз» < < 2 а< ан — он=О, а — 1 ЯЯ = — а(а ()а'(а — 1) — а) + а]. (а — 1) 13.

Раэностные формулы Грина. Формулы ь ь ь ио'«х = — ) и'о'«х+ ио' ~, ) (ио' — иао) «х = (ио' — и»и)! <а »а а а а называют первой н второй формулами Грина (для простейшего оператора Ьи и"). Обычно первая формула эаписывается в бо- лее общем виде; ь ь ь ) ийойх = — ) йи'о'<<х — ) дио»<х+)<ио~~, (50) а а а где Го Йо')' — о(х)о. Меняя в этой формуле местами и(х)» и о(х) и вычитая полу- ченное равенство иэ (50), получим вторую формулу Грина (в бо- лее общем виде) ь (иГ у — урн) <<х =')< (ио' — иЪ)~ . (51) »а Если и и о равны нулю на концах интервала х= а и х Ь, то все подстановки обращаются в нуль и формулы (50) и (51) при- нимают вид (и, Го)<= — ()<и', и'),— (»(и, о)„(и, Го), (о, йи)„(52) ь где (и, о)а = ~иодх. а 54 гл. 1. Пгвдвагитвльные сВедения В частности, имеем (и, т'и), -(»<, (и')*),— (а, и'),. Формула (и, Го)»= Ыи), означает, что оператор Ь самосопряжен.

Перейдем к выводу разностных аналогов формул Грина (50), (51) и (52). Полагая о,= Ли,, = Чи„получим из (48) тождество (у, ЛЧи) = — (Чи ЧУ1+ у»чи» вЂ” У,Чи,. (53) Если положить теперь о» = а,чиь то вместо (53) получим (у, Л(аЧи)) = — (аЧи, ЧУ1+у»а»чи» вЂ” у,а,чи,. (54) Вводя затем разностный оператор Ли, = Л(а» Чи,) — Аи» = а»+<(и<~< — и,) — а»(и» вЂ” и<,) — <(<и< (55) и пользуясь (54), получаем первую формулу Грина (у, Ли)= — (ачи, ЧУ1 — (»<и, у)+(ауЧи)» — у,(аЧи)ь (56) аналогичную формуле (50).

Поменяем в (56) местами и» и у». (и, Лу) = — (ачу, Чи) — Ыу, и) + (аи чу) — и,(ачу), и вычтем зто равенство из равенства (56). В результате получим вторую разностную формулу Грина (у, Ли) — (и, Лу) =а(учи — ичу)» — а,(у,та,— и,чу,).