А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989), страница 4

В случае схем с несамосопряжевными операторами спектральная теория дает необходимые условия устойчивости, в то время как основной интерес представляют достаточные условия и априорные оценки. Между тем энергетический подход, использующий введенные выше определения схемы, позволяет дать исчерпывающее исследование устойчивости схемы с операторами в гильбертовом пространстве Н,. Очевидно, что устойчивость есть внутреннее свойство схемы, не зависящее от аппроксимации н связи схемы с каким-либо дифференциальным уравнением; поэтому условие устойчивости должно формулироваться в виде некоторой связи между операторами А и В. Задача ставится так.

Задано исходное семейство схем при помощи условий на А и В: А =Аз > 0 или (Ау, э) = (у, Аи), (Ау, у) >О для'любых у, и»иН, где (,) — скалярное произведение в Н, В> О, ВФВа (В не является самосопряженным). Требуется выделить из этого семейства множество устойчивых по начальным данным схем з~+» в» В" ~ +Ау)=0, у==-О 1„у»~Н ввкдвнин для которых выполнено неравенство 1у>1л < !!у'1л, где 1у1* = У(Ар, р) (устойчивость здесь оаначает выполнение этой оценки).

Необходимое и достаточное условие устойчивости двухслойных схем имеет вид операторного неравенства В ~ 0,5тА или (Ву, у) > 0,5т(Ау, у) для любых у ш Н. Это условие удобно для проверки в случае разностных схем для уравнений математической физики'. Оно выделяет из исходного семейства схем множество устойчивых схем, в котором и следует искать схемы нужного качества по точности, объему вычислений и т. д. Следствием теории устойчивости является общий метод регуляризацип в классе устойчивых схем (путем изменения операторов А и В), для получения схем заданного качества. Важную роль играет каноническая форма записи схем. В аналогичной форме записываются итерационные схемы для операторных уравнений Аи (. Это позволяет применять результаты общей теории устойчивости операторно-разностных схем к изучению итерационных методов (гл.

Х). В гл. Ч1 получено большое число априорных оценок, выражающих устойчивость двухслойных и трехслойных схем по начальным данным и по правой части. Эти оценки широко используются в гл. Ч11,.1Х и Х. Отметим, что в теории разностных схем фактииески используются элементарные понятия функционального анализа и линейной алгебры, такие как норма оператора, сопряженный оператор, операторное неравенство н т. и. Для удобства читателя эти сведения даны в конце книги, в виде дополнения. В книге приводится много примеров практического использования для конкретных схем общей теории устойчивости, изло>кенной в гл.

Ч1. Основная часть книги посвящена разностпым методам решения линейных уравнений математической физики. В гл. Ч1П рассматриваются нелинейные задачи теплопроводности и газовой динамики. Гл. 1Х посвящена экономичным методам решения многомерных аадач математической физики. Экономичные схемы для нестационарных задач делятся на две группы: 1) факторизованные схемы, обладаю>цие аппроксимацией в обычном смысле; 2) аддитивные схемы, которые представляют собой цепочку обычных схем, осуществляющих переход от слон 1 на слой >+ 1, и аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение в суммарном смысла. Введении $7 Для каждого типа схем указаны методы исследования аппроксимации и устойчивости.

Устойчивость факторизованных схем исследована на основе общей теории устойчивости, а для аддитивных схем развит свой метод исследования устойчивости, использующий свойство суммарной аппроксимации. В частности, оценки в равномерной метрике в случае аддитивной (локальноодкомерной) схемы для уравнения теплопроводности удается получить при помон(и принципа максимума, общая формулировка которого дана в гл. 1Ч. Для большинства экономичных методов решения многомерных задач типично использование на каждом этапе вычислений алгортимов решения одномерных задач. Методы решения разностных уравнений, получающихся при аппроксимации дифференциальных уравнений эллиптического типа, изучаются в последней, десятой, главе.

Сначала излагаются прямые методы (декомпозиции и разделения переменных), пригодные для решения разностной задачи Дирихле в случае уравнения Пуассона в прямоугольнике. Они являются более экономичными, чем метод переменных направлений с оптимальным набором итерационных параметров. Общая теория итерационных методов излагается для уравнения первого рода Аи = ~, где А — линейный оператор в гильбертовом пространстве. Теория итерационных методов трактуетгя как раздел общей теории устойчивости операторно-разностных схем. Найден оптимальный набор параметров и получены оценки скорости сходимости для двухслойной итерационной схемы. Большое внимание уделяется попеременно-треугольному методу с оптимальным набором чебышевских параметров.

Этот универсальный метод является весьма аффективным для решения эллиптических уравнений с переменными коэффициентами в произвольной области. Соответствующие алгоритмы приведены в$3гл.Х. Глава1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ В этой глазе содержатся некоторые пралэарятельвме сеедеввя, используемые в дальвейшем. В $ г рассмагрвееюгся типичные стацвоварвые и вестацвовврвме задача математвческой фвэвкв. В 3 2 проводятся ваучевве .простейших вредстаевтеяей сеточных ураэвеивй — раеяоствмх уравнений второго порядка, которые являются лажным элемевтом рассматраваеммх в кввге вьачвслкгельвмх алгорктмоз для одвомервых и мвогомеркмх задач математической фяаккя.

2 $. Типичные задачи математяческой физики $. Стационарные задачи. Основная цель книги — изучение численных методов решения уравнений математической физики. Чтобы подчеркнуть связь с обычным университетским курсом уравнений математической физики, выпишем типичные уравнения математической физики и постановки краевых задач для них. Не имея возможности останавливаться подробно ка физических задачах, приводящих к тем или иным уравнениям, а также на теории краевых задач математической физики, ограничимся ссылками на книги по уравнениям математической физики «). Основное изложение мы проводим для линейпых уравнений второго порядка.

Различают два типа процессов — нестационарныс (меняющиеся во времени) и стационарные (не меняющиеся во времени). Нестационарные процессы описываются прел<де всего уравнениями параболического и гиперболического типов, а стационарные процессы — уравненияагн эллиптического типов. Начнем со стационарных задач.

Простейшим представителем уравнения эллиптического типа является уравнение Лапласа '%т д и Аи= г — =-О и = и(х), х =(хпхе, ...,хр) (1) о 1 « (р 1, 2, ..., р„ р — число измерений). Неоднородное уравнение Аи -)(х) (2) иаэъшают уравнением Пуассона. ° ) См.

Тихонов А. Н., Самарский А. А. Ураавевия математической фвевкк.— Мл Наука, 1972. 3 ь типичнык ВАдАчи мАтвмАтичкской Физики 19 К уравнениям Лапласа и Пуассона приводят задачи о стационарном распределении тепла, задачи диффузии, электростатики и др. Стационарное распределение температуры и = и(хо х„х,) в однородной среде описывается уравнением Пуассона Ли = — ), )'=г"/й, где Р = г (х) — плотность тепловых источников (источник), а й сопз( ) 0 — коэффициент теплопроводности. Если среда неоднородна, то коэффициент теплопроводности Й зависит от точки х, й й(х), и вместо уравнения Пуассона получаем уравнение р 41т(ййгайи) = )'„—. (й(х) — ") =- — Г(х), й(х)~0.

(3) а В анизотроппой среде температура и = и(х) удовлетворяет уравнению р р Ьи =- ~~ ~з — (йаа, ) .==- — Р(х), (4) а З ааа Это уравнение является эллиптическим прп условии положительности квадратичной формы (во всех точках х (х„ х„ ..., хр)) р 21 паз (х) ьаьз ) О, а, в=1 где $о фм ..., Зр — координаты произвольного вектора $ такого, что ~Ц чь О. Если р р йаа (х) $атаа )~ С1 ° 2~ зьа~ с1 = сопз() 0 а,а=г а=г то уравнение (4) называют сильно эялиптическиэь Если имеются источники (или стоки) тепла, пропорциональные температуре, то стационарное уравнение теплопроводности принимает вид йр (й атай и) — д(х)и = -Г(х) (5) (при д(х) > 0 имеется сток, а при д(х) ( 0 — источник тепла).